近世代数讲义电子教案

1《近世代数》课程教案《近世代数》课程教案第一章基本概念习惯上用大写拉丁字母A，B，C…表示集合，{}2《近世代数》课程教案{xxeA且xeB}{}{}A④B=xeA或xeB但x生AIB}=(A-B)Y(B-A)=(AYB)-(AIB){}}对上述集合运算，可以得到一批基本公式：(1)AYB=BYA;AIB=BIA.(2)AY(BYC)=(AYB)YC;AI(BIC)=(AIB)IC(3)AY(BIC)=(AYB)I(AYC);AI(BYC)=(AIB)Y(AIC)(6)吸收律：AY(AIB)=A;AI(AYB)=A例1A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B={2}A={1.2.3}B={4.5.6}那么A∩B=空集合.例2A={1.2.3}B={2.4.6}那么A∪B={1.2.3.4.6}A={1.2.3}B={4.5.6}那么A∪B={1.2.3.4.5.6}3《近世代数》课程教案，（1111何一个元(a4《近世代数》课程教案b01.2）→奇=1o2是一个A×B到D的01.1）→奇（2.2）→奇（1.2）→奇（2.1）→偶2bman25《近世代数》课程教案号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用aoaoΛoa来表定理：如果A的代数运算o满足结合律，那么对于A的任意n(n之2)个元素6《近世代数》课程教案iiii•用结合律和归纳法假设证明之.两种分配律的综合运用如果vbeB,va,aeA，都有7《近世代数》课程教案-1Φ是满射常a及a的逆象分别是8《近世代数》课程教案是A到A的一个双射。AA；a2aa1假如a是奇数2129《近世代数》课程教案1223即(a(bc))((ab)c)，但是是同态映射。(a(bc))(a)(bc)(a)[(b)(c)]a(bc)((ab)c))(ab)(c)[(a)(b)](c)《近世代数》课程教案a(bc)(a)((b)(c))[a(bc)][(ab)(ac)](ab)(ac)[(a)(b)][(a)(c)](ab)(ac)假如在一个A与A之间，对于代数运算,和来说，存在一个A到A的同构462462424666666666633各是A与A的代数运算与的表，那么《近世代数》课程教案必有a～c。属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分证明：设{AAiI}是A的一个分类，用我们可以规定A上的一个二元iiiiiijijiji《近世代数》课程教案（1）[a]：由a～aa[a]；（2）[a][b]，当a与b不等价时：若x[a][b]x～a,x～b，由～的对称性和传递性知a～b，推出矛盾，所以[a][b]。（3）A[a]：aAa[a][a]。aAaA（1）a～b[a][b]b～ab[a][b][a]，[a][b]“”a[a][b]a[b]a～b因为设x[a][b]x[a]即x～a,又x[b]即x～b，由传递性推出a～b再由（1）知[a][b]。一个代表。刚好由每一类的一个代表组成的集合定义.任取0nZ，可以在Z中确定一种等价关系n.《近世代数》课程教案4如:《近世代数》课程教案a1a=e如:《近世代数》课程教案a定义：唯一的能使am=e1222《近世代数》课程教案iij}都是群，如果存在映射Φ：G喻G使va,beG,都有在群的满同态映射里,它能传递一些什么呢?b《近世代数》课程教案b{常e是单位元.(-1)-1，须证--的逆元。-1)-1oa)-1:a-1是的逆元,即a-1=a-1.}是个群.例1：设A={a,b,c},乘法由下表夫定：aaabbbaab《近世代数》课程教案λτ{1,2}.现取出A的几个变换1223241ττ：1a2;2a2.iiiiiiiiiii3i3i=τ.i《近世代数》课程教案11而12-1τ-1是a的原象..(1)vτ,τeG..因为τ,τ都是双射.由第一章知ττ必是也是双射.即(3)因为恒等变换εeG常ε就是G证明:设G={a,b,cΛ}是任意一个群,vxeG，利用x,我们规定G的一《近世代数》课程教案=gx,vgeG,这种变换是一个一一变换,事x实上::τ是满射.x:τ是单射.x}其中每个这种变换都为一一变换.:x是τx的原象常Φ是满射.::于是知GG，而G是群常G必是群.定义：一个包含n个元的集合的全部置换作成的群叫做n次对称群，记作Sn。《近世代数》课程教案12专331(2(23)3)(3序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.例1.计算下列置换的乘积:注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过22234,4,232122π2122譬如,不可交换性:232121232)《近世代数》课程教案（i1i2.....iκ),（i2i3....iκi1.....或（iκi1....iκ-1）注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反52323333445224n首先在被π变动的文字中随意取一个文字i，从i出发找到i在π下的象i,《近世代数》课程教案i(iiΛkii(iiΛkiii'ΛiiΛi)ΛiiΛi)(i(i11iΛiiΛiΛiiΛiΛiiΛi11ikikiririiiΛi'Λnn)(iΛi)(iΛi)iiΛ)iiΛiiΛiΛiiΛi)tpgpt常π1pg《近世代数》课程教案nn11j)常GZi)=[i]2j)33《近世代数》课程教案()若HG1）显然成立，而上述性质2恰说明（2）成立.()•结合律在G中成立，自然在H中也成立。《近世代数》课程教案a～b,当且仅当ab-1EH的时候。a～b常b～aa～b，b～c常a～cRL{}{}L-1H.《近世代数》课程教案vHa,HbES,如果Ha=Hb常ab-1EH,利用明示4的对称性得R:Φ是满射.L-1H,-1H,.如果a-1H=b-1H常ab-1H=H,即:)=ha.vhEH.:::]=j,这表明H在G中的右陪集只有j个,从而有G的右陪集分解:YΛHaj1《近世代数》课程教案由Lagrange定理知11例1群G的平凡子群G和{e}都是不变子群。}例3如果G是一个交换群，那么G的任一个子群H《近世代数》课程教案aeG,neN常ana一1eN1RR《近世代数》课程教案RR-1。G=G=H。GH，（及G与GN同态。《近世代数》课程教案N∴xyeN.eN.vxeN,geG.eN《近世代数》课程教案常a-1beN常aN=bN全部逆象构成的集合叫做H的完全原象‘的:x-1=Φ(H).另外,vxeΦ(H),vgeG,:)-1-1eH:(的常Φ-1。常Φ-1。)=xeH,Φ(y)=yeH.《近世代数》课程教案)=xyeH-1)=x-1eH):x-1eΦ-1(H))-1)(1=gxg-1e--1e第三章环与域和性质,还有理想的各种表现形式；环的同态定理，性质与剩余类的联系；极大理想的概念，极大理想与域关系；商域的构造。《近世代数》课程教案4.a+c=b常c=b-a知{R;+,.}是一个环.——习惯上称它为整数环，记为Z.上述的四个环都是由数组成。故称为数环.对于整数通常的加法和乘法也是一个环.按数的通常的加法也构成一个环,叫做高斯数环.例4.任取定一个数域F.由F上一切一付元多项式组成的集}关于多项式通常的加法与乘法.也可构成一个环.这个环{F[x];+;.}称为关于x的多项式,或一元多项式环.Σai2m《近世代数》课程教案(Σa)(Σn=ΣΣab,也就是说ij(Σa)(ΣnmΣabijijmanmn设{R;+,.}为环,已知R关于加法”+”而言,已可以交换,至于对于乘m是交换环.但n价矩阵环M(F)不是交换环.n设{R;+,.}为环,就加法”+”而言.加法群{R,+}中自然有单位元,习惯上换为群{R,+}的零元,并记为0.对乘法”·”而言,{R,.}中是会有单位元呢?《近世代数》课程教案RZ6[0],[1],[2],[3],[4],[5]中.[2][0],[3][0]譬如在二阶M(F)中,2100,B但AB00,为什么会发生这种现象?R的一个右零因子.(∴上例中[2],A都是左零因子,[3],B都是右零因子)若a是R的左零因子,一般a未必同时是R的右零因子.(比如,在M2(F)|a,bF)显然,若环R是变换环时,R的每个左(右)零因子都是零因子.(Z中[2],6和[3]都是零因子)一个环是否为无零因子环,与环中乘法的一个重要运算规则—消去律有着密切的联系.《近世代数》课程教案整数环Z是整环.而不是整环的有:偶数环(无1).矩阵环M(F)(不变换且有零因子),Zm例2．全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法来说是环，这个环的任意元a0,有逆元-。a性质b:对除环R而言,一切非零元构成的集合R*是一个乘法群.eC}2（:a,b,c,d不全为零）ββRC)的任意性常R中每个零元都可逆常R是一个除环.我们将上述除环称为哈米尔顿（Hamiltom）四元数除环，也简称为四元数除《近世代数》课程教案{{2}中，1(1n《近世代数》课程教案且2推论:整环,除环和域的特征或是无限大,或是一个p+bb,va,beR.1、S是R的子整环常(ⅰ)va,beS,a-beS,abeS.S2、S是R的子除环常(ⅰ)va,beS,a-beS,ab-1eS.S例2.设R为任意环,令C(R)=aeRvxeR,a《近世代数》课程教案那么R也必是一个环.定理2.设RR是环同态满射,那么:④若R可变换常R也可变换.n显然Z是整环.n零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.其结果则不同了.定理3.假定R和R都是环,且RR,那么R是整环(除环,域)当且仅当R是整环《近世代数》课程教案们可以替规定加法和乘法，使得A与A对于一对加法和乘法都同构。)a21)μΦ(y)2:Φ成了环同构.}《近世代数》课程教案显然,f是满射.另一方面,vx,yeR,可分为三种情形逐一考虑(其(ⅰ)若x,yeB常那么f(x)=x子y=f(y))(ⅲ)若xeB，而yeS时常f(x)=x,但f(y)=Φ(y).因为定f(x)子f(y).总之,当x子y时,常f(x)子f(y),定f是单射.综合上述常f:R喻R为双射.由引理,因为R为环,则必可为R定义加法下面得证②也成立,(即S是R的子环)《近世代数》课程教案vx-,yeS-设R是一个含有单位元100ΣaCiaeR,n是非负整数)〉liiJneR.n,(aeR,n是≥0的整数）形式的R的元都叫做R上C的一个多项式,a叫做该多项式f(C)的系数.i0《近世代数》课程教案vf(a)=ΣmΣiji=0j=0Σjjm+1m+2j=0iaibjaj=kC=Σabkijiiifa+ga,-fa,fafa+ga,-fa,fa.gaERa显然R[a]是R的一个子环,但R中每个多项式f(a)的表达形式未必唯一.02:0的表达式不唯一.0换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对aER0定义.R的一个元x叫做R的一个02nΣin《近世代数》课程教案习惯上,记R上的未定元为x.有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式f(x)的问题.)为环R上的一元多项式.那么非负整数n叫做多项式f(a)的次数.若f(x)=0,记为没有f(C)没有次数。0{2)sR0可知,Q是一个环同构,即R-R0且R0n0Mn利用P中元素乘法的x定义和的特点上式变为:0R0n:x是的R上的未定义。设R是可变换的幺环,而R是R的子环且1eR.0现任取R中n个元素C,C,Λ,C,我们可以依次做如下工作:iiΛi定义.上述描述的每个f(C,C,Λ,C)称为R上的C,C,Λ,C的多元多项式,对于多元多环中加法和乘法的运算为:in)(ΣbCj1Λj1Λjn1iΛiiΛijΛjiΛiiΛijΛjj1Λjn同样,上多元多项式环中元素仍存在着表示不唯一的问题.所以与一元多项式环一样,要定义无关未定元.定义.R中n个元x,x,Λx叫做R上的无关未定元,假如任何一个R上的x,x,Λx的多项式都不会等于零，除非这个多项式的系数全为.零定理2：给了一个有单位元的交换环R同一个正整数n，一定有R上的未定元假设时n-1定理成立,即有可变换环R[x,ΛxiΛiiΛiiΣixin-1Σixin-1n-1Λnn1nnn-n-iΛiiΛi:但xΛx又是R上的无关未定元常a=0.1n-1:xΛx是R上的无关未定元.项式环,x,x,Λ,x是R上的无关未定元,而a,a,Λ,a是上的任意元,由上结论可知:在R[x]中若干个多项式通过加法和乘法做成的某等式.当用x换成R中任一个元素a后,该等式仍成立.于是有相应的0①va,b=N,a-b=N,②vr=R,vn=N,rn=N且nr=N.《近世代数》课程教案任一个环至少都有如下二个理想:{0}—零理想,R—单位理想.而习惯上将Rn'EN,nEZ}iiiiiin加法封闭性).再用加法封闭性ΣiiΣEN,nEZ}坚μiiiiii为有限个xay之和).ii另一方面,设vx,yEΩ,那么x和y都应是Ω中元素的形式:n'jj《近世代数》课程教案vrER.iixr=Σiiiillll:Ω是R的理想,且显然aEΩ.由(a)的最小性常Ω=μ.的,但当R具有某些特殊性质时,那么(a)便得到相应的简化.例如原来(a)={Σmii①当环R可交换时,R(a)={Σjjjjj=1③当R有单位元且R可交换事实上,《近世代数》课程教案可知Σi例3.设R为整数环,而R[x]自然也是整环.取2,xeR那由2与x生成的理想为证明(2,x)不是理想.如果是(2,x)主理想,则(2,x)=(f(x)),f(x)eR[x].常2e(f(x))常2=g(x)f(x),又xe(f(x))常x=h(x)f(x)但2是零次多项式常g(x)和f(x)都是零次多项式(是非零常数)在前一讲中已知,当I是环R的理想时,仅加法而言知I<R,得到加法商群RI={[a]|eR},其中群RI中运算为[a]+[b]=[a+b]且[a]=[b]常a一beI.今将说明商加群RI中可以合理地引入一个乘法并使{RI,+,.}做成一环.这个乘法定义为'b=(aa')beI,eI,(ΘI<R)常aba'b'eI常[ab]很容易验证{RI,.}是一个半群.同时可以验证{RI,.}乘法对加法的左右分配律.故此,{RI,.}是一个环.I《近世代数》课程教案I合。则R本身也是一个环，并且R与R同态。=Z={[0],[1],[2],[3],[4],[5]},就是我们已经熟悉的“模6剩余类环”—这是6整数的剩余类环.证明:(ⅰ)对加法而言,显然是一个加群满同态,由第二章知I<R.(即I是R的不变子群).vkeI,vreR.那么Φ(rk)=Φ(r)Φ(k)=Φ(r)0=0常rkeI.同理kreI.核μΦ([a])=Φ(a),下面只需证明:v[a],[b]eRμ,Φ([a][b])=Φ([a])Φ([b])与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果.(ⅱ)若I是R的理想且Φ为满射常Φ(I)是R的理想《近世代数》课程教案:Φ(S)是R的子环.:I是R的子环Φ(I)是R的子环.viEΦ(I)常iEI使i=Φ(i))ΘIR常iaEI,aiEI)|::Φ(r)ER)J|《近世代数》课程教案例1.设素数peZ,那么由p生成的理想I=(p)必是极大理想.:p士Z-又注意到,vaeI,则π(a)=[a]](:I=kerπ)-]:b生I,这说明I“J:vreR.π(r)=[r]eR=J常二jeJ使π(j)=[r]=π(r)《近世代数》课程教案引理2.若有单位元的交换环R子{0}除了零理想同单位理想以外不在有其他理想，那么R一定为域。证明:显然需要证明R是除环即可,也就是说:只RR想.由(1),(2),(3)2RR《近世代数》课程教案:Q为域.:Q为域.(a,b).(c,f),.利用A上的等价关系“～”,可在A中进行分类v(a,b)eA,则(a,b)所在的类记为.(仅是记号)0「a]「c]「ad+bc]「a]「c]「ad+bc]须证上述定义的合理性::(ad+bc,bd)eA且(ac,bd)eA,于是adbbceQ0且eQ0《近世代数》课程教案'''b'常'00000《近世代数》课程教案:0:000:000《近世代数》课程教案0:0:1=00.任取定0士geR,那么e,现作一个Q0的子集:R0::Q:φ《近世代数》课程教案明示:事实上,有理数域就是通过上述方法,由Z而做出的.0-R0),定理2.包含环R的域Q,恰好是所有形如ablbJ-1(b-1未必在R中)g《近世代数》课程教案lbJ0000-1-1-1-1blbJ域.b-1lbJbb:Q=F.《近世代数》课程教案土e0——-—那么r=siiεεiεii《近世代数》课程教案eZ}中：常常那么p|a或p|b。a和b《近世代数》课程教案12n──注在整环中，主理想（b）（a）常b=（a）常a|b；常定理一个主理想环I一定是唯一分解环=I（r定理2整数环是一个主理想环，因而是一个唯一分解环。《近世代数》课程教案eF定义f(x)eI[x]叫做一个本原多项式，假如f(x)的系数互素。D）I[x]的非零多项式可以写成f(x)=af(x)0D）I[x]的非零多项式可以写成f(x)=af(x)00常a引理2Q[x]的每一个不等于零的多项式f(x)都可以写成f(x)=a的样子，这里a,beI,f(x)是I[x]的本原多项式。若是g(x)也有f0《近世代数》课程教案x,x,Λx艾森斯坦判断法设f(x)=a0（i）pan;(ii)pai,vi<n;(iii)np2aa=I=I[x]定理1a是f(x)的一个根常x-af(x)常(x-a)(x-a)Λ(x-a)f(x)k定义a=I叫做f(x)的一个重根，假如(x-a)kf(x),k是大于1的整《近世代数》课程教案常定理3f(x)的一个根a是一个重根x-af,(x)feIeI[x],v(ii)f(x)=(|x-u)|q(x),这里q(x)eI《近世代数》课程教案二、教案是教师的教学设计和设想，是一种创造性劳动。写一份优《近世代数》课程教案授，关键在于教师要能”学百家，树一宗”。在自己钻研教材的基础所谓教案的艺术性就是构思巧妙，能让学生在课堂上不仅能学到知识，而且得到艺术的欣赏和快乐的体验。教案要成为一篇独具特色”课堂教学散文”或者是课本剧。所以，开头，经过，结尾，要层层递《近世代数》课程教案思维的积极性压下去。要根据学生的实际改变原先的教学计划和方上，一个单元或一节课的教学目标是在教学的一定过程中逐步完成学设计，并以多种媒体的表现方式和超文本结构制作而成的课程软《近世代数》课程教案《近世代数》课程教案五．教学重点（说明本课所必须解决的关键性问题）六．教学难点（说明本课的学习时易产生困难和障碍的知九．板书设计（说明上课时准备写在黑板上的内十．教具（或称教具准备，说明辅助教学手段使用的工具）在教案书写过程中，教学过程是关键，它包括以下几个步骤：《近世代数》课程教案教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的范本,简单说,教案是教师备课的备忘录。新的课程改革环境中,如何撰写教案,才能带动教师的积极性,发挥教案在常规教学中的应有的作用《近世代数》课程教案二是教学活动的依据，教学活动必须按教学准备有序有效实施；《近世代数》课程教案《近世代数》课程教案板书设计可以借鉴、参考，但决不能照搬照抄。《近世代数》课程教案《近世代数》课程教案政部门不应过分强调要求整齐划一，在保证教案的基本常规不漏向师的教案要求整齐划一,统一模式，这表面上看来很规范，但在实际没有固定不变得，教师的教案就不能有统一的模式。《近世代数》课程教案《近世代数》课程教案一点，案例才成为一种独特的研究成果的表现形式。《近世代数》课程教案案例是一种写作的形式，那么它与我们平时所说的论文等形式有（1）与论文的区别从文体和表述方式上来看，论文是以说理为案例与教学实录的体例比较相近，它们的区别也体现了案例的特《近世代数》课程教案案例需要向读者交代故事发生的有关情况：时间、地点、人《近世代数》课程教案上的议论，可以进一步揭示事件的意义和价值。比如同样一个【案例背景】这是一所农村初中校，这是一个活蹦乱跳的班级，这是一堂临时学计划，我这一堂课要上的应该是八年级上册《第二章中环境第二节气候多样季风显著》的第一课时——《南北气温的差《近世代数》课程教案【案例描述】行李的时候犯愁了，该如何准备去两地旅游的衣物呢？请大家帮帮《近世代数》课程教案区的名称、