2023学年九年级数学上册重要考点题精讲精练(人教版)弧、弦、圆心角（6大题型）（答案版）

弧、弦、圆心角(答案版)弧、弦、圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．注意：

(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；

(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.题型1：弧、弦、圆心角的概念1.1．下列命题中，正确的命题是（）A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点B．三点确定一个圆C．平分一条弦的直径一定重直于弦D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等【答案】A【解析】【解答】解：A、符合外心的定义，故原命题正确；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；C、平分一条弦（非直径）的直径一定垂直于弦，故原命题错误；D、在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，故原命题错误.故答案为：A.【分析】根据外心的定义、确定一个圆的条件，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系逐一判断即可.【变式1-1】下列语句中，正确的有()①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中.②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等.③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧.④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.正确.故答案为：A.【分析】根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等可判断A；根据弦所对的弧有两条可判断B；根据等弧的概念可判断C；根据圆的对称性可判断D.【变式1-2】下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等.其中正确的有（）A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④【答案】B【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，选项正确，符合题意；②如果平分的弦是直径的话，平分这条弦的直径不一定垂直于弦，选项错误，不符合题意；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角不一定相等，选项错误，不符合题意；④同弧或等弧所对的弦相等，选项正确，符合题意.∴正确的有：①④.故答案为：B.【分析】根据垂径定理可判断①②；根据弧、圆周角的关系可判断③；根据弧、弦的关系可判断④.题型2：弧、弦、圆心角求角度2.如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则BC的度数为()A．25° B．30° C．50° D．65°【答案】C【解析】【解答】解：∵OC＝OA，∴∠A＝∠C＝25°，∴∠BOC＝2∠A＝50°，∴BC的度数为50°.故答案为：C.【分析】由等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝25°，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC＝50°，据此可得BC的度数.【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C、D是BE的三等分点，∠AOE=60°，则∠BODA．40° B．60° C．80° D．120°【答案】C【解析】【解答】解：∵∠AOE=60°∴∠BOE=180°-∠AOE=120°∴BE的度数是120°∵C、D是BE上的三等分点∴弧CD与弧BC的度数都是40度∴∠BOD=80°．故答案为：C．

【分析】先利用平角求出∠BOE=180°-∠AOE=120°，再根据C、D是BE上的三等分点，得到弧CD与弧BC的度数都是40度，即可得到答案。【变式2-2】如图，在⊙O中，AC=BD，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOBA．20° B．25° C．30° D．35°【答案】D【解析】【解答】∵AC=BD∴AC-∴AB=∴∠AOB=∠∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，∴∠AOB=故答案为：D．【分析】先求出AB⌢=CD⌢题型3：弧、弦、圆心角求线段3.如图，在⊙O中，若AB=CD，且AD＝3，求CB的长度．【解题思路】根据AB=CD，得到BC=AD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到CB【解答过程】解：∵AB=CD∴AB-AC=CD∴CB＝AD＝3．【变式3-1】如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OPA．3 B．4 C．32 D．【答案】C【解析】【解答】作OF∵∴在RtΔOBE中，OB∴∴∴故答案为：C.【分析】作OF⊥CD，OE⊥AB，由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得OE=OF，在RtΔOBE中，用勾股定理可求OE的长，则OF=OE可求，根据有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形可得OFPE是正方形，所以可得PF=OF，用勾股定理可求得OP的长。

【变式3-2】如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（）A．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】连接OB、OB′，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB′＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．【解答过程】解：连接OB、OB′，∵点A是半圆上一个三等分点，∴∠AON＝60°，∵点B是AN的中点，∴∠BON＝30°，∵点B'是点B关于MN的对称点，∴∠B′ON＝30°，∴∠AOB′＝90°，∴AB′=12故选：B．题型4：弧、弦、圆心角与比较问题4.如图，在同圆中，弧AB等于弧CD的2倍，试判断AB与2CD的大小关系是（）A．AB>2CD B．AB<2CD C．【答案】B【解析】【解答】连接OA、OB、OC、OD，取弧AB的中点E，连接AE、BE∴弧AE=BE∵弧AB=弧CD∴∠AOB=2∠COD∴弧AE=弧BE=弧CD∴AE=BE=CD∵AE∴2∴AB故答案为：B【分析】先画图，再根据弧、弦、圆心角的关系得出∠AOB=2∠COD，取弧AB的中点E，连接AE、BE,根据三角形的三边关系定理可得出AB<AE+BE,从而得出AB<2CD．【变式4-1】如图，在⊙O中，AB=2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】=【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O∴AF=∵∴∠∵AD⊥OC，AE∴即AB故答案为：=【分析】先求出∠AOF=∠AOC【变式4-2】如图，AC=BC，D、E分别是半径OA和OB的中点，试判断CD与CE【答案】解：CD=CE.理由：连接OC，∵D、E分别是OA、OB的中点，∴OD=12OA，OE=12∵OA=OB，∴OD=OE，又∵AC=BC，∴∠DOC=∠EOC，在△OCD和△OCE中，，∴△CDO≌△CEO（SAS），∴CD=CE.【解析】【分析】首先连接OC，由AC=BC，根据弧与圆心角的关系，可得∠COD=∠COE，又由D、E分别是半径OA和OB的中点，可得OD=OE，则可利用SAS，判定△COD≌△COE题型5：弧、弦、圆心角与证明问题5.如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．【答案】证明：∵⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD，∴∴∴∴【解析】【分析】先求出AB⌢-【变式5-1】如图，A，B是⊙O上的两点，C是AB的中点．求证：∠A=∠B【答案】证明：连接OC．∵C是AB的中点，∴AC=BC∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，OC=OC，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴∠A=∠B．【解析】【分析】先求出AC=BC，再利用【变式5-2】如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E，且EA＝EC．求证：AB＝CD．【答案】证明：如图，连接AC，∵EA＝EC，∴∠A=∠C，由圆周角定理，由AD=∴AD-即AB=∴AB=CD【解析】【分析】利用圆周角定理可得AD=BC，再利用弧的运算可得AB=题型6：弧、弦、圆心角综合问题6.如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在MB，MD上，且AB=CD，M是求证：（1）MB=（2）过O作OE⊥MB于点E.当OE=1，MD=4时，求【答案】（1）证明：∵M为AC的中点

∴AM=CM，

∵AB=CD，

∴AB=CD

∴AM+AB=（2）解：连接OM，∵OE⊥MB，∴ME=1∵OE根据勾股定理得：OM∴半径为5【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AM=CM，根据弦、弧的关系可得AB=CD，进而推出BM=DM，据此证明；

（2）连接OM，由垂径定理可得ME=【变式6-1】如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．求证：（1）弧BC=弧AF；（2）AM=BN．【答案】（1）解：连接OC、OF，∵AC=BF，∴∠COA=∠BOF，∴∠COB=∠FOA．

∴弧BC=弧AF（2）解：∵∠COA=∠BOF，OC=OF=OA=OB∴∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，∴∠BFC=∠ACF．∵CD∥EF，∴∠AMC=∠ANE．又∵∠BNF=∠ANE．∴∠AMC=∠BNF．在△AMC和△BNF中∠∴△AMC≌△BNF（AAS）∴AM=BN．【解析】【分析】（1）连接OC、OF，利用圆心角、弧、弦之间的关系定理，可证得∠COA=∠BOF，从而可证得∠COB=∠FOA，就可得出它们所对的弧相等。

（2）利用等边对等角及等量代换，可证得∠BFC=∠ACF．再利用平行线的性质及等量代换证明∠AMC=∠BNF，然后利用全等三角形的判定和性质，可证得结论。【变式6-2】如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长.【答案】（1）证明：如图，∵AD=BC，∴AD=BC，∴AD﹣BD=BC﹣BD，即AB=CD，∴AB=CD；（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC.则AF=FD，BG=CG.∵AD=BC，∴AF=CG.在Rt△AOF与Rt△COG中，AF=CG∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF=OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF=EF.设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，在直角△OAF中.由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，解得x=5.则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7.【解析】【分析】（1）根据弧、弦的关系可得AD=BC，进而推出AB=CD，据此证明；

（2）过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC，则AF=FD，BG=CG，利用HL证明Rt△AOF≌Rt△COG，得到OF=OG，推出四边形OFEG是正方形，得到OF=EF，设OF=EF=x，则AF=x+1，在Rt△OAF中，由勾股定理可得x，进而得到AF、AE的值.弧、弦、圆心角练习一、单选题1．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么AB与CD的关系是（）A．AB=CD B．AB＞CDC．AB＜CD D．不能确定【答案】D【解析】【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，故答案为：D【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可知，题目中缺少了条件“在同圆或等圆中”。2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么AB与CD的数量关系是（）A．AB=CD B．AB＞CDC．AB＜CD D．无法确定【答案】A【解析】【解答】证明：连接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AB^=CD^故答案为：A．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠ACB，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等进行判断。3．如图所示，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，则∠B=

A．150° B．75° C．60° D．15°【答案】B【解析】【分析】∵在⊙O中，弧AB=弧AC，∴AB=AC。∴∠B=∠C。

又∵∠A=30°，∴根据三角形内角和定理，得∠B=180°-4．下列说法正确的个数有（）①一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．③同弦或等弦所对的圆周角相等④方程x2＝x的解是x＝1．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【解答】解：①一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），所以①不符合题意；②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以②不符合题意；③同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，所以③不符合题意；④方程x2＝x的解是x＝1或x＝0，所以④不符合题意；故答案为：A．【分析】根据有关性质与定理，分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．5．如图，在⊙O中，AB∧=2CDA．AB＞2CD B．AB=2CDC．AB＜2CD D．以上都不正确【答案】C【解析】【解答】取AB∧的中点E，连接AE，BE，∵在⊙O中，AB∧=2CD∧，∴AE∧=BE∧=CD∧，∴AE=BE=CD，∵AE+BE＞AB，∴【分析】首先取AB∧的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中，AB∧=2CD∧，可证得AE∧=BE∧6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】B【解析】【解答】解：∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=40°

∴∠BOC=180°-40°-40°=100°

∴∠A=100°÷2=50°故答案为：B.

【分析】根据圆的半径相等，由三角形的内角和定理，即可得到∠O的度数，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到答案。二、填空题7．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝．【答案】68°【解析】【解答】∵∠AOE=78°，∴劣弧AE的度数为78°．∵AB是⊙O的直径，∴劣弧BE的度数为180°﹣78°=102°．∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE=23故答案为：68°．【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧AE的度数，得到劣弧BE的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．8．如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＜【解析】【解答】解：连接AB、BC，如图，∵AB=BC∴AB=BC=CD，∵AB+BC＞AC，∴2CD＞AC，即AC＜2CD．故答案为：＜．

【分析】连接AB、BC，根据题意知：ABBCCD，又由三角形三边得到AB+BC>AC得到：AC＜2CD．9．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是．【答案】140°【解析】【解答】解：设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，得出方程2x+4x+5x+7x=360，解得：x=20，故7×20°=140°．故答案为：140°【分析】将一个圆分成四个扇形，可知道四个圆心角的度数之和为360°，根据它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，设未知数建立方程，求解即可知道最大圆心角的度数。10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，AC∧，BC∧的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AB的长是【答案】10.5【解析】【解答】解：连接OP，OQ，∵AC∧，BC∧的中点分别是P，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=12（AC+BC）=15∵MH+NI=AC+BC=15，MP+NQ=12，∴PH+QI=15﹣12=3，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=152+3=21故答案为：10.5．【分析】连接OP，OQ，根据AC∧，BC∧的中点分别是P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=12（AC+BC）=152和三、解答题11．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．【答案】证明：∵AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，∴AB=∴AB-∴AD=∴AD=BC．【解析】【分析】根据同圆中等弦所对的优弧与劣弧分别相等得AB=CD，然后根据弧的和差关系得出AD=12．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：BE＝CF.【答案】证明：连接DB、DF，∵∠A的平分线AD交圆于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∠DBE＝∠DFC＝90°，∠BAD＝∠CAD，∴DB＝DC，∴在Rt△BED和Rt△CFD中，DE∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF.【解析】【分析】连接DB、DF，然后根据角平分线的性质可以得到DE和DF的关系，弦DB和DC的关系，再根据三角形全等的知识可以得到BE和CF的关系.13．如图，∠AOB=90°，C、D是AB∧的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD【答案】证明：连接AC，∵∠AOB=90°，C、D是AB∧∴∠AOC=∠COD=30°，∴AC=CD，又OA=OC，∴∠ACE=75°，∵∠AOB=90°，OA=OB，∴∠OAB=45°，∠AEC=∠AOC+∠O