第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一节分类加法计数原理与

分步乘法计数原理第十一章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”.2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.强基础固本增分两个基本计数原理

类类独立,不重不漏

步步相依,步骤完整名称分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N=

m+n

种不同的方法

完成这件事共有N=

m×n

种不同的方法

依据能否独立完成整件事能否逐步完成整件事名称分类加法计数原理分步乘法计数原理推广完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法微点拨1.分类加法计数原理中,完成一件事的各种方法是相互独立的.从集合角度看,如果完成一件事有A,B两类方案,集合A与B的交集为空集,在A中有m1个元素(m1种方法),在B中有m2个元素(m2种方法),则完成这件事的不同方法的种数即为集合A∪B中元素的个数,即m1+m2.2.分步乘法计数原理中,必须且只需连续完成n个步骤后才能完成这件事,各个步骤之间不重复、不遗漏.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(

)2.在分类加法计数原理中,每类方案中的每种方法都能直接完成这件事.(

)3.在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

)4.在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(

)×√√×题组二

双基自测5.

如图,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路;从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有(

)A.11条

B.12条 C.13条

D.14条答案

D解析

从甲到丁分为两类,第一类,从甲过乙到丁分两步,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路,由分步乘法计数原理得,从甲到丁有6种走法;第二类,从甲过丙到丁分两步,从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路,由分步乘法计数原理得,从甲到丁有8种走法.再由分类加法计数原理得,从甲到丁共有6+8=14种走法.6.

由数字1,2,3,4,5可以组成

个各位上数字可以重复的三位数.

答案

125解析

由题意,百位、十位和个位上的数字均有5种选法,所以由数字1,2,3,4,5可以组成5×5×5=125个三位数.研考点精准突破考点一分类加法计数原理题组(1)(2023·江苏宿迁模拟)如图,一条电路从A处到B处接通时,可以有

条不同的线路(每条线路仅含一条通路).

(2)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有

种.

(3)如果把个位数是1,且恰有三个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有

个.

答案

(1)9

(2)6

(3)12解析

(1)依题意按上、中、下三条线路可分为三类:上线路中有2种;中线路中只有1种;下线路中有2×3=6(种).根据分类加法计数原理,共有2+1+6=9(种).(2)分两类:甲第一次踢给乙时,有3种满足条件的传递方式(如图);同理,甲第一次踢给丙时,满足条件的也有3种传递方式,由分类加法计数原理,可知不同传递方式的种数为3+3=6.(3)当有三个1时:2

111,3

111,4

111,1

211,1

311,1

411,1

121,1

131,1

141,有9种,当分别有三个2,3,4时,分别是2

221,3

331,4

441,有3种,根据分类加法计数原理可知,共有12种结果.规律方法

利用分类加法计数原理计数时的解题流程

考点二分步乘法计数原理例题(1)有六名同学报名参加三个智力项目,每项恰好报一人,且每人至多参加一项,则共有

种不同的报名方法.

(2)(2023·福建厦门模拟)为提升市民的艺术修养,丰富精神文化生活,某图书馆开设了工艺、绘画、雕塑等公益讲座,讲座海报如图所示.某人计划用三天时间参加三场不同类型讲座,则共有

种选择方案.(用数字作答)

答案

(1)120

(2)8解析

(1)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120(种).(2)由讲座海报可知,先选择一天参加绘画讲座的方案有2种,再选择一天参加雕塑讲座,有2种方案,最后再在剩下的2天里选择一天参加工艺讲座,有2种,所以一共有2×2×2=8种选择方案.引申探究1(换条件)例题(1)中若将条件“每项恰好报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?解

每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有36=729(种).引申探究2(换条件)例题(1)中若将条件“每项恰好报一人,且每人至多参加一项”改为“每项恰好报一人,但每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法?解

每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参加,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有63=216(种).规律方法

利用分步乘法计数原理解决问题的策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.(2)分步必须满足的两个条件:一是各步骤相互独立,互不干扰;二是步与步之间确保连续,逐步完成.对点训练(2022·山东济南三模)“回文联”是对联中的一种,既可顺读,也可倒读.比如,一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联:雾锁山头山锁雾,天连水尾水连天.由此定义“回文数”,n为自然数,且n的各位数字反向排列所得自然数n'与n相等,这样的n称为“回文数”,如:1221,2413142.则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有(

)A.648个 B.720个 C.810个

D.891个答案

D解析

根据“回文数”的特点,只需确定前3位即可,最高位即万位有9种排法,千位和百位各有10种排法,根据分步乘法计数原理,共有9×10×10=900种排法,其中各位数字相同的共有9种,则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有900-9=891种.考点三两个计数原理的综合应用(多考向探究预测)考向1与数字有关的问题例题用数字3,6,9组成四位数,各数位上的数字允许重复,且数字3至多出现一次,则可以组成的四位数的个数为(

)A.81 B.48 C.36 D.24答案

B解析

根据题意,数字3至多出现一次,分2种情况讨论:①数字3不出现,此时四位数的每个数位都可以为6或9,都有2种情况,则此时四位数有2×2×2×2=16个;②数字3出现1次,则数字3出现的情况有4种,剩下的三个数位,可以为6或9,都有2种情况,此时四位数有4×2×2×2=32个,故有16+32=48个四位数.规律方法

利用两个计数原理解决问题的一般步骤

考向2涂色问题例题如图,一个地区分为5个行政区域,现给该地区的5个区域涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的涂色方法共有

种.

答案

72解析

(方法1)由题图可知,2区与4区不相邻,3区与5区不相邻,且不相邻的区域可用同1种颜色涂色,所以最少可用3种颜色,故可根据选用颜色的种数进行分类.第1类,使用3种颜色,则2区与4区同色,3区与5区同色,可分三步进行涂色:第1步,涂2区与4区,有4种颜色可选;第2步,涂3区与5区,有3种颜色可选(除涂2区、4区的颜色);第3步,涂1区,有2种颜色可选(除前2步所选的颜色).由分步乘法计数原理知,该类涂色方法共有4×3×2=24(种).第2类,使用4种颜色,2区与4区同色,3区与5区不同色,可分4步进行涂色:第1步,涂2区与4区,有4种颜色可选;第2步,涂1区,有3种颜色可选;第3步,涂3区,有2种颜色可选;第4步,涂5区,有1种颜色可选.由分步乘法计数原理可知,该类涂色方法共有4×3×2×1=24(种).第3类,使用4种颜色,3区与5区同色,2区与4区不同色,同理可得该类涂色方法共有24种.综上,由分类加法计数原理可知,不同的涂色方法共有24+24+24