2021-2023年高考数学真题分类汇编专题08 平面解析版几何（解答题）（原卷版）

专题08平面解析几何（解答题）知识点目录知识点1：弦长、周长问题知识点2：斜率问题知识点3：面积及面积比问题知识点4：定直线问题知识点5：向量问题知识点6：共线与平行问题知识点7：相切问题知识点8：定点定值问题近三年高考真题知识点1：弦长、周长问题1．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离等于点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离，记动点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）已知矩形SKIPIF1<0有三个顶点在SKIPIF1<0上，证明：矩形SKIPIF1<0的周长大于SKIPIF1<0．2．（2023•上海）已知抛物线SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上有一点SKIPIF1<0位于第一象限，设SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0到抛物线SKIPIF1<0准线的距离为3，求SKIPIF1<0的值；（2）当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0轴上存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0的中点在抛物线SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离；（3）直线SKIPIF1<0，抛物线上有一异于点SKIPIF1<0的动点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的投影为点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0．若在SKIPIF1<0的位置变化过程中，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．3．（2022•上海）设有椭圆方程SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0下端点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点在SKIPIF1<0轴上，求点SKIPIF1<0的坐标；（2）直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过右焦点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中有一内角余弦值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（3）在椭圆SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，随SKIPIF1<0的变化，求SKIPIF1<0的最小值．4．（2022•浙江）如图，已知椭圆SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆上异于SKIPIF1<0的两点，且点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．（Ⅰ）求点SKIPIF1<0到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求SKIPIF1<0的最小值．5．（2022•北京）已知椭圆SKIPIF1<0的一个顶点为SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值．6．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线与过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线交于点SKIPIF1<0．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．7．（2022•上海）已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点分别为SKIPIF1<0的左顶点、下顶点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点均在直线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0在第一象限．（1）设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右焦点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的标准方程；（2）若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点纵坐标分别为2、1，请判断直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点是否在椭圆SKIPIF1<0上，并说明理由；（3）设直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别交椭圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0关于原点对称，求SKIPIF1<0的最小值．8．（2021•北京）已知椭圆SKIPIF1<0的一个顶点SKIPIF1<0，以椭圆SKIPIF1<0的四个顶点围成的四边形面积为SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的取值范围．9．（2021•浙江）如图，已知SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0是抛物线的准线与SKIPIF1<0轴的交点，且SKIPIF1<0．（Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点SKIPIF1<0的直线交抛物线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若斜率为2的直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴依次交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上截距的取值范围．知识点2：斜率问题10．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）设点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0的两条直线分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率之和．11．（2021•乙卷（文））已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到准线的距离为2．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0斜率的最大值．12．（2022•甲卷（文））设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．当直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的另一个交点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的倾斜角分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0取得最大值时，求直线SKIPIF1<0的方程．知识点3：面积及面积比问题13．（2023•甲卷（文））已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上两点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最小值．14．（2023•甲卷（理））设抛物线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线上的两点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最小值．15．（2023•天津）设椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点SKIPIF1<0是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，若△SKIPIF1<0的面积是△SKIPIF1<0面积的二倍，求直线SKIPIF1<0的方程．16．（2022•天津）椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0、右顶点为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．（1）求椭圆的离心率SKIPIF1<0；（2）直线SKIPIF1<0与椭圆有唯一公共点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴相交于SKIPIF1<0异于SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0为坐标原点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求椭圆的标准方程．17．（2022•新高考Ⅰ）已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和为0．（1）求SKIPIF1<0的斜率；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．知识点4：定直线问题18．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线SKIPIF1<0中心为坐标原点，左焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）记SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0的左支交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0在第二象限，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0在定直线上．知识点5：向量问题19．（2021•上海）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其左、右焦点，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上．（1）若SKIPIF1<0是上顶点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，且原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程；（3）证明：对于任意SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的直线有且仅有一条．20．（2021•甲卷（文））在直角坐标系SKIPIF1<0中，以坐标原点为极点，SKIPIF1<0轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0．（1）将SKIPIF1<0的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点SKIPIF1<0的直角坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，写出SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的参数方程，并判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否有公共点．知识点6：共线与平行问题21．（2023•北京）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的上、下顶点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的左、右顶点，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）点SKIPIF1<0为第一象限内SKIPIF1<0上的一个动点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．22．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的两点，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切．证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线的充要条件是SKIPIF1<0．23．（2021•天津）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线SKIPIF1<0与椭圆有唯一的公共点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴的正半轴交于点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直的直线交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．知识点7：相切问题24．（2021•甲卷（文））抛物线SKIPIF1<0的顶点为坐标原点SKIPIF1<0，焦点在SKIPIF1<0轴上，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0