课时规范练21　简单的三角恒等变换

课时规范练21简单的三角恒等变换基础巩固组1.(2021广西南宁三中模拟)sinπ12-cosπ12的值等于(A.-22 B.22 C.-6答案:A解析:sinπ12-cosπ12=2cosπ4sinπ12-sinπ4cosπ12=2sinπ12−2.(2021安徽亳州模拟)若cosπ6-α=13,则cos2π3+2α=()A.29 B.-29 C.79答案:C解析:∵cosπ6-α=13,∴cosπ6-α=sinπ2-π6-α=sinπ3+α=13.∴cos2π3+2α=1-2sin2π3+α=1-293.(2021山西晋中一模)已知sinα+3cosα=1,则cos2α+2π3=()A.-32 B.-12 C.12 答案:C解析:由sinα+3cosα=1,可得sinα+π3=12,故cos2α+2π3=1-2sin2α+π3=124.(2021重庆一中高三月考)求值:1-3tan10°A.1 B.2C.3 D.2答案:D解析:原式=1-3sin105.(2021江苏南京师大附中高三月考)若λsin160°+tan20°=3,则实数λ的值为()A.3 B.32 C.2 D答案:D解析:由λsin160°+tan20°=3可得λsin20°+sin20°即λsin20°·cos20°=3cos20°-sin20°,所以λ2sin40°=2sin(60°-20°)=2sin40°,所以λ=46.(2021福建福州一中高三开学考试)已知θ∈π4,3π4,sinπ4+θ=35,则tanθA.17 B.-17 C.7 D答案:D解析:因为θ∈π4,3π4,所以π4+θ∈π2,π.又因为sinπ4+θ=35,所以tanπ4+θ=-所以tanθ=tanπ4+θ-π4=tan(π4+θ)7.(2021陕西西安一模)已知α∈π2,π,2sin2α=cos2α-1,则cosα=()A.-15 B.-55 C.33 答案:B解析:由2sin2α=cos2α-1可得4sinαcosα=-2sin2α,因为α∈π2,π,所以0<sinα<1,cosα<0,因此2cosα=-sinα,所以sin2α+cos2α=4cos2α+cos2α=5cos2α=1,解得cosα=-55(正值舍去)8.已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α,β∈(0,π),则2α-β=(A.π4 B.-π4 C.-3π4 答案:C解析:tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-所以tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=tan(α-又π2<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-9.(2021天津红桥模拟)3cos10°−1答案:-4解析:由题意得3cos10°−10.(2021广东汕头二模)若α+β=π3,则cosα+cosβ的最小值为.答案:-3解析:因为α+β=π3,所以cosα+cosβ=cosα+cosπ3-α=cosα+cosπ3cosα+sinπ3sinα=32cosα+32sinα=312sinα+32cosα=3sin所以cosα+cosβ的最小值为-311.(2021贵州遵义一模)已知α,β∈0,π2,tanα=17,sinβ=1010,则π-α-2β的值为答案:3解析:因为α,β∈0,π2,所以cosβ=1-si所以tanβ=sinβcosβ=13,所以tan则tan(α+2β)=tanα+tan2β因为α,β∈0,π2,tanα=17∈0,33,sinβ=1010∈0,12所以α,β∈0,π6,所以0<α+2β<π2,所以α+2β=π4,故π-α-2β=综合提升组12.(2021河南安阳一模)已知2cos(2α+π3)sin(α+π6)A.-12 B.14 C.答案:B解析:∵cos2α+π3=1-2sin2α+π6,由2cos(2α+π3得21-2sin2α+π6=7sinα+π6,化简得4sinα+π6-1sinα+π6+2=0.∴sinα+π6=14,sinα+π6=-2(舍去),∴cosα-π3=cosα+π6-π2=sinα+π6=14.13.(2021吉林长春一模)已知sinα-π3+3cosα=13,则sin2α+π6=()A.23 B.29 C.-19答案:D解析:∵sinα-π3+3cosα=13,∴sinαcosπ3-cosαsinπ3+3cos∴12sinα-32cosα+3cosα∴12sinα+32cosα∴cosα-π6=13,∴sin2α+π6=sin2α-π6+π2=cos2α-π6=2cos2α-π6-1=2×132-1=-79.14.(2021云南昆明一中高三月考)已知m=2sin18°,若m2+n=4,则1-2cos2A.-14 B.-12 C.1答案:B解析:因为m=2sin18°,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°,因此1-2co15.(2021河北唐山一中高三月考)若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是(A.7π4C.5π4答案:A解析:∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π.∵sin2α=55,∴2α∈π2,π,∴α∈π4,π2,cos2α=-255.∵β∈π,3π2,∴β-α∈π2,5π4,∴cos(β-α)=-3∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-255×-31010-5又α+β∈5π4,2π,∴α+β=7创新应用组16.(2021广东广州模拟)在△ABC中,满足cos2A+cos2B=1,则sin2A+sin2B答案:±4解析:由cos2A+cos2B=1,cos2即11+tan所以2+tan2A+tan2B=(1+tan2A)(1+tan2B),可得tanAtanB=±1.又sin2A+sin2B+sin2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)+sin2C=2sinCcos(A-B)+2sinCcosC=2sinCcos(A-B)-2sinCcos(A+B)=2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]=4sinAsinBsinC,所以sin2A+sin2B+sin2CsinCcosA17.(2021重庆南开中学高三月考)函数f(x)=sinxsin4答案:-2解析:f(x)=sin设4sinxcosx+3=t,可得4sinx-tcos可得t2+16sin(x-φ)=3其中cosφ=4t2+16,sin因为sin(x-φ)∈[-1,1],所以|3t|≤t2+16,解得-因此f(x)的最小值为-218.(2021广西来宾高三开学考试)设sinβ+π6+sinβ=3+12,则sinβ-π3=.

答案:32或-解析:依题意sinβ+π6+sinβ=3+12sinβ-π3+π2+sinβ-π3+πcosβ-π3+12sinβ-π3+32cosβ-π3=3+1212sinβ-π3+3+22cosβ-π3=3sinβ-π3+(3+2)cosβ-π3=3+1,cosβ-π3=(3+1)-si