【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 二次函数y=ax²与y=a(x-h)²+k的图象与性质(解析版)

二次函数y=ax²与y=a(x-h)²+k的图象与性质考点一二次函数y=ax²的图象与性质考点二二次函数y=ax²+k的图象与性质考点三二次函数y=a（x-h）²的图象与性质考点四二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质考点一二次函数y=ax²的图象与性质例题：（2022·全国·九年级）已知是二次函数且当x<0时y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）直接写出顶点坐标和对称轴．【答案】（1）k=-3；（2）顶点坐标是（00）对称轴是y轴．【解析】【分析】（1）根据二次函数的次数是二可得方程根据二次函数的性质可得k+2<0可得答案；（2）根据二次函数的解析式可得顶点坐标对称轴．【详解】解：（1）由是二次函数且当x<0时y随x的增大而增大得解得k=-3；（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2y=-x2的顶点坐标是（00）对称轴是y轴．【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质利用二次函数的定义得出方程是解题关键．【变式训练】1．（2022·全国·九年级）已知y＝是二次函数且当x＜0时y随x的增大而增大．（1）则k的值为；对称轴为．（2）若点A的坐标为（1m）则该图象上点A的对称点的坐标为．（3）请画出该函数图象并根据图象写出当﹣2≤x＜4时y的范围为．【答案】（1）-3y轴；（2）（﹣1m）（3）﹣16＜y≤0【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质（未知数的最高次数为2）且当x＜0时y随x的增大而增大列出相应的方程组求解可得k值代入二次函数确定解析式即可确定其对称轴；（2）根据坐标系中轴对称的性质：关于y轴对称纵坐标不变横坐标互为相反数即可得；（3）当时当x＝4时结合函数图象可得：当x＝0时y取得最大值即可得出解集．【详解】解：（1）由是二次函数且当x＜0时y随x的增大而增大得解得：∴二次函数的解析式为∴对称轴为y轴故答案为：-3y轴；（2）∵点A（1m）∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1m）故答案为：（﹣1m）故答案为：（﹣1m）；（3）如图所示：当时当x＝4时根据函数图象可得当x＝0时y取得最大值当x＝0时∴当时；故答案为：．【点睛】题目主要考查二次函数得定义和性质、轴对称的性质理解题意熟练掌握定义和性质是解题关键2．（2022·全国·九年级课时练习）如图直线与抛物线交于两点与轴于点其中点的坐标为．(1)求的值；(2)若于点．试说明点在抛物线上．【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程即可．（2）如图分别过点AD作AM⊥y轴于点MDN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标可得结论．(1)把点A（-48）代入得：∴；把点A（-48）代入得：∴；(2)如图分别过点AD作AM⊥y轴于点MDN⊥y轴于点N．∵直线AB的解析式为y=-x+6令x=0则y=6∴C（06）∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°∴∠ACM+∠DCN=90°∠DCN+∠CDN=90°∴∠ACM=∠CDN∵CA=CD∴△AMC≌△CND（SAS）∴CN=AM=4DN=CM=2∴D（-22）当x=-2时y=×22=2∴点D在抛物线y=x2上．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质待定系数法全等三角形的判定和性质等知识解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．考点二二次函数y=ax²+k的图象与性质例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知：二次函数y＝x2﹣1．(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)画出它的图象．【答案】(1)抛物线的开口方向向上对称轴为y轴顶点坐标为（0﹣1）．(2)图像见解析．【解析】【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(hk)及对称轴x=h；（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标利用描点法可画出函数图象．(1)解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1∴抛物线的开口方向向上顶点坐标为（0﹣1）对称轴为y轴；(2)解：在y＝x2﹣1中令y＝0可得x2﹣1=0．解得x＝﹣1或1所以抛物线与x轴的交点坐标为(-10)和(10)；令x＝0可得y＝﹣1所以抛物线与y轴的交点坐标为(0-1)；又∵顶点坐标为（0﹣1）对称轴为y轴再求出关于对称轴对称的两个点将上述点列表如下：x-2-1012y＝x2﹣130-103描点可画出其图象如图所示：【点睛】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线过点和点．（1）求这个函数的关系式；（2）写出当为何值时函数随的增大而增大．【答案】（1）；（2）当时函数随的增大而增大【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）求出对称轴根据二次函数的图像与性质即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线过点和点解得∴这个函数得关系式为：．（2）∵二次函数开口向下对称轴为x=0∴当时函数随的增大而增大．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质解题的关键是熟知待定系数法的运用．2．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数是关于x的二次函数．（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时抛物线有最低点？求出这个最低点这时当x为何值时y随x的增大而增大？（3）m为何值时函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时y随x的增大而减小？【答案】（1）m1=2m2=﹣3；（2）当m=2时抛物线有最低点最低点为：（01）当x＞0时y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时函数有最大值最大值为1当x＞0时y随x的增大而减小【解析】【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式解方程即可得出答案；（2）利用二次函数的性质得出m的值；（3）利用二次函数的性质得出m的值.【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数∴m2+m﹣4=2解得：m1=2m2=﹣3；（2）当m=2时抛物线有最低点此时y=4x2+1则最低点为：（01）由于抛物线的对称轴为y轴故当x＞0时y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时函数有最大值此时y=﹣x2+1故此函数有最大值1由于抛物线的对称轴为y轴故当x＞0时y随x的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质解一元二次方程因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键．考点三二次函数y=a（x-h）²的图象与性质例题：（2021·全国·九年级专题练习）抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A与y轴交于点B求△AOB的面积和周长．【答案】的面积为12周长为【解析】【分析】令求出的值令求出的值即可得出A、B两点的坐标从而得出、的长度由勾股定理得出的长度由三角形面积公式以及周长公式即可求出答案．【详解】∵抛物线与x轴交于点A与y轴交于点B令解得：令由勾股定理得：．的面积为12周长为．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特点熟知二次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·江苏·九年级专题练习）对于二次函数．它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么？当取哪些值时的值随的增大而增大？当取哪些值时的值随的增大而减小？【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x2的二次项系数相同所以将y=-3x2的图象向左平移2个单位可以得到y=-3（x+2）2的图象由二次函数的性质可知它是轴对称图形二次项系数小于0开口向下再根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标及对称轴；（2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性．【详解】将的图象向左平移个单位可以得到的图象∵∴抛物线开口向下它是轴对称图形对称轴为顶点坐标是；∵抛物线开口向下∴当时的值随的增大而增大；当时的值随的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换二次函数的性质是基础知识需熟练掌握．2．（2022·全国·九年级）在同一直角坐标系中画出下列二次函数的图象：．观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．．【答案】见解析；三条抛物线都开口向上对称轴依次是y轴、直线x＝－2直线x＝2顶点坐标依次是（00）（－20）（20）．【解析】【分析】用描点法画函数图像先列表描点平滑曲线连线可依次得到根据平移的性质可得出三函数关系结合函数图像可得出三函数的开口方向对称轴顶点坐标．【详解】解：列表x-3-2-10123202028820描点（-3）（-22）（-1）（00）（1）（22）（3）用平滑曲线连线可得的图形如图；描点（-3）（-20）（-1）（02）（1）（28）（3）用平滑曲线连线可得的图形如图；描点（-3）（-28）（-1）（02）（1）（20）（3）用平滑曲线连线可得的图形如图；将抛物线向左平移2个单位得向右平移2个单位得函数开口方向对称轴顶点向上y轴（00）向上x=-2（-20）向上x=2（20）【点睛】本题考查在平面直角坐标系中画二次函数图像掌握描点法列表描点连线二次函数的性质开口方向对称轴顶点坐标是解题关键．考点四二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质例题：（2021·全国·九年级课时练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）开口向上对称轴是直线x＝－3顶点坐标是（－35）；（2）开口向下对称轴是直线x＝1顶点坐标是（1－2）；（3）开口向上对称轴是直线x＝3顶点坐标是（37）；（4）开口向下对称轴是直线x＝－2顶点坐标是（－2－6）．【解析】【分析】根据的符号直接判断开口方向根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标．【详解】（1）开口向上对称轴是直线x＝－3顶点坐标是（－35）；（2）开口向下对称轴是直线x＝1顶点坐标是（1－2）；（3）开口向上对称轴是直线x＝3顶点坐标是（37）；（4）开口向下对称轴是直线x＝－2顶点坐标是（－2－6）．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质理解二次函数的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；（2）当y随x增大而减小时写出x的取值范围；（3）当1＜x＜4时求出y的取值范围．【答案】（1）开口向下顶点坐标是（23）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3【解析】【分析】（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；（2）根据二次函数的增减性当a＞0时在对称轴的右侧y随x的增大而减小；（3）因为顶点坐标（23）在1＜x＜4的范围内开口向下所以y最的大值为3；当x＝1时y＝2；当x＝4时y＝﹣1即可确定函数值y的范围．【详解】解：（1）∵a＝﹣1＜0∴图象开口向向下；∵y＝﹣（x﹣2）2+3∴顶点坐标是（23）；（2）∵对称轴x＝2图象开口向选y随x增大而减小∴x的取值范围为x＞2；（3）∵抛物线的对称轴x＝2满足1＜x＜4∴此时y的最大值为3∵当x＝1时y＝2；当x＝4时y＝﹣1∴当1＜x＜4时y的取值范围是﹣1＜y≤3．【点睛】此题考查了二次函数的性质顶点坐标对称轴开口方向；还考查了二次函数的增减性．2．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数（是实数）．(1)小明说：当的值变化时二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动你认为他的说法对吗？为什么？(2)已知点都在该二次函数图象上求证：．【答案】(1)对的理由见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据顶点坐标即可得到当的值变化时二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；（2）由PQ的纵坐标相同即可求出对称轴为直线x=a+2m-1则可得方程a+2m-1=2m从而求出a的值得出P坐标为（-4c）代入解析式可得c==最后根据二次函数的性质即可证得结论．(1)解：设顶点坐标为（xy）∵已知二次函数（是实数）∴x=2my=3-4m∴2x+y=3即y=-2x+3∴当的值变化时二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动故小明的说法是对的．(2)证明：点都在该二次函数图象上∴对称轴为直线∴∴a=1∴点P坐标为（-4c）代入得∴c≤15．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．一、选择题1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）抛物线的对称轴是直线（

）A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：对称轴为直线；故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2021·江苏·扬州市江都区育才中学一模）已知抛物线的解析式为y＝(x－3)2＋1则抛物线的顶点坐标是（

）A．(31) B．(-31) C．(3-1) D．(13)【答案】A【解析】【分析】直接根据抛物线的顶点坐标进行解答即可．【详解】解：抛物线的解析式为顶点坐标为：．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的性质解题的关键是熟知二次函数的顶点式．3．（2022·全国·九年级）已知点都在函数的图象上则与大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式求出与的值比较大小即可．【详解】解：把代入得∴故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质解题关键是利用自变量的值求出函数值．4．（2022·湖南郴州·中考真题）关于二次函数下列说法正确的是（

）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是C．该函数有最大值是大值是5 D．当时y随x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．【详解】解：对于y=（x-1）2+5∵a=1>0故抛物线开口向上故A错误；顶点坐标为（15）故B错误；该函数有最小值是小值是5故C错误；当时y随x的增大而增大故D正确故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点主要考查函数图象上点的坐标特征要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．5．（2022·全国·九年级）如图已知抛物线将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作将沿x轴翻折构成的图形记作将和构成的图形记作．关于图形给出的下列四个结论不正确的是（

）A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）B．图形上任意一点到原点的最大距离是1C．图形的周长大于D．图形所围成区域的面积大于2且小于【答案】C【解析】【分析】画出图象C3以及以O为圆心以1为半径的圆再作出⊙O内接正方形根据图象即可判断．【详解】解：如图所示A、图形C3恰好经过（10）、（-10）、（01）、（0-1）4个整点故正确不符合题意；B、由图象可知图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1故正确不符合题意；C、图形C3的周长小于⊙O的周长所以图形C3的周长小于2π故错误符合题意；D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积大于⊙O内接正方形的面积所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π故正确不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换数形结合是解题的关键．二、填空题6．（2020·黑龙江·集贤县第七中学九年级期中）抛物线的顶点坐标是____________．【答案】（55）【解析】【分析】根据顶点式解析式即可解答．【详解】解：抛物线的顶点坐标是（55）故答案为：（55）．【点睛】此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为（hk）．7．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数有最_________值为__________．【答案】

大

5【解析】【分析】根据开口方向向下得到有最大值根据对称轴为y轴得到当x=0时y最大为5．【详解】解：由可知：开口向下∴二次函数有最大值又其对称轴为y轴∴当x=0时y最大为5故答案为：大5．【点睛】本题考查二次函数的性质属于基础题熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．8．（2022·全国·九年级课时练习）将抛物线向左平移2个单位向上平移1个单位后所得抛物线为则抛物线解析式为________．【答案】##【解析】【分析】设抛物线为根据平移的规律写出平移后的解析式并与已知相等即可求解．【详解】设抛物线为将抛物线向左平移2个单位向上平移1个单位后可得即为解得抛物线为【点睛】本题考查了二次函数图象的平移牢记“左加右减上加下减”是解题的关键．9．（2022·全国·九年级课时练习）定义运算“※”：如：．若函数的图象过点将该函数图象向右平移当它再次经过点P时所得的图象函数表达式为______．【答案】【解析】【分析】先根据新运算规则得出函数关系式把P点代入函数式求出c值设图象向右平移k个单位得出再把P（1-2）代入函数式求k值即可解决问题．【详解】解：由题意得：则设图象向右平移k个单位则∵图象再次经过点P∴解得k=2或0（舍去）∴．故答案为：．【点睛】本题考查了新定义的运算法则计算二次函数的平移和求函数值解题的关键是根据图象平移的性质设．10．（2022·广西河池·一模）已知三点在二次函数的图象上则的大小关系是______（用“＜”号表示）．【答案】【解析】【分析】二次函数开口朝上图象上的点距离对称轴越远对应的函数值越大照此规律比较点与对称轴的远近即可求解．【详解】解：在二次函数中a=1>0∴二次函数开口朝上对称轴为x=1∴当点距离对称轴越远时其对应的函数值越大由1－（－2）=3>2－1>－1得：故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征掌握利用点与对称轴远近比较函数值大小的方法是解题关键．三、解答题11．（2021·山东德州·九年级期中）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若抛物线C的顶点在第二象限求m的取值范围；（2）若m＝﹣2求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．【答案】（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．【解析】【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（）再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；（2）先求出抛物线的解析式然后求出抛物线与坐标轴的交点由此求解面积即可．【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为∴抛物线的顶点坐标为（）∵抛物线的顶点坐标在第二象限∴∴；（2）当时抛物线解析式为令即解得或令∴如图所示A（-30）B（-10）D（03）∴OD=3AB=2∴∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标第二象限点的坐标特征抛物线与坐标轴的交点坐标解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．12．（2021·天津市咸水沽第二中学九年级期中）已知二次函数．（1）填写表中空格处的数值：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣101……﹣20…（2）画出这个函数的图象．【答案】（1）0；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数解析式可完成表格即可；（2）再根据表格中、的对应值可画函数图象．【详解】解：（1）填表如下：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣101……0﹣20…故答案是：0；（2）先描点画图象如下：【点睛】本题考查了求函数值、画二次函数图象解题的关键是掌握画二次函数的图象步骤先描点再用一条光滑的曲线连接．13．（2019·河南·许昌市第一中学九年级期中）如果两个函数的图象关于原点对称那么我们把这两个函数称为中心对称函数如y＝（x﹣1）2＋2与y＝﹣（x＋1）2﹣2互为中心对称函数．根据以上信息解答下列问题：(1)填空：函数y＝﹣2（x＋4）2﹣1的中心对称函数为．(2)若函数y＝3（x＋m）2﹣4与y＝a（x＋m）2＋n互为中心对称函数请求出两函数顶点的距离d．【答案】(1)y＝2（x﹣4）2+1(2)8【解析】【分析】（1）根据中心对称函数的定义两个函数形状相同开口方向相反顶点关于原点对称对称即可．（2）根据中心对称函数的定义得到二次函数的顶点进而即可求得d的值．(1)根据“如果两个函数的图象关于原点对称那么我们把这两个函数称为中心对称函数”可得函数y＝﹣2（x+4）2﹣1的中心对称函数为y＝2（x﹣4）2+1；故答案为：y＝2（x﹣4）2+1．(2)∵函数y＝3（x+m）2﹣4与y＝a（x+m）2+n互为中心对称函数∴a=-3,m＝-mn＝4∴a