近世代数课件(全)-4-1-唯一分解环

近世代数第四章整环里的因子分解

§1唯一分解环

8/8/2023近世代数第四章整环里的因子分解8/1/2023一、几个概念设K是整环整除:性质:称b整除a，并称b是a的一个因子，a是b的倍元.在中,3|18,而3|7中,,而在例1：在中,2+i|5,而2+i|3+i.

8/8/2023一、几个概念设K是整环整除:性质:称b整除a，并称b是a2.单位：可逆元例2：（1）Z中只有两个单位：（2）Z[i]的单位有：的单位有：1和-1；1，-1，i，-i；1和-1.性质:（1）一个整环至少有两个单位：1和-1；（2）两个单位的乘积也是单位；（3）单位的逆元也是单位.

8/8/20232.单位：可逆元例2：（1）Z中只有两个单位：（2）Z3.公因子公因子：.如果,则称d为a与b的一个公因子.(1)d为a与b的公因子；最高公因子：(2)如果c为a与b的任一公因子,则有c|d，如果d满足：则称d为a与b的一个最高公因子(或最大公因子). 如果d为a与b的任一最高公因子,性质：则任给单位u,du还是a与b的最高公因子.

8/8/20233.公因子公因子：.如果,则称d为a与b的一个公因子.(1)4.相伴若存在单位，使得则称b与a相伴，也称b是a的相伴元记作5.平凡因子：称单位和相伴元为平凡因子；称除了平凡因子的因子（若有的话）为真因子.例3 在中,其中1与-1为单位,6和-6与6相伴,6有因子:1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.2,-2,3,-3为6的真因子.

8/8/20234.相伴若存在单位，使得则称b与a相伴，也称b是a的相伴元例45的平凡因子：全部真因子为：求中5的因子.

8/8/2023例45的平凡因子：全部真因子为：求中5的因子.8/1/206.不可约元不是单位，则称为不可约元；若只有平凡因子，若有真因子，称为可约元.例5:Z中全部不可约元：素数及相反数.性质：有真因子都不是单位（2）（1）不可约元与单位乘积是不可约元；

8/8/20236.不可约元不是单位，则称为不可约元；若只有平凡因子，若有真7.唯一分解元是中一个非零、非单位的元素.若满足:(1)可分解为中不可约元的乘积,(2)的上述分解式在相伴的意义下是有另一分解式:则有,且适当交换因子的次序,有,则称在中能唯一分解.唯一的,即如果

8/8/20237.唯一分解元是中一个非零、非单位的元素.若满足:(1)可例6(1)9在Z中能唯一分解.(2)9在中不能唯一分解.证明：的单位只有1和-1；（1）（2）的元都是不可约元：则是单位；则是相伴元.在Z中无解；因此的元都是不可约元.

8/8/2023例6(1)9在Z中能唯一分解.(2)9在中不能唯一分解.证明例6(1)9在Z中能唯一分解.(2)9在中不能唯一分解.证明：的单位只有1和-1；（1）（2）的元都是不可约元：（3）

8/8/2023例6(1)9在Z中能唯一分解.(2)9在中不能唯一分解.证明8.素元性质：素元一定是不可约元；例7 在Z中全部素元：不是单位，则称p

为素元.不可约元未必是素元.素数及相反数

8/8/20238.素元性质：素元一定是不可约元；例7 在Z中全部素元：不二、唯一分解环问题：是否整环中非零、非单位的元素都能中任一非零非单位的元素都是唯一分解环.（不一定）唯一分解？定义：如果能唯一分解,则称定理1唯一分解环的不可约元等同于素元.定理2若有以下性质：都可以分解成不可约元的乘积；是唯一分解环.（1）每一个非零、（2）不可约元都是素元,则非单位的元素例8为唯一分解环.

8/8/2023二、唯一分解环问题：是否整环中非零、非单位的元素都能中任一非