《大学物理教学课件》第六章-机械振动

第二篇机械振动机械波第二篇机械振动机械波1概述振动和波——物理量在时间和空间上反复变化的运动形式振动和波动理论的发展振动和波机械振动（波）：物体位置的往返变化电磁振动（波）：电磁参量的往返变化经典力学电磁波理论波动理论声学无线电技术地震、海洋学科非线性波（孤波）生物振子经济物理振动和波动理论是声学、建筑力学、光学、地震学、无线电技术、原子物理学等领域的基础概述振动和波——物理量在时间和空间上反复变化的运动形式振动和2第六章机械振动胡克第六章机械振动胡克3本章教学要求：掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。理解旋转矢量法。掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。了解阻尼振动、受迫振动和共振。理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。了解相互垂直的简谐振动的合成。本章教学要求：4本章重点：描述简谐振动各物理量（特别是相位）旋转矢量法。简谐振动的运动方程同方向、同频率的两个简谐振动的合成本章难点：振动相位,旋转矢量,简谐振动的合成本章重点：5内容§6.1简谐振动§6.2简谐振动的描述——振幅、周期、初相§6.3简谐振动的旋转矢量表示法§6.4简谐振子的能量§6.5简谐振动的合成§6.6阻尼振动受迫振动共振内容§6.1简谐振动§6.2简谐振动的描述——振幅、周期6§6.1简谐振动振动——一个物理量在平衡位置附近作往复变化§6.1简谐振动振动——一个物理量在平衡位置附近作往复变化7机械振动——物体位置在某中心附近往复变化简谐振动——最简单的运动形式（b）扭摆（c）弹簧振子（a）单摆1、周期性。物理量某个时间后可完全重复2、有一个平衡位置1、回复力：指向平衡位置的力2、惯性特点条件机械振动——物体位置在某中心附近往复变化（b）扭摆（c）弹簧8简谐振动的典型例子弹簧振子弹簧振子模型：无质量弹簧（轻弹簧），劲度系数为K(倔强系数)。质量为m的小球（质点）。无摩擦。解的形式或简谐振动的典型例子弹簧振子弹簧振子模型：无质量弹簧（轻弹簧）9《大学物理教学ppt课件》第六章-机械振动10等时性原理单摆等时性原理单摆11简谐振动的动力学方程方程的解可以是指数函数、正弦函数或者余弦函数，统一用余弦函数表示：满足方程运动的物理量则该物理量的运动称为简谐振动对于弹簧振子：对于单摆：称为圆频率，由系统本身性质决定,与外界无关。简谐振动的动力学方程方程的解可以是指数函数、正弦函数或者余弦12研究简谐振动的意义（1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。（2）复杂的振动是由简谐振动合成的，研究简谐振动是研究其他振动的基础。例如：任何一个周期振动函数都可作如下形式展开这种方式的展开称为傅里叶级数展开研究简谐振动的意义（1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究13§6.2描述简谐振动的三个物理量振幅：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值周期：物体作一次完全振动所经历的时间频率：单位时间内物体所作完全振动的次数周期、频率、角频率的关系§6.2描述简谐振动的三个物理量振幅：物体离开平衡位置的最14简谐振动物体的运动状态完全由决定称为相位为时的相位，称为初相一个相位值对应唯一一个运动状态相位相差整数倍的物体，运动状态相同相位与初相振幅和频率给定简谐振动物体的运动状态完全由决定15两个简谐振动相位差的讨论当时，为初相差，与时间无关（相差恒定）若两振动同相若两振动反相超前与滞后只具有相对意义但是对于有因果关系的两个振动，它们相位的超前与滞后是确定的两个简谐振动相位差的讨论当时，16振幅和初相的确定代入物体的振动方程与速度方程振幅和初相的确定代入物体的振动方程与速度方程17（b）（c）（a）（b）（c）（a）18例1、一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。表面上看，物体受重力与弹力，似乎并不满足简谐振动的条件。例1、一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，表面上看，19以平衡位置为坐标原点O,向下x为正方向由此可知物体做简谐振动以平衡位置为坐标原点O,向下x为正方向由此可知物体做简谐振动20《大学物理教学ppt课件》第六章-机械振动21例2、轻弹簧的一端固定，另一端与物体m间由柔软细绳连接，细绳跨于桌边滑轮M上，而m悬于细绳下端。已知弹簧的倔强系数，滑轮的质量为M=1kg，半径R=0.2米，物体质量m=1.5kg。若将物体由平衡位置向上托起0.15米，然后突然放手。证明物体做简谐振动，并写出振动方程。ox例2、轻弹簧的一端固定，另一端与物体m间由柔软ox22物体平衡条件：平衡位置为坐标原点oox物体平衡条件：平衡位置为坐标原点oox23注意：（1）解题中O点的确定原则：物体保持静止的位置。（2）解得的初相要结合初始速度作正确取舍。注意：（1）解题中O点的确定原则：物体保持静止的位置。（2）24§6.3简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量与简谐振动的对应关系矢量长度为，旋转角速度，矢量末端画出一圆轨迹——参考圆时，矢量与轴夹角为任一时刻，矢量与轴夹角为矢量末端在轴上的投影坐标为§6.3简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量与简谐振动的对应关25振幅和频率给定旋转矢量在轴上的投影坐标可以完全描述简谐振动（1）确定初相方便讨论振动合成（2）直观表示相差振幅和频率给定旋转矢量在轴上的投影坐标26确定初相0x（1）根据初始位置确定旋转矢量两个可能的位置（有时只有一个，如）（2）根据初始速度的方向（取+或-）选择其中正确的一个矢量V<0V>0t确定初相0x（1）根据初始位置确定旋转矢量两个可能的27直观表示相差两个振动超前相位落后相位直观表示相差两个振动超前相位落后相位28解：（1）

例3、一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数k=0.72N.m-1，物体的质量m=20g。1.把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m处停下后再释放，求简谐运动方程；2.求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；3.如果物体在x=0.05m处时速度不等于零，而是具有向右的初速度=0.30m.s-1

，求其运动方程。

初相

由旋转矢量解：（1）例3、一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数k29欲求处的速度，需先求出物体从初位置运动到第一次抵达处的相位。物体第一次经过A/2处时旋转矢量图由旋转矢量欲求处的速度，需先求出物体从初位置运动30物体在x=0.05m处具有向右的初速度时旋转矢量图（3）因，，故振幅和初相分别为

由题意作出旋转矢量图（6-12）。从图可知则简谐运动方程为物体在x=0.05m处具有向右的初速度时旋转矢量图（3）因31例4、已知一简谐振动的位移曲线如图所示，写出振动方程。作出旋转矢量例4、已知一简谐振动的作出旋转矢量32§6.4简谐振子的能量动能：势能：总能：§6.4简谐振子的能量动能：势能：总能：33动能：势能：总能：动能：势能：总能：34动能最大时，势能为0；势能最大时，动能为0振动总能量不随时间变化振动动能和势能各自随时间作周期为的变化动能最大时，势能为0；势能最大时，动能为0振动总能量不随时间35简谐振动的机械能守恒简谐振动微分方程简谐振动的机械能守恒简谐振动微分方程36§6.5简谐振动的合成两个振动：同方向、同频率数学处理§6.5简谐振动的合成两个振动：同方向、同频率数学处理37旋转矢量法余弦定理求振幅几何关系求初相旋转矢量法余弦定理求振幅几何关系求初相38讨论讨论39两个振动：同方向、不同频率合振动非常复杂，其振幅和频率都随时间变化两个振动：同方向、不同频率合振动非常复杂，其振幅和频率都随时40拍拍41《大学物理教学ppt课件》第六章-机械振动42声音时大时小---“拍现象”例：同时敲击两个频率相近的音叉，会听到嗡…嗡…嗡…嗡…、……的声音。声音时大时小例：同时敲击两个频率相近的音叉，会听到嗡…43拍现象在技术上有许多重要的应用。双簧管就是利用两个簧片振动频率的微小差别产生颤动的拍音。校准乐器（如钢琴）时，钢琴产生的频率与标准音叉产生的频率如果有微小的差别，叠加后就会产生拍音。调整到拍音消失就校准了钢琴某一个键的琴音。测出两个振动合成产生的拍频，如果已知一个振动的频率，就可以求出另一个振动的频率。这可以用于汽车、人造卫星等测速。拍现象在技术上有许多重要的应用。44两个振动：相互垂直，同频率数学处理消去得合振动点的轨迹方程这是一个椭圆，其形状和位置由初相位差决定两个振动：相互垂直，同频率数学处理消去得合振动点的轨迹方45（1）同相位YXA1A2（2）反相位YXA1A2（1）同相位YXA1A2（2）反相位YXA1A246（3）相位差（4）相位差YXYX（3）相位差（4）相位差YXYX47旋转矢量法XYXY设有两同频率但相位差/2的两个垂直振动旋转矢量法XYXY设有两同频率但相位差/248两个振动：相互垂直，频率不同两个振动：相互垂直，频率不同49§6.6阻尼振动受迫振动共振阻尼振动——由于阻力，振动能量耗散，从而振幅逐渐减小的振动阻尼正比于运动速度阻尼系数根据牛顿第二定律§6.6阻尼振动受迫振动共振阻尼振动——由于阻力，振动50《大学物理教学ppt课件》第六章-机械振动51振动能量损失的原因：1.摩擦阻尼。介质对振动物体的摩擦阻力，使得振动系统的能量变为热运动的能量。各类机器，为了减震防震，加大振动时的摩擦阻尼。2.辐射阻尼。振动物体引起邻近质点的振动，能量向四周辐射，变为波动的能量。声源和乐器为了让更多的声能辐射出去，需加大其辐射阻尼，各种弦乐器上的空气箱就能起到这种作用。振动能量损失的原因：52时间常量。能量减少到1/e经历的时间：在声学、光学和电学中，时间常量又称为鸣响时间。阻尼越小，鸣响时间越长。常常用在鸣响时间内可能振动的次数的2π倍定义为阻尼振动的品质因素这里T和ω是振动系统的固有周期和圆频率。一般的音叉和钢琴弦的Q值为103数量级，即从开始振动发音到基本消失，系统可以振动几千次。无线电技术中的振荡回路的Q值为102数量级，激光器中的光学谐振腔为107。时间常量。能量减少到1/e经历的时间：在声学、光学和电学中，53（此时，运动已不具有振动特征，物体将十分缓慢地回到平衡位置。）（此时，运动亦无振动特征，物体以最短的时间返回平衡位置。非周期运动。）在灵敏电流计内，指针在磁场中运动，会受到电磁阻尼的作用。由于电磁阻尼很小，进行一次测量后，指针会在平衡点附近不停的摆动。按一个按钮，调整电路的电阻，使其满足临界阻尼，指针很快停摆，可以马上进行下一次测量。（此时，运动已不具有振动（此时，运动亦无振动特征，物体以最短54受迫振动——周期性外力作用下的持续振动固有频率，阻尼常量，周期力作用下的振动设动力学方程受迫振动——周期性外力作用下的持续振动固有频率，阻尼55对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为:衰减项稳态项经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为:衰减项稳态项经过一段时56共振位移共振（振幅共振）驱动频率满足一定条件使振幅达到最大当驱动频率满足时振幅取得最大值阻尼=0阻尼较小阻尼较大共振位移共振（振幅共振）驱动