2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 点和圆、直线和圆的位置关系（基础）（解析版）

点和圆、直线和圆的位置关系目录点和圆的位置关系 1取值范围 4最值问题 6直线和圆的位置关系 8取值范围 10切线求角度 11切线求长度 13切线的判定 16切线长定理 19三角形的内切圆 21证明综合 24点和圆的位置关系①①点在圆内点到圆心的距离小于半径

②点在圆上点到圆心的距离等于半径

③点在圆外点到圆心的距离大于半径已知⊙O的半径为5OA＝4则点A在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定【解答】解：∵OA＝4＜5∴点A与⊙O的位置关系是点在圆内故选：A．已知⊙O的半径为3平面内有一点到圆心O的距离为5则此点可能在（）A．⊙O内 B．⊙O外 C．⊙O上 D．以上都有可能【解答】解：∵⊙O的半径为3平面内有一点到圆心O的距离为55＞∴该点在圆外故选：B．已知点A为⊙O所在平面上一点且点A到⊙O上所有点的距离中最长为5最短为1则⊙O的半径为（）A．2 B．2.5 C．3 D．2或3【解答】解：∵点A为⊙O所在平面上一点且点A到⊙O上所有点的距离中最长为5最短为1∴当点A在圆外时⊙O的半径=12×（5﹣当点A在圆内时⊙O的半径=12×（故选：D．已知⊙O的半径为5点A在⊙O外则OA长度可能是（）A．2.5 B．4 C．5 D．7【解答】解：∵点A在⊙O外⊙O的半径为5∴OA＞5故选：D．如图在矩形ABCD中AB＝6AD＝8若以点D为圆心8为半径作⊙D则下列各点在⊙D外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：连接BD在矩形ABCD中AB＝6AD＝8∴CD＝AB＝6∠A＝90°∴BD=A∵CD＝6＜8BD＝10＞8AD＝8∴点A在⊙D上点B在⊙D外点C在⊙D内．故选：B．如图△ABC中AB＝AC＝10cmBC＝12cmAD⊥BC于点D点P为AD上的点DP＝2以点P为圆心6cm为半径画圆下列说法错误的是（）A．点A在⊙P外 B．点B在⊙P外 C．点C在⊙P外 D．点D在⊙P内【解答】解：连接PB∵AB＝AC＝10cmBC＝12cmAD⊥BC于点D∴BD＝CD＝6cm∴AD=AB2∴PA＝AD＝DP＝8﹣2＝6cm在Rt△PBD中BD＝6cmPD＝2cm∴PB=PD2+∵PB＝PC＝210＞6PD＝2＜6AP＝∴点A在⊙P上点B、C在⊙P外点D在⊙P内．故选：A．矩形ABCD中AB＝8BC＝35点P在边AB上且BP＝3AP如果圆P是以点P为圆心PD为半径的圆那么下列判断正确的是（）A．点BC均在圆P外 B．点B在圆P外点C在圆P内 C．点B在圆P内点C在圆P外 D．点BC均在圆P内【解答】解：如图∵四边形ABCD为矩形∴AD＝BC＝35∵AB＝8BP＝3AP∴AP＝2BP＝6在Rt△ADP中AP＝2AD＝35∴PD=A在Rt△PBC中∵PB＝6BC＝35∴PC=P∴PC＞PD＞PB∴点B在圆P内点C在圆P外．故选：C．如图等腰三角形ABC中AB＝ACAD为底边上的高BC＝6AC＝5以A为圆心AD为半径作⊙A则点C与⊙A的位置关系是（）A．点C在⊙A内 B．点C在⊙A上 C．点C在⊙A外 D．不能确定【解答】解：∵AB＝ACAD⊥BC∴AC＞AD即AC＞⊙A的半径r∴点C与⊙A的位置关系为点C在⊙A外．故选：C．取值范围如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝4BC＝7点D在边BC上CD＝3以点D为圆心作⊙D其半径长为r要使点A恰在⊙D外点B在⊙D内那么r的取值范围是（）A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7【解答】解：在Rt△ADC中∠C＝90AC＝4CD＝3∴AD=∵BC＝7CD＝3∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4∵以点D为圆心作⊙D其半径长为r要使点A恰在⊙D外点B在⊙D内∴r的范围是4＜r＜5故选：A．如图已知矩形ABCD的边AB＝6BC＝8现以点A为圆心作圆如果B、C、D至少有一点在圆内且至少有一点在圆外那么⊙A半径r的取值范围是6＜r＜10．【解答】解：如图连结ACBD∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝90°∴AC=A∵以点A为圆心作圆如果B、C、D至少有一点在圆内∴r＞6∵至少有一点在圆外∴r＜10∴⊙A半径r的取值范围是：6＜r＜10故答案为：6＜r＜10如图在矩形ABCD中AB＝8AD＝6以顶点D为圆心作半径为r的圆若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外则r的取值范围是6＜r＜10．【解答】解：在直角△ABD中CD＝AB＝8AD＝6则BD=62由图可知6＜r＜10故答案为：6＜r＜10在直角坐标平面内如果点B（a0）在以A（10）为圆心2为半径的圆内那么a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3【解答】解：∵点B（a0）在以A（10）为圆心2为半径的圆内∴|a﹣1|＜2则﹣2＜a﹣1＜2解得﹣1＜a＜3故选：C．最值问题如图△ABC中AB＝ACBC＝24AD⊥BC于点DAD＝5P是半径为3的⊙A上一动点连结PC若E是PC的中点连结DE则DE长的最大值为（）A．8 B．8.5 C．9 D．9.5【解答】解：如图连接PB∵AB＝ACAD⊥BC∴CD＝DB=12BC∵点E为AC的中点∴DE是△PBC的中位线∴DE=12∴当PB取最大值时DE的长最∵P是半径为3的⊙A上一动点∴当PB过圆心A时PB最大∵BD＝12AD＝5∴AB=12∵⊙A的半径为3∴PB的最大值为13+3＝16∴DE长的最大值为8故选：A．如右图在矩形ABCD中AB＝10AD＝12P为矩形内一点∠APB＝90°连接PD则PD的最小值为（）A．8 B．221 C．10 D．72【解答】解：如图以AB为直径作⊙O连接OD在矩形ABCD内部交⊙O于点P则此时PD有最小值．矩形ABCD中AB＝10AD＝12∴OP＝AO＝5∠BAD＝90°∴OD=A∴PD＝OD﹣OP＝13﹣5＝8即PD的最小值为8故选：A．直线和圆的位置关系相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

如图在Rt△ABC中∠C＝90°∠B＝30°BC＝4cm以点C为圆心以2cm的长为半径作圆则⊙C与AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离【解答】解：作CD⊥AB于点D．∵∠B＝30°BC＝4cm∴CD=12BC＝2即CD等于圆的半径．∵CD⊥AB∴AB与⊙C相切．故答案为：B．如图是“光盘行动”的宣传海报图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．平行【解答】解：根据直线与圆的位置关系可得图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交故选：B．已知⊙O的半径等于5圆心O到直线l的距离为6那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径等于5圆心O到直线l的距离为6即圆心O到直线l的距离大于圆的半径∴直线l和⊙O相离∴直线l与⊙O没有公共点．故选：A．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根圆心O到直线l的距离d＝5则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．平行【解答】解：∵x2﹣5x﹣6＝0∴x1＝﹣1x2＝6∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根∴r＝6∵d＜r∴直线l与⊙O的位置关系是相交故选：A．取值范围已知⊙O的半径为10直线AB与⊙O相交则圆心O到直线AB距离d的取值范围是0≤d＜10．【解答】解：∵⊙O的半径为10直线L与⊙O相交∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径即0≤d＜10；故答案为：0≤d＜10如图在Rt△ABC中∠C＝90°∠B＝30°AC＝2以C为圆心r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点则r的取值范围为r=3或2＜r≤23．【解答】解：过C作CD⊥AB于D在Rt△BCA中∵∠ACB＝90°AC＝2∠B＝30°∴AB＝4∴BC=AB2根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC∴CD=AC当圆与时AB相切时r=3当点A在圆内点B在圆外或圆上时r的范围是2＜r≤23综上所述：r的取值范围是r=3或2＜r≤23故答案为：r=3或2＜r≤23切线求角度如图AB是⊙O的切线切点为BCD是⊙O的直径连接BDBOBC若∠ABC＝50°则∠D的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．60°【解答】解：∵AB是⊙O的切线切点为B∴OB⊥AB∴∠OBA＝90°∵CD是⊙O的直径∴∠CBD＝90°∵∠OBD+∠OBC＝90°∠ABC+∠OBC＝90°∴∠OBD＝∠ABC＝50°∵OB＝OD∴∠D＝∠OBD＝50°．故选：B．如图AB为⊙O直径直线CD为⊙O的切线C为切点CD交AB的延长线于点D且AC＝CD则∠BAC＝（）A．20° B．25° C．30° D．36°【解答】解：连接OC∵CD为⊙O的切线∴OC⊥CD∵AC＝CD∴∠CAD＝∠CDA由圆周角定理得：∠COD＝2∠CAD∴∠COD＝2∠CDA∴∠CDA＝30°∴∠BAC＝30°故选：C．如图AB是⊙O的直径PA与⊙O相切于点A∠ABC＝25°OC的延长线交PA于点P则∠P的度数是（）A．25° B．35° C．40° D．50°【解答】解：∵∠ABC＝25°∴∠AOP＝2∠ABC＝50°∵PA是⊙O的切线∴PA⊥AB∴∠PAO＝90°∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°故选：C．如图△ABC内接于⊙OAB是⊙O的直径BD是⊙O的切线点B为切点BD与线段AC的延长线相交于点D若∠ABC＝65°则∠D等于（）A．65° B．55° C．45° D．35°【解答】解：∵BD是⊙O的切线点B为切点∴AB⊥BD∴∠ABD＝90°∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵∠A+∠ABC＝90°∵∠A+∠D＝90°∴∠D＝∠ABC＝65°．故选：A．切线求长度如图从圆外一点P引圆的两条切线PAPBAB为切点M为PB上一点连接MO交⊙O于点D若MO∥PAPA＝9MD＝2则⊙O的半径长是（）A．3 B．4 C．22 D．【解答】解：连接OP、OB如图设⊙O的半径为r则OM＝MD+OD＝2+r∵PA、PB为⊙O的切线∴PB＝PA＝9OP平分∠APBOB⊥PB∴∠AOP＝∠BOP∠OBP＝90°∵MO∥PA∴∠MOP＝∠APO∴∠BPO＝∠MOP∴MP＝MO＝2+r∴BM＝PB﹣PM＝9﹣（2+r）＝7﹣r在Rt△OBM中r2+（7﹣r）2＝（2+r）2解得r1＝3r2＝15（舍去）即⊙O的半径长是3故选：A．如图AB是⊙O的切线A为切点OB交⊙O于点C若⊙O的半径长为1AB=3则线段BCA．1 B．2 C．2 D．3【解答】解：连接OA如图∵AB是⊙O的切线A为切点∴OA⊥AB∴∠BAO＝90°在Rt△OAB中OB=O∴BC＝OB﹣OC＝2﹣1＝1故选：A．如图AB是圆O的直径PQ切圆O于点EAC⊥PQ于点CAC交圆O于点D若OA＝5EC＝4则AD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：连接BD交OE于F点如图∵AB是圆O的直径∴∠ADB＝90°∵PQ切圆O于点E∴OE⊥PQ∴∠OEC＝90°∵AC⊥PQ于点C∴∠ACE＝90°∴四边形CDFE为矩形∴DF＝CE＝4∠DFE＝90°∴OF⊥BD∴BF＝DF＝4在Rt△ABD中AD=A故选：C．如图AB是⊙O的直径AC是⊙O的切线A为切点连接BC过点O作BC的平行线交AC于点M若AB＝6AC＝8则OM的长度为（）A．7 B．5 C．13 D．34【解答】解：∵AC是⊙O的切线∴BA⊥AC∴∠BAC＝90°∴BC=A∵OM∥BC∴△AOM∽△ABC∴OMBC=AOAB解得：OM＝5故选：B．切线的判定如图以△ABC的边BC的长为直径作⊙O交AC于点D若∠A＝∠DBC求证：AB是⊙O的切线．【解答】证明：∵BC为⊙O的直径∴∠BDC＝90°∴∠A+∠ABD＝90°∵∠A＝∠DBC∴∠DBC+∠ABD＝90°∴AB⊥BC∵BC为⊙O的直径∴AB是⊙O的切线．已知如图：AB是⊙O的直径AB＝ACBC交⊙O于DDE⊥AC于点E求证：DE是⊙O的切线．【解答】证明：连接OD∵AB＝AC∴∠C＝∠ABC又∵OD＝OB∴∠ODB＝∠ABC∴∠ODB＝∠C∴OD∥AC∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE为⊙O的切线．如图AB为⊙O的直径点CD在⊙O上AC=CD=DB求证：DE是⊙O的切线．【解答】证明：连接OD∵AC=∴∠BOD∵CD=∴∠EAD∵OA＝OD∴∠ADO＝∠DAB＝30°∵DE⊥AC∴∠E＝90°∴∠EAD+∠EDA＝90°∴∠EDA＝60°∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°∴OD⊥DE∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线．如图点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB）点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C使得EC＝EP．求证：PC是⊙O的切线．【解答】证明：连接OC∵点E是线段OP的中点∴OE＝EP∵EC＝EP∴OE＝EC＝EP∴∠COE＝∠ECO∠ECP＝∠P∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°∴∠ECO+∠ECP＝90°∴OC⊥PC∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线．切线长定理如图AB、AC、BD是⊙O的切线切点分别是P、C、D．若AB＝10AC＝6则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线∴AC＝AP＝6∵BP、BD为⊙O的切线∴BP＝BD∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4故选：B．如图P为⊙O外一点PA、PB分别切⊙O于点A、BCD切⊙O于点E分别交PA、PB于点C、D若PA＝8则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．20【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、BCD切⊙O于点E∴PA＝PB＝6AC＝ECBD＝ED∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16即△PCD的周长为16故选：C．如图⊙O内切于四边形ABCDAB＝10BC＝7CD＝8则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵⊙O内切于四边形ABCD∴AD+BC＝AB+CD∵AB＝10BC＝7CD＝8∴AD+7＝10+8解得：AD＝11故选：D．如图四边形ABCD是⊙O的外切四边形且AB＝9CD＝15则四边形ABCD的周长为48．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形∴AE＝AHBE＝BFCF＝CGDH＝DG∴AD+BC＝AB+CD＝24∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48故答案为：48三角形的内切圆如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°⊙O是△ABC的内切圆三个切点分别为D、E、F若BF＝3AF＝10则△ABC的面积是（）A．60 B．13 C．133 D．30【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆切点分别为DEF∴OE⊥ACOD⊥BCCD＝CEBD＝BF＝3AF＝AE＝10∴AB＝AF+BF＝13∵∠C＝90°OD＝OE∴四边形OECD是正方形设EC＝CD＝x在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2故（x+3）2+（x+10）2＝132解得：x1＝2x2＝﹣15（舍去）∴BC＝5AC＝12∴S△ABC=12×5×故选：D．如图⊙O是△ABC的内切圆切点分别为DEF且∠A＝90°BC＝5CA＝4则⊙O的半径是（）A．1 B．3 C．2 D．23【解答】解：在Rt△ABC中∵∠A＝90°BC＝5CA＝4∴AB=B∵⊙O为Rt△ABC的内切圆切点分别为DEF∴BD＝BFAD＝AFCF＝CE如图连接ODOF∵OD⊥ABOF⊥ACOD＝OF∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°∴四边形ADOF是正方形设OD＝OF＝AF＝AD＝x则AF＝AD＝4﹣xBD＝BE＝3﹣x∵AF+CF＝5∴4﹣x+3﹣x＝5∴x＝1则圆O的半径为1故选：A．如图点I是△ABC的内心若∠I＝116°则∠A等于（）A．50° B．52° C．54° D．56°【解答】解：∵∠I＝116°∴∠IBC+∠ICB＝64°∵点I是△ABC的内心∴∠IBC=12∠ABC∠ICB=1∴∠ABC+∠ACB＝128°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°故选：B．证明综合如图四边形ABCD内接于⊙O∠DAB＝90°点E在DC的延长线上且∠CED＝∠CAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若AC∥DE当AB＝8DC＝4时求AC的长．【解答】（1）证明：如图连接BD∵∠BAD＝90°∴点O必在BD上即：BD是直径∴∠BCD＝90°∴∠DEC+∠CDE＝90°∵∠DEC＝∠BAC∴∠BAC+∠CDE＝90°∵∠BAC＝∠BDC∴∠BDC+∠CDE＝90°∴∠BDE＝90°即：BD⊥DE∵点D在⊙O上∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵DE∥AC∵∠BDE＝90°∴∠BFC＝90°∴CB＝AB＝8AF＝CF=12在Rt△BCD中BD=BC2∴CF=BC∴AC＝2CF=16如图已知AB是⊙O的直径AB＝BE点P在BA的延长线上连接AE交⊙O于点D过点D作PC⊥BE垂足为点C．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）连结OC如果PD＝23∠P＝30°求OC的长．【解答】（1）证明：连接OD∵AB＝BE∴∠BAE＝∠BEA∵OA＝OD∴∠BAE＝∠ODA∴∠ODA＝∠BEA∴OD∥BE∵PC⊥BE∴PC⊥OD∵OD是⊙O的半径∴PC与⊙O相切；（2）解：在Rt△OPD中∠ODP＝90°∠P＝30°∴OD＝PD•tanP＝2OP=PD∴PB＝OP+OB＝4+2＝6∴PC＝PB•cosP＝33∴CD＝PC﹣PD＝23-∴OC=O一．选择题（共8小题）1．已知的直径为10点到点的距离大于8那么点的位置A．一定在的内部 B．一定在的外部 C．一定在上 D．不能确定【解答】解：点一定在的外部．故选：．2．如图在中．点为射线上一动点过点作于交于是的中点则长度的最小值是A． B． C．1 D．【解答】解：如图取的中点连接．点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆的最小值为1故选：．3．已知点在半径为8的外则A． B． C． D．【解答】解：点在圆的外部点到圆心的距离大于8故选：．4．下列叙述正确的是A．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时不等号的方向不变 B．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．不在同一直线上的三点确定一个圆 D．方差越大说明数据就越稳定【解答】解：、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数不等号方向改变故选项不符合题意；、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等故本选项不符合题意；、不在同一直线上的三点确定一个圆本选项符合题意；、方差越大越不稳定故本选项不符合题意．故选：．5．如图内接于圆弦交于点连接．下列角中是所对圆周角的是A． B． C． D．【解答】解：由题意可得：所对的圆周角为和故选：．6．的半径为4直线上一点与点的距离为1则直线与的位置关系为A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断【解答】解：直线上一点与点的距离为1圆心到直线的距离小于或等于1而的半径为4圆心到直线的距离小于圆的半径直线与相交．故选：．7．的半径为5若直线与该圆相交则圆心到直线的距离可能是