高考数学统考一轮复习阶段质量检测2（理含解析）新人教版

阶段质量检测(二)建议用时：40分钟一、选择题1.设全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则(∁UA)∩B＝()A.[4，＋∞)B．(1,4],C.[1,4)D．(1,4)C[由题意，全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}＝{x|x≤－4或x≥4}，,集合B＝{x|2x≥2}＝{x|x≥1}，所以∁UA＝{x|－4＜x＜4}，,所以(∁UA)∩B＝{x|1≤x＜4}＝[1,4)，故选C.]f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x＜3,log3x－2，x≥3))，则f[f(11)]的值是()A．1B．eC．e2D．e－1B[由分段函数解析式可得：f(11)＝log3(11－2)＝log332＝2，则f[f(11)]＝f(2)＝e，故选B.]3．若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1,x－y≥－1,2x－y≤2))，则目标函数z＝x－2y的最小值为()A．1B．－2C．－5D．－7C[画出可行域如图所示，向上平移基准直线x－2y＝0到可行域边界A(3,4)的位置，由此求得目标函数的最小值为z＝3－2×4＝－5，故选C.]4．若曲线y＝lnx在x＝1处的切线也是y＝ex＋b的切线，则b＝()A．－1B．－2C．2D．－eB[由y＝lnx得y′＝eq\f(1,x)，故y′|x＝1＝1，切点坐标为A(1,0)，故切线方程为y＝x－1.设y＝ex＋b的切点为B(m，em＋b)，∵y′＝ex，∴em＝1，所以m＝0，将m＝0代入切线方程得B(0，－1)，将B(0，－1)代入y＝em＋b得：－1＝e0＋b，得b＝－2，故选B.]5．(2020·龙岩模拟)已知函数f(x)＝eq\f(x,lnx)－ax在(1，＋∞)上有极值，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))B[f′(x)＝eq\f(lnx－1,lnx2)－a，设g(x)＝eq\f(lnx－1,lnx2)＝eq\f(1,lnx)－eq\f(1,lnx2)，∵函数f(x)在区间(1，＋∞)上有极值，∴f′(x)＝g(x)－a在(1，＋∞)上有变号零点，令eq\f(1,lnx)＝t，由x＞1可得lnx＞0，即t＞0，得到y＝t－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，又a＝eq\f(1,4)时，f(x)为减函数，无极值，∴a＜eq\f(1,4)，故选B.]7．设f(x)＝|lnx|，若函数g(x)＝f(x)－ax在(0,4)上有三个零点，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln2,2)，e))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(ln2,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln2,2)，\f(1,e)))D[令y1＝f(x)＝|lnx|，y2＝ax，若函数g(x)＝f(x)－ax在(0,4)上有三个零点，则y1＝|lnx|与y2＝ax的图象在(0,4)上有三个交点．由图象(图略)易知，当a≤0时，不符合题意；当a＞0时，易知y1＝|lnx|与y2＝ax的图象在(0,1)上有一个交点，所以只需要y1＝|lnx|与y2＝ax的图象在(1,4)上有两个交点即可，此时|lnx|＝lnx．由lnx＝ax，得a＝eq\f(lnx,x).令h(x)＝eq\f(lnx,x)，x∈(1,4)，则h′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，故函数h(x)在(1，e)上单调递增，在(e,4)上单调递减．因为h(e)＝eq\f(lne,e)＝eq\f(1,e)，h(1)＝0，h(4)＝eq\f(ln4,4)＝eq\f(ln2,2)，所以eq\f(ln2,2)＜a＜eq\f(1,e)，故选D.]8．(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4bA．a>2bB．a<2bC．a>b2D．a<b2B[令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log22b，所以f(a)<f(2b)，所以a<2b二、填空题9．若直线y＝kx与曲线y＝x＋e－x相切，则k＝________.10．若函数f(x)＝eq\r(a－ax)(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则logaeq\f(7,11)＋logeq\s\do12(eq\f(1,a))eq\f(14,11)＝________.－1[由f(1)＝0，知a＞1，且eq\r(a－1)＝1，解得a＝2.∴log2eq\f(7,11)＋logeq\s\do12(eq\f(1,2))eq\f(14,11)＝log2eq\f(7,11)－log2eq\f(14,11)＝log2eq\f(1,2)＝－1.]11．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)有三个零点，则实数c的取值范围为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))[∵f(x)＝eq\f(1,3)x3－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx.∵当x＝2时，f(x)取得极值，∴22－2b×2＝0，解得b＝1.∴当x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增．若f(x)＝0有3个实根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝c＞0，,f2＝\f(1,3)×23－22＋c＜0，))解得0＜c＜eq\f(4,3).]f(x)的定义域是[－1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，x－10245f(x)1221下列关于函数f(x)的命题：①函数f(x)的值域为[1,2]；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点．其中所有正确命题的序号是________．①②④[由导函数的图象可知，当－1＜x＜0及2＜x＜4时，f′(x)＞0，函数单调递增，当0＜x＜2及4＜x＜5时，f′(x)＜0，函数单调递减，当x＝0及x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，当x＝2时，函数取得极小值ff(－1)＝f(5)＝1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①②正确；因为当x＝0及x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，要使当x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，则0≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；因为极小值f(2)＝1.5，极大值f(0)＝f(4)＝2，所以当1＜a＜2时，y＝f(x)－a最多有4个零点，所以④正确，所以正确命题的序号为①②④.]三、解答题13．已知2x≤256，且log2x≥eq\f(1,2).(1)求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)＝(log2eq\r(x))×(logeq\r(2)2x)的最大值和最小值．[解](1)由2x≤256得x≤8，log2x≥eq\f(1,2)得x≥eq\r(2)，所以eq\r(2)≤x≤8.(2)由(1)eq\r(2)≤x≤8得eq\f(1,2)≤log2x≤3，f(x)＝(log2eq\r(x))×(logeq\r(2)2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log2x))×2(1＋log2x)＝log2x(1＋log2x)，所以f(x)＝log2x(1＋log2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)，当log2x＝eq\f(1,2)时，f(x)min＝eq\f(3,4).当log2x＝3时，f(x)max＝12.14．已知函数f(x)＝eq\f(m－2－2x,2x＋1)(m∈R)．(1)当m＝3时，判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)当m＞1时，判断并证明函数f(x)在R上的单调性．[解](1)当m＝3时，函数f(x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)为奇函数．由题意知f(x)的定义域为R，且f(－x)＝eq\f(1－2－x,1＋2－x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当m＞1时，函数f(x)＝eq\f(m－2－2x,2x＋1)＝－1＋eq\f(m－1,2x＋1)在R上为减函数．设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－1＋eq\f(m－1,2x1＋1)＋1－eq\f(m－1,2x2＋1)15．[结构不良试题]在“①函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线斜率为2a；②函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线eq\f(1,2)x＋y＋1＝0垂直；③函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线4x－y＝0平行”这三个条件中任选一个，补充在下面问题(1)中，求出实数a的值．已知函数f(x)＝x2＋2alnx.(1)若________，求实数a的值；(2)若函数g(x)＝eq\f(2,x)＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．[解](1)若选①，对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋eq\f(2a,x)＝eq\f(2x2＋2a,x)，由已知f′(2)＝2a，得eq\f(8＋2a,2)＝2a，解得a＝4.若选②，对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋eq\f(2a,x)＝eq\f(2x2＋2a,x)，直线eq\f(1,2)x＋y＋1＝0的斜率为－eq\f(1,2)，由题意得f′(1)＝2，得2＋2a＝2，解得a若选③，对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋eq\f(2a,x)＝eq\f(2x2＋2a,x)，直线4x－y＝0的斜率为4，由题意得f′(1)＝4，得2＋2a＝4，解得a(2)对g(x)＝eq\f(2,x)＋x2＋2alnx求导，得g′(x)＝－eq\f(2,x2)＋2x＋eq\f(2a,x).由函数g(x)在[1,2]上是减函数，可得g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－eq\f(2,x2)＋2x＋eq\f(2a,x)≤0在[1,2]上恒成立，即a≤eq\f(1,x)－x2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝eq\f(1,x)－x2，当x∈[1,2]时，h′(x)＝－eq\f(1,x2)－2x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋2x))＜0，由此知h(x)在[1,2]上为减函数，所以h(x)min＝h(2)＝－eq\f(7,2)，故a≤－eq\f(7,2).于是实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(7,2))).16．设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(x2－m,x)，当m≤0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．当m＞0时，f′(x)＝eq\f(x＋\r(m)x－\r(m),x)，当0＜x＜eq\r(m)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞eq\r(m)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．综上，当m≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m＞0时，函数f(x)的单调递增区间是(eq\r(m)，＋∞)，单调递减区间是(0，eq\r(m))．(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－eq\f(1,2)x2＋(m＋1)x－mlnx，x＞0，问题等价于求函数F(x)的零点个数．当m＝0时，F(x)＝－eq\f(1,2)x2＋x，x＞0，F(x)有唯一零点．当m≠0时，F′(x)＝－eq\f(x－1x－m,x)，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)单调递减，因为F(1)＝eq\f(3,2)＞0，F(4)＝－ln4＜0，所以F(x)有唯一零点．当m＞1时，0＜x＜