福建省福州市闽侯鸿尾中学高三数学理联考试题含解析

福建省福州市闽侯鸿尾中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}的通项公式，则（

）A.0 B. C. D.参考答案：A【分析】分析数列得周期性，进而利用数列的周期性可得解.【详解】的周期，则，,，即，即相邻四项之和为0，则，故选：A．【点睛】本题主要考查了数列的周期性，确定数列的项数是解题的关键，属于中档题.2.若为三角形中的最小内角，则函数的值域是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为(

)A.

B.C.D.参考答案：C4.已知均为非负实数，且满足，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：试题分析：如下图所示，阴影部分为表示的可行域.易求得由图可知直线过点时，取得最大值2故答案选考点：线性规划5.已知双曲线C：的虚轴长为，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，x1≠x2总有＞0且f（1）=1．若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立，则实数t的取值范围是(

)A．﹣2≤t≤2 B．t≤﹣1﹣或t≥+1C．t≤0或t≥2 D．t≥2或t≤﹣2或t=0参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）min≤t2﹣2at﹣1成立，构造函数g（a）即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当x1、x2∈[﹣1，1]，且x1+x2≠0时，有＞0，∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．∵f（1）=1，∴f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，最大值为f（1）=1，若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立，即t2﹣2at﹣1≥﹣1对所有a∈[﹣1，1]恒成立，∴t2﹣2at≥0，设g（a）=t2﹣2at=﹣2ta+t2，则满足，即，∴t≥2或t≤﹣2或t=0，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．7.在平面斜坐标系中，，点的斜坐标定义为“若(其中分别为与斜坐标系的轴、轴同方向的单位微量)，则点的坐标为”.若，，且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为(

)A．

B．

C.

D．参考答案：D8.若的最大值为

（

）

A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：答案:B9.已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．2参考答案：D【考点】抽象函数及其应用．【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．10.数列的前40项的和是（

）A

B

C

19

D

18参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得，则

.参考答案：；12.已知定义在上的奇函数满足，且时，，有下列结四个论：①；②函数在上是增函数；③函数关于直线对称；④若，则关于的方程在上所有根之和为-8.其中正确的是________(写出所有正确命题的序号)参考答案：①④13.的展开式中各项二项式系数之和为64，则

，展开式中的常数项为

．参考答案：6，6014.若两个正实数满足，则的最小值是

．参考答案：815.已知函数，且，

则=

.【解析】因为，所以，即。所以。参考答案：因为，所以，即。所以。【答案】7

16.在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则=

．参考答案：17.集合．参考答案：{1，2，3}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生

5

女生10

合计

50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）已知喜爱打篮球的10位女生中，还喜欢打羽毛球，还喜欢打乒乓球，还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求和不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：）参考答案：解：(Ⅰ)列联表补充如下：

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050(Ⅱ)∵

∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

(Ⅲ)从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：，，，，，，，,网]基本事件的总数为18,用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于由,3个基本事件组成，所以，

由对立事件的概率公式得.

略19.（本小题满分12分）已知函数求的最小正周期和在[0,上的最小值和最大值；参考答案：解：……..3分=………………….7分的最小正周期为，………………….…..8分，函数取得最小值，最大值为…………...12分20.（本题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，函数取得极大值，求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内存在导数，则存在，使得.试用这个结论证明：若函数（其中），则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数满足，求证：对任意的实数，若时，都有.

参考答案：（Ⅰ）由题设，函数的定义域为，且所以，得，此时.当时，，函数在区间上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减.函数在处取得极大值，故

…………4分（Ⅱ）令，则.因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在使得

…………7分又，当时，，从而单调递增，；当时，，从而单调递减，；故对任意，都有

.

…………9分（Ⅲ），且，，

同理，

…………12分由（Ⅱ）知对任意，都有，从而．

…………14分

略21.已知函数.（1）讨论函数在上的单调性；（2）当时，曲线上总存在相异两点，，，使得曲线在、处的切线互相平行，求证：.参考答案：（1）函数的定义域为．求导数，得，令，解得或．∵，∴，∴当时，；当时，．故在上单调递减，在上单调递增．（2）由题意得，当时，且，即∴．整理得令

所以在上单调递减，所以在上的最大值为

略22.（本小题满分14分）已知函数f（x）=sinx-ax-bxcosx（a∈R，b∈R）。（1）若b=0，讨论函数f（x）在区间（0，π）上的单调性；（2）若a=2b且，对任意的x>0，试比较f（x）与0的大小。参考答案：（1）b=0时，f（x）=sinx-ax，则f'（x）=cosx-a， …………2分当a≥1时，f'（x）<0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递减：…………3分当a≤-1时，f'（x）>0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递增；…………4分当-1<a<1时，存在∈（0，π），使得cos=