高等流体力学-第六讲课件

北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

本讲主要内容

一、描述离散的基本方程 二、圆管流中的离散 三、宽矩形断面明槽流动中的离散 四、非定常剪切流中的离散 五、平面二维流动中的离散 六、浓度矩法简介

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一、描述离散的基本方程

1、离散概念 离散（弥散Dispersion）：由剪切流中流速分布（对紊流指时均速度分布）不均产生含有物质随流散开的作用。

2、离散发展过程

3、离散过程参数表示

离散初始阶段离散发展稳定过程（1）速度：（2）浓度：其中：速度时均值断面平均值：断面平均偏离值：紊流脉动值：平均值与偏差值北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

4、移流离散、分子扩散与紊动扩散作用大小比较 （1）两质点的移流离散 管流：一质点在管中心，一质点在管壁处。 （2）沿横断面的分子扩散 随机运动，格态遍历特性。 （3）作用大小 移流作用>>紊动扩散>>分子扩散。 （4）径向分子扩散与纵向移流离散的平衡 在扩散初期，纵向离散的作用很强，远大于分子扩散和紊动扩散；随着扩散纵向浓度梯度的减小，纵向离散作用不断减弱，而分子径向扩散作用却始终保持着。这是因为纵向离散维持着径向浓度梯度之故。 当扩散时间增大到某一程度，两种作用将保持平衡。 达到平衡所需时间是多少？（Chatwin1970） 纵径扩散平衡图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

5、一维纵向移流平均浓度扩散方程；式中：（2）速度浓度乘积时均值的断面平均值（1）速度浓度乘积时均值北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散体积变化图示质量守恒图示（4）断面平均浓度离散方程（3）体积变化关系北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

速度与浓度乘积的断面偏差及紊动时均的断面平均进行模式化处理，有： 其中：Dt为紊动扩散系数；

DL为纵向移流离散系数（Longitudinaladvertiondispertioncoefficient）。 代入后可得：

当面积A为常数，令K=DL+Dt，称为综合扩散系数（MixingCoefficient） 得面积平均浓度离散方程：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

6、浓度偏差方程（平面层流） 速度及平均速度偏差分布图（1）（2）经量级比较，略去小量，展开上式，可得：可得：代入上式，且作变换：将速度分布如图，对扩散方程北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散（3）考虑变化平稳，且条件下，有，即：边界条件：由此得到泰勒对浓面积平均偏差值的方程（恒定流动）：用（1）式减（3）式，得：对（2）式作断面平均运算，得：简化运算北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

得纵向离散系数：有模式关系：通过断面流入的扩散质的质量为：积分浓度面积平均差值方程，可求出：7、纵向离散系数DL（或K）的确定方法北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

边界条件：及；8、基本公式小结（1）浓度断面平均值扩散方程（3）浓度断面平均差值方程（4）纵向离散（或混合系数）系数计算公式（2）离散系数定义北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

二、圆管中的离散

令：z=r/a，有：以柱坐标形式表示（2）浓度偏差值1、圆管层流中的离散（1）速度分布其中：a—圆管半径。北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

积分解得：

（3）纵向离散系数

（4）量级概念 当Dm=10-5cm2/s，umax=1cm/s，a=2mm； 算得：DL=20cm2/s。北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

2、圆管紊流中的离散分析步骤（3）浓度断面平均差方程（2）紊动扩散系数的比拟（1）紊流速度分布其中：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

给定f(z)既可求解上述浓度差值方程，泰勒（1954）给出速度分布为：

经数值积分得出结果：

上述结果经实验验证，符合较好。

纵向离散系数：纵向紊动扩散系数：综合扩散系数：其中：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

三、宽矩形断面明槽流动中的离散

1、问题化简 矩形断面明槽，槽底水平，沿槽纵向时均流速仅是（x,z）的函数，横向和竖向时均流速为零。 对三维紊动时均扩散方程 忽略分子扩散，对浓度脉动与速度脉动乘积时均值模式化，有： 考虑横向浓度梯度较小（即浓度分布在横向已达均衡），而纵向紊动扩散作用远小于移流离散作用，紊动扩散仅考虑竖向作用，即有：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

2、爱尔德（Elder，1959）的处理方法 爱尔德应用泰勒的方法，处理矩形明槽中的扩散 （1）是均速度、浓度的表示 （2）坐标变换 （3）整理后浓度时均差方程满足 （4）速度分布假设 （5）紊动扩散系数与运动粘性系数的比拟

k=0.41北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

3、求解结果（2）纵向离散系数（1）浓度时均断面差值北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

（3）紊动扩散系数 设紊动是各向同性的，即有： 由定义： 将垂向紊动扩散系数 代入，可得：

（4）纵向综合扩散系数北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

四、非定常剪切流中的离散

1、问题的提出

非定常的运动是普遍存在的。如港口或潮汐河段，存在周期性的涨潮和退潮；又如风吹动的湖面等，这类非定常运动下，污染物扩散问题如何研究？

2、一维研究模型

对非定常流中的扩散问题，选用周期运动模型如图。一维模型图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

3、两种极限状况

设定常扩散稳定时间为Tc~h2/Dm，T为运动周期时间，两种极限状况为：

扩散现象如图所示，移流纵向离散系数DL=0； ；因变化较为缓慢，可按移流离散方法分析。

4、数学模型 对浓度断面平均值偏差方程，计入非稳定项，可得问题描述的数学模型：扩散过程图示边界条件：初始条件：（1）（2）北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

5、模型的解析解 由模型条件可知： 令Dtz为常数（或为层流情况Dm），则有： 由数理方程的解法，可得：边界条件：初始条件：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

纵向离散系数的周期平均值为： 可见，当 当周期纵向离散系数随T的变化图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

五、平面二维流动中的离散 对许多环境问题，如港湾、湖泊中的流动，可按平面二维流动分析，其中在x、y方向的速度分量ux，uy沿水深变化，沿水深平均后得到的速度平均值仅为（x，y）的函数，因而构成平面二维流动，如图所示。

1、流动量的表示（z向平均表示）二维离散流动图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

2、z向平均浓度扩散方程 由三维浓度扩散方程： 代入二维运动条件，可得： 沿z做向积分平均运算，经化简后北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

将紊动项模式化

得z平均值的平面二维扩散方程

其中：K二维方阵北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

5、浓度平均值差的方程

对定常问题，可解得： 按一维方法得到综合离散系数：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

6、Fischer给出的算例

Fisher（1978）对x方向平行于海岸线，y方向垂直于海岸线，具有图示流动模型的浓度扩散问题，给出二维浓度移流离散解。 算得综合离散系数为： 对给定速度平均值Vx=5cm/s；Vy=5cm/s，计算结果如图。速度分布图计算结果图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

六、浓度扩散的浓度矩法（Aris，1956）简介

1、浓度扩散问题确定的思路 （1）浓度分布函数与浓度概率分布密度 在分子扩散的随机游走分析中已证明：

1）浓度分布函数可以用概率密度函数表示；

2）概率密度与分子扩散系数间存在关系 （2）概率统计理论的结论 设概率密度为p（x），对其作傅里叶（Fourier）变换，所得函数称为开率密度的特征函数： 概率密度：其中：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

因概率密度函数是绝对可积的，所以K（z）是连续可微的，可作泰勒展开： 其中在z=0处K(z)的各级导数为： 其中： 如：称为n阶统计矩。称为期望值；称为方差。北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散

2、浓度矩法 以两平板间的层流为例，对沿x轴做移流运动