高等数学电子教案

一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域ds

时，相应地部分量可近似地表示为f

(x,y)ds

的形式，其中(x,y)在ds

内．这个f

(x,y)ds

称为所求量U的元素，记为dU，所求量的积分表达式为U

=

f

(

x,

y)dsD实例

一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动．若地球半径取为R，问卫星距地面的高度h应为多少？通讯卫星的覆盖面积是多大？二、曲面的面积hoxz卫星１．设曲面的方程为：z

=f

(x,y)以ds

边界为准线，母线平行于z轴的小柱面，截曲面s

为ds；截切平面S

为dA，则有dA

»ds.在xoy面上的投影区域为D,如图，设小区域ds

˛

D,点(x,y)˛

ds

,S

为S

上过M

(x,y,f

(x,y))的切平面.Mx(

x,

y)

ydszsdASo

ds

为dA

在xoy

面上的投影,\ds

=

dA

cosg,,11

+

f

2

+

f

2x

y

cosg

=\

dA

=1

+

f

2

+

f

2

dsx

yx

y\

A

=1

+

f

2

+

f

2

ds

,曲面S的面积元素Dxy¶z¶y¶z¶xD曲面面积公式为：A

=22)

+

( )

dxdy1

+

(３．设曲面的方程为：y

=h(z,x)22dzdx.Dzx¶x¶y¶z¶y+1

+

(

)

(

)曲面面积公式为：A

=(

)

(

)22dydz;Dyz¶z¶x¶y¶x+1

+曲面面积公式为：A

=同理可得

２．设曲面的方程为：x

=g(y,z)例

1

求球面x2

+

y2

+

z2

=

a2，含在圆柱体1D

：

x

2

+

y

2

£

ax曲面方程z

=a2

-

x2

-

y2

,(

)

(

)22¶y¶z¶x¶z+于是

1

+,aa2

-

x2

-

y2=x2

+y2

=ax内部的那部分面积.解

由对称性知A

=

4

A1

,(

x,

y

‡

0)面积A

=

4

1

+

z

2

+

z

2

dxdyx

yD1=

41Ddxdya2

-

x2

-

y2a001p2a

cos

qrdra2

-

r

2dq=

4a=

2pa2

-

4a2

.x2

+

y2例

2

求由曲面x2

+

y2

=

az

和z

=

2a

-解解方程组

,z

=

2a

-

x2

+

y2(a

>0)所围立体的表面积.

x2

+

y2

=

az得两曲面的交线为圆周,z

=

a

x2

+

y2

=

a2在xy

平面上的投影域为Dxy

:x2

+

y2

£

a2

,a由z

=1

(x2

+y2

)得azx=

2

x

,azy=

2

y

,1

+

z2

+

z2

=x

y

+

1

+

2

y

2

a

a

2

x

2aa2

+

4

x2

+

4

y2

,=

1由

z

=

2a

-

x2

+

y2知1

+

z2

+

z2

=

2,x

yaxyD故S

=

1xyDa2

+

4

x2

+

4

y2

dxdy

+

2dxdyadq=0

a2p012pa2a2

+

4r

2

rdr

+6(6 2

+

5 5

-1).=pa2设xoy平面上有n个质点，它们分别位于(x1

,y1

)，(x2

,y2

)，,(xn

,yn

)处，质量分别为m1

,m2

,,mn

．则该质点系的重心的坐标为niymMMx

=i

=1=

i

=1，nin

nm

mi

xi

mi

yiMMy

=i

=1x

=

i

=1．三、平面薄片的重心(x

,y)当薄片是均匀的，重心称为形心.DAx

=xds

,1

1DAy

=Ddsyds

.

其中A

=DD

r(

x,

y)ds

xr(

x,

y)ds.D,

y

=

yr(

x,

y)dsD

r(

x,

y)ds由元素法x

=设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D

，在点(x,y)处的面密度为r(x,y)，假定r(x,y)在D

上连续，平面薄片的重心

y

=

a(1

-

cos

t

)

x

=

a(t

-

sin

t

)例

3

设平面薄板由 ，(0

£

t

£

2p)与x轴围成，它的面密度m

=1，求形心坐标．解先求区域D

的面积A，

0

£

t

£

2p，

\

0

£

x

£

2paA

=2pa0y(

x)dx=2p0a(1

-

cos

t

)d[a(t

-

sin

t

)]=2p0a2

(1

-

cos

t

)2

dt2=

3pa

.D2paay(

x)所以形心在x

=pa上，即

x

=

pa,ydxdyy

=1=001y(

x

)2paydydxA=026paA

D106p[

y(

x)]2

dx

=

a2pa62p

5p[1

-

cos

t]3

dt

=

.6所求形心坐标为(pa,5

p).由于区域关于直线x

=pa对称，设xoy平面上有n个质点，它们分别位于

(x1

,y1

)，(x2

,y2

)，,(xn

,yn

)处，质量分别为m1

,m2

,,mn

．则该质点系对于x

轴和y

轴的转动惯量依次为i

ixm

yI

=i

=12，n

ni

iym

xI

=i

=12.四、平面薄片的转动惯量设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为r(x,y)，假定

r(x,y)在D

上连续，平面薄片对于x

轴和y

轴的转动惯量为薄片对于x轴的转动惯量Ix

=

y

r(

x,

y)ds

,2D薄片对于y

轴的转动惯量I

y

=

x

r(

x,

y)ds

.2D例

4

设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为a

、b，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.解aboyx设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上，如图对y轴的转动惯量为I

y

=

r

x

dxdy,2Dbba

(1-

y

)0

02=

r

dy121a3br.x dx

=同理：对x轴的转动惯量为xDI

=

r12y2dxdy

=

1

ab3

r.例

5

已知均匀矩形板（面密度为常数r）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解1Dxdxdy,A先求形心

x

=1Dydxdy.Ay

=oyx区域面积

A

=

b

h,建立坐标系如图因为矩形板均匀,由对称性知形心坐标bhx

=

2

，

y

=

2

.hboyxhbuvo将坐标系平移如图对u轴的转动惯量Iu

=

r

v

dudv2D-2-22h2hb2bduv

dv=

r.12bh3

r=对v轴的转动惯量D122

b3hrIv

=

r

u

dudv

=

.设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D

，在点(x,y)处的面密度为r(x,y)，假定r(x,y)在D

上连续，计算该平面薄片对位于z

轴上的点M0

(0,0,a)处的单位质点的引力．(a

>0)薄片对z

轴上单位质点的引力F

={Fx

,Fy

,Fz

},3222

2r(

x,

y)

xDx(

x

+

y

+

a

)F

=

f3222

2ds

,r(

x,

y)

yds

,

FyD(

x

+

y

+

a

)=

f322ds

.r(

x,

y)Dz(

x

+

y2

+

a2

)F

=

-af

f

为引力常数五、平面薄片对质点的引力例6

求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片：

x2

+

y2

£

R2

，z

=

0对位于z

轴上的点M0

(0,0,a)处的单位质点的引力．(a

>

0)解

由积分区域的对称性知

Fx

=

Fy

=

0,dszDF

=

-af32(

x

+

y

+

a

)r(

x,

y)222dsD=

-afr32(

x

+

y

+

a

)1222oyzxFrdrRdq=

-afr0222p032(r

+

a

)11-

1

.a

=

2pfar

R2

+

a2

所求引力为1

-

1

.a

R2

+

a20,

0,

2pfar几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结思考题(0

<

a

<

b)求位于两圆r

=a

cosq

,r

=bcosq之间的均匀薄片的重心.b

xyo

aD

rds

xrdsx

=

D

r

Dpb

cosqr

cosq

rdr=

0

a

cosq

2r

2

dq4=

8

pr

(b2

-a2

)pr

(b3

-a3

).2(b

+

a)b2

+

ba

+

a2=思考题解答薄片关于x

轴对称则

y

=

0,一、求锥面z

=x

2

+y

2

被柱面z

2

=2

x

所割下部分的曲面面积.二、设薄片所占的闭区域D

是介于两个圆

r

=a

cosq

,r

=b

cosq

(0

<a

<b)之间的闭区域,求均匀薄片的重心.三、设有一等腰直角三角形薄片,腰长为a

,各点处的面