第10讲：四种命题讲义 高三艺考数学一轮复习

第10讲：四种命题【课型】复习课命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若p，则q逆否命题若q，则p【教学目标】1.理解命题的概念与分类2.能熟练写出四种命题并会它们之间的关系判断真假【预习清单】【基础知识梳理】1．命题的概念：在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题（右上图表）(2)四种命题间的逆否关系（右中图表）(3)四种命题的真假关系逆命题①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；逆命题②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．命题的否定形式与否命题的区别。逆否命题（1）“若p则q的否定为：若p则q逆否命题否命题(2)命题若p则q的否命题为：若p则q否命题4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语等于(＝)大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的一定否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定【引导清单】考向一：四种命题的形式及真假判断例1：把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假正三角形的三个内角相等(2)已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.【解】(1)原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等．（真）逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形．（真）否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．（真）逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形．（真）(2)原命题：已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.（真）逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b且c＝d.（假）否命题：已知a、b、c、d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d.（假）逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等．（真）考向二：命题否定形式与否命题区别及真假判断例2：写出下列命题的否定形式及其否命题并判断它们的真假(1)若且，则；(2)若，则，全为.【解】(1)命题的否定为：若且，则；（假）否命题为：若或，则；（假）(2)命题的否定为：若，则，不全为；（假）否命题为：若，则，不全为.（真）【训练清单】【变式训练1】写出命题（1）““若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．（2）“位数字是0的整数能被5整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．【解】）（1）逆命题：若a＝0且b＝0，则a2＋b2＝0；真命题．否命题：若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0；真命题．逆否命题若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0；真命题．（2）逆命题：能被5整除的整数的末位数字是0，假命题．否命题：末位数字不是0的整数不能被5整除，假命题．逆否命题：不能被5整除的整数的末位数字不是0，真命题.【变式训练2】将下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它们的否命题与否定形式:(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)时，函数的值随值的增加而增加.【解】(1)原命题可改写为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形，否命题为：若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形；否定形式（）为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它不是菱形；(2)原命题可改写为：时，若增加，则函数的值也随着增加，否命题为：时，若不增加，则函数的值也不增加；否定形式（）为：时，若增加，则函数的值不增加；【巩固清单】1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．【解析】若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠02．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．【解析】对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤03．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是【解析】“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．4．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是【解析】依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为0.逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0.5.在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中其中真命题的个数可以是【解析】根据互为逆否的两个命题真假性相同可知原命题、逆命题、否命题、逆否命题中其中真命题的个数可以是0个、2个、4个。6．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的序号是【解析】①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．7．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的命题。【解析】命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．8．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是【解析】根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.9．能说明“若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)”为假命题的一组a，b的值依次为________．【解析】若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)为真命题，则eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)＜0，因为a＞b，所以b－a＜0，则ab＞0.故当a＞0，b＜0时，均能说明“若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)”为假命题．答案：a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a＞0，b＜0)10．已知集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)，k∈Z))，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是【解析】因为P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(2k＋1,2)，k∈Z))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)，k∈Z))，所以PQ，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题也为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.11.写出命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定形式，并判断这些命题的真假.解：逆命题：“若是偶数，则，都是奇数”,其为假命题；否命题：“若，不都是奇数，则不是偶数”，其为假命题；逆否命题：“若不是偶数，则，不都是奇数”,其为真命题.命题的否定形式:“若