6等比数列及其前n项和（讲）数学（文）一轮复习讲练测

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精KS5U2018年高考数学讲练测【新课标版文】【讲】第六章数列第03节等比数列及其前n项和【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测等比数列的概念与运算1.理解等比数列的概念.2。掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.2017课标Ⅰ,文172016课标Ⅲ，文172015课标Ⅱ,文92015课标Ⅰ，文132013课标Ⅰ,文61.高频考向：利用方程思想求基本量及等比数列通项公式、前n项和.等比数列的性质及应用1。能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.2。了解等比数列与指数函数的关系。2。低频考向：等比数列的性质及应用.3.特别关注：根据已知递推式构造等比数列求解相关问题.【知识清单】一．等比数列的有关概念1。等比数列定义一般地,如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：，（注意:“从第二项起"、“常数”、等比数列的公比和项都不为零)2．等比数列通项公式为：。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列,则。3．等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项(两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项)4．等比数列前项和公式一般地,设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）。说明:（1)（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆;（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。5。等差数列与等比数列的区分与联系（1）如果数列成等差数列，那么数列（总有意义)必成等比数列．(2）如果数列成等比数列，且，那么数列（，且）必成等差数列．（3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4）如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列,那么常选用“由特殊到一般"的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．对点练习：【2014重庆高考第2题】对任意等比数列,下列说法一定正确的是（)成等比数列成等比数列成等比数列成等比数列【答案】D【解析】因为数列为等比数列，设其公比为，则所以，一定成等比数列，故选D。等比数列的相关性质1.等比数列的性质:（1）在等比数列中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项;KS5UKS5UKS5U]（2）在等比数列中,相隔等距离的项组成的数列是等比数列,如:，,，，……；，,，，……;（3)在等比数列中，对任意，,； （4）在等比数列中，若,，，且,则,特殊地，SKIPIF1〈0时，则SKIPIF1〈0，SKIPIF1〈0是SKIPIF1〈0的等比中项.也就是:,如图所示:.（5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，,那么,，成等比数列.如下图所示:。（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．（7）若数列是等比数列,则,仍为等比数列．2.公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，,…成等比数列,且公比为。3.等比数列的单调性当或时,为递增数列，当或时，为递减数列．4。等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义＝常数＝常数通项公式判定方法（1）定义法；(2)中项公式法：⇔为等差数列；(3)通项公式法:（为常数，）⇔为等差数列；（4）前n项和公式法：(为常数,）⇔为等差数列；(5)为等比数列,且，那么数列(，且）为等差数列（1)定义法（2）中项公式法：()⇔为等比数列(3)通项公式法：(均是不为0的常数，）⇔为等比数列(4)为等差数列⇔(总有意义)为等比数列性质（1)若，,,，且，则（2）［KS5UKS5UKS5U］（3）SKIPIF1〈0，…仍成等差数列（1）若，，，,且，则（2)(3)等比数列依次每项和（），即SKIPIF1<0，…仍成等比数列前n项和时，；当时,或。对点练习:1。【2016天津5】设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的(）.A。充要条件B。充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得，.由，故是必要不充分条件.故选C。2。已知为正项等比数列,是它的前项和，若，且与的等差中项为,则的值（）A．29B．31C．33D．35【答案】B【考点深度剖析】等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题,但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性．【重点难点突破】考点1等比数列的定义，通项公式，前项和的基本运算【1—1】【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2018届高三上学期三校联考数学（文）】已知等比数列的前项和为，且则A。B.C。D.【答案】C【解析】由等比数列可得，，解得q=2，故选C。【1-2】【2017全国卷2】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(）。A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】设顶层灯数为，，,解得．故选B。［KS5UKS5U]【1-3】【黑龙江省海林市朝鲜中学2018届高三高考综合卷（一）数学（文）】已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为，则的一个可能值为（)A.B.C。D。【答案】C【领悟技法】1.等比数列的判定方法(1）定义法:对于数列,若，则数列是等比数列；(2）等比中项：对于数列,若，则数列是等比数列；（3）通项公式法(均是不为0的常数,)⇔是等比数列．2.求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程（组)获得解．即等比数列的通项公式及前项和公式或，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值。运用方程的思想解等比数列是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．(2)分类讨论思想:在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，;当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．3。特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为。这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.4.等比数列的前项和公式若已知首项和末项，则,或等比数列{an｝的首项是，公比是，则其前项和公式为。5.若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．【触类旁通】【变式一】【湖北省武汉市2017-2018学年度部分学校新高三起点调研考试】已知等比数列中，，，成等差数列，设为数列的前项和，则等于（)A.B.3或C.3D.【答案】B【变式二】【河南省洛阳市2017—2018学年高三期中考试文】等比数列中，，函数，则（）A.B。C。D.【答案】D【解析】在等比数列中，由，得，函数是个因式的乘积，展开后含的项仅有，其余的项的指数均大于等于，中的常数项仅有，，故选D.考点2等比数列的性质【2-1】【河南省中原名校2018届高三第三次质量考评试卷】设为等比数列的前项和且，则（)A。B.C。D。【答案】D【2—2】【四川省双流中学2018届高三上学期9月月考数学】各项为正数的等比数列中，与的等比中项为，则__________．【答案】【解析】由题设，又因为，所以，应填答案。【2—3】【2017山东卷文】已知是各项均为正数的等比数列,且,。（1)求数列通项公式；（2)为各项非零的等差数列,其前项和,已知,求数列的前项和.【解析】(1)设数列的公比为，由题意知,，.又，解得，，所以。（2）由题意知，,，所以，令，则，因此，又，两式相减得,所以。【领悟技法】1.等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．2。等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用,故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式．4。在运用函数判断数列的单调性时,要注意函数的自变量为连续的,数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一,从某一项开始才符合递增或递减的特征,这时前几项中每一项都必须研究．【触类旁通】【变式一】【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】设正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的值为__________．【答案】6【变式二】【湖南省岳阳市一中2018届高三上学期第一次月考数学（文）】三个数成等比数列，若有成立,则的取值范围是（）A。B。C。D。【答案】C【解析】由题设可得，所以由基本不等式可得,即解之得，又，故或，应选答案C。考点3等差数列与等比数列的综合应用【3—1】【浙江省温州市2018届高三9月高考适应性测试（一模)】已知数列是公差不为0的等差数列，，数列的前项，前项，前项的和分别为,，,则（）A.B.C。D.【答案】D【解析】是公差不为0的等差数列,是以公比不为的等比数列，由等比数列的性质,可得成等比数列，可得，故选D.【3-2】【广东省广州市海珠区2018届高三综合测试（一）数学】已知等差数列的公差为,若成等比数列，则前项的和为()A。B。C.D.【答案】B【3-3】【2017北京卷】若等差数列和等比数列满足，,则_______.【答案】1【解析】由,，则，由，，则，则。故。【领悟技法】1。等差、等比数列性质很多,在高考中以等差中项和等比中项的考查为主,在应用时，要注意等式两边的项的序号之间的关系．2。在等差数列与等比数列的综合问题中,特别要注意它们的区别，避免用错公式．方程思想的应用往往是破题的关键．3.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．4.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．5。解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略。【触类旁通】【变式一】【陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第八次模拟考试数学】已知等差数列1，,,等比数列4,，,则该等比数列的公比为（）A。B。C.或D。10或【答案】C[KS5UKS5UKS5U］【变式二】【2017全国卷1文】记为等比数列的前项和.已知，。（1）求的通项公式；（2）求，并判断，，是否成等差数列.【解析】（1）由题意设等比数列的首项为,公比为，则，从而，即,整理得，因此,所以，数列的通项公式为．（2)由（1）知,因此．所以，，成等差数列．三、易错试题常警惕易错典例：设等比数列的前项和为Sn，若S3＋S6＝S9,则数列的公比q是________．易错分析：忽视对等比数列中公比的分类讨论致误，即当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1.正确解析：①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．②当q≠1时,由S3＋S6＝S9得∴q9－q6－q3＋1＝0，即（q3－1）（q6－1)＝0。∵q≠1,∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.答案1或－1温馨提醒：（1)等比数列前项和公式是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是必须弄清公比是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论，在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误．(2）在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an｝为等比数列,还要验证a1≠0。四、学科素养提升之思想方法篇函数在研究数列中的应用（证明不等式）1。解决数列与函数的两类综合问题的一般思路（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和，对式子化简变形．2．解决数列与函数综合问题的注意点(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一群孤立的点．（2）转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．(3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化