复变函数课件第2章-复变函数的概念、极限与连续性

§2.1复变函数的概念、极限与连续性§2.1复变函数的概念、极限与连续性1.复变函数的定义

2.映射的概念

3.反函数或逆映射复变函数的概念1.复变函数的定义复变函数的概念1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似

定义2.1设E是复平面上的点集,若对任何z=x+iyE,都存在一个或几个复数w=u+iv和z对应,称在E上确定了一个复变函数，用w=f(z)表示.

E称为该函数的定义域.1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义2.1设E该函数的值域为：该函数的值域为：例1例2例1例2oxy(z)Eouv(w)EGw=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)woxy(z)Eouv(w)EGw=f(z)在几何上，w=f

以下不再区分函数与映射（变换）。

在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v

与x，y

之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）以下不再区分函数与映射（变换）。在复变函数中用两个复平例3解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(映射)见图2例4解例3解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)ooxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R3.反函数或逆映射例设z=w2

则称为z=w2的反函数或逆映射∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义集合为E，函数值集合为G，那么则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.3.反函数或逆映射例设z=w2则称1.函数的极限

2.相关定理

3.函数的连续性复变函数的极限与连续性1.函数的极限复变函数的极限与连续性

定义2.2设复变函数w=f(z)在z0的某个去心邻域内有定义,A是复常数.若对任意给定的e>0,存在d>0,使得对一切满足0<|z-z0|<d的z,都有成立,则称当z趋于z0时,f(z)以A为极限，并记做或注意:定义中zz0的方式是任意的.复变函数的极限定义2.2设复变函数w=f(z)在z0的某几何意义uv(w)oAxy(z)o几何意义:

当变点z一旦进入z0

的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中几何意义uv(w)oAxy(z)o几何意义:

相关定理复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理2.1相关定理复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理2.1定理2.2

以上定理用极限定义证!定理2.2以上定理用极限定义证!例1例2例3例1例2例3函数的连续性定义2.3函数的连续性定义2.3例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。证明xy(z)ozz例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。定理2.5设则f(z)在处连续的充分必要条件是都在点连续.

定理2.3连续函数的和、差、积、商(分母不为0)

仍为连续函数;

定理2.4

连续函数的复合函数仍为连续函数。定理2.5设则f(z)在处连续的充分必要条件是有界性：有界性：§2.2

解析函数的概念§2.2解析函数的概念一、复变函数的导数1、导数的定义

定义2.4设是定义在区域D上的存在，则称在点可导,并把这个极限值称为在点的导数，记做复变函数,z0是区域D内的定点.若极限一、复变函数的导数1、导数的定义定义2.4

定义中的极限式可以写为即当在点可导时,注意的方式是任意的.定义中的极限式可以写为即当

此时，对D内任意一点z,有也可用等表示在z点的导数.若在区域D内每一点都可导,则称在区域D内可导.此时，对D内任意一点z,有也可用等表示则例1设在复平面内处处可导，且解因为所以则例1设在复平面内处处可导，且解因为所以例2证明在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z,有故这说明在复面内处处连续.例2证明在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面但是,设沿着平行于x轴的方向趋向于0,即于是但是,设沿着平行于x轴的方向趋向于0,所以的导数不存在.设沿着平行于y轴的方向趋向于0,即所以的导数不存在.设沿着平行于y轴的方向趋向于2、可导与连续的关系

函数f(z)在z0处可导，则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.

事实上,由f(z)在z0点可导,必有).()()()(

000zfzzfzzfz¢-D-D+=Dr令2、可导与连续的关系函数f(z)在z0处可导

,)()(lim000zfzzfz=D+®D所以再由即在处连续.

反之,由知,不可导.但是二元实函数连续,于是根据知,函数连续.,)()(lim000zfzzfz=D+®D所以再由即在处3、求导法则

由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同.求导公式与法则:(1)其中c为复常数.(2)其中n为正整数.3、求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实其中其中与是两个互为反函数的单值函数,且其中其中与是两个互为反函数的单值函数,且二、解析函数

定义2.5

在区域D有定义.(1)设,若存在的一个邻域，使得在此邻域内处处可导,则称在处解析,也称是的解析点.(2)若在区域D内每一点都解析，则称在区域D内解析,或者称是区域D内的解析函数.二、解析函数定义2.5在区域D有(3)设G是一个区域，若闭区域且在G内解析，则称在闭区域上解析.函数在处解析和在处可导意义不同，前者指的是在的某一邻域内可导,但后者只要求在处可导.函数在处解析和在的某一个邻域内解析意义相同.(3)设G是一个区域，若闭区域且在G内

复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的.

事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.

反之,设函数在区域D内可导,则对任意存在z的某一个邻域U,使得UD,由在D内可导,可知在U内可导,即在z处解析.复变函数在区域内解析与在该区域内可导若函数在处不解析，则称是的奇点.若是的奇点,但在的某邻域内,除外,没有其他的奇点，则称是函数的孤立奇点.

由例1和例2知,函数是全平面内的解析函数，但是函数是处处不解析的连续函数.若函数在处不解析，则称是根据求导法则，很容易得到下面的结论.定理2.6

设函数在区域D内解析,则也在D内解析.当时,是的解析点.特别地,多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的孤立奇点.根据求导法则，很容易得到下面的结论.定理2.6设函数

例3证明在处可导,但处处不解析.证明根据导数的定义,因此在处可导，且当时,由得例3证明故虽然但是当z分别从平行于x,y轴方向趋于z0时，分别以1和-1为极限，因此不存在.又因为所以不存在，即在时不可导,从而在复平面内处处不解析.故虽然但是当z分别从平行于x,y轴方向趋于z0时，§2.3复函数可导与解析的充要条件§2.3复函数可导与解析的充要条件

如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。

本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题如何判断函数的解析性呢？如果复变函数w=f(z)=u(x一.解析函数的充要条件一.解析函数的充要条件复变函数课件第2章-复变函数的概念、极限与连续性复变函数课件第2章-复变函数的概念、极限与连续性

记忆定义2.6对于二元实函数u(x,y)和v(x,y)，方程称为柯西-黎曼方程(简称C-R方程).记忆定义2.6对于二元实函数u(x,y)和v定理2.7设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是（1）u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微；（2）u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程上述条件满足时，有定理2.7设f(z)=u(x,y)+iv

由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.

利用该定理可以判断那些函数是不可导的.

定理2.7的证明略。由解析函数的定义2.5及定理2.7，我们可以得到定理2.8.由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个定理2.8

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是（1）u(x,y)和v(x,y)在D内可微（2）u(x,y)和v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程定理2.8函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y解析函数的判定方法:(1)如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数f(z)的导数在区域D内处处存在,则可直接断定f(z)在区域D内解析.(2)如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连续

(因而u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微),并且满足柯西-黎曼方程,则由解析函数的充要条件可以断定函数f(z)在区域D解析.（P28推论2.1）解析函数的判定方法:(1)如果能够用求导公判定复变函数可导性与解析性的步骤：I)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性；II)验证C-R方程；III）根据推论2.1或定义2.5判断函数的解析性。

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在可导点处的导数为判定复变函数可导性与解析性的步骤：前面我们常把复变二.举例例1

判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

则二.举例例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：解((2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则仅在点z=0处满足C-R方程，故(3)设z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0则仅在点z=0处满足C-R方程，故(3)设z=x+iy解由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,

所以当且仅当x=y=0时,因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.例2

判断下列函数在何处可导,在何处解析:解由w=zRe(z)=x2+ixy,得u例3

设其中a,b,c,d是常数，问它们取何值时,函数f(z)在复平面上解析.解：显然，在全平面可微，且例3设其中a,b,c,d是常数，问它们取何值时容易看出,当时,函数满足柯西-黎曼方程,这时函数

在全平面解析.容易看出,当§2.4初等函数§2.4初等函数1.指数函数

2.对数函数

3.幂函数

4.三角函数1.指数函数

本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。内容简介本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复定义：

性质：

一.指数函数定义：性质：一.指数函数

这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。

例1例2例3例1例2例3二.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义二.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，(当k=0时，为Lnz的一单值函数，称为Lnz的主值。故当k=0时，故特别