第七章解线性方程组的迭代法课件

主要知识点雅可比迭代法高斯-塞德尔迭代法SOR方法迭代法的收敛性及误差估计1主要知识点雅可比迭代法1解线性方程组的迭代法直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）

直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。2解线性方程组的迭代法直接法:经过有限次运算后可求得方程组精迭代法概述迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。3迭代法概述迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的收敛性定理4收敛性定理4收敛性定理（续）5收敛性定理（续）5雅可比(Jacobi)迭代法6雅可比(Jacobi)迭代法6雅可比(Jacobi)迭代法（续）7雅可比(Jacobi)迭代法（续）7矩阵简化记法8矩阵简化记法8收敛与解故如果序列收敛,则收敛到解。B称迭代矩阵。9收敛与解故如果序列收敛,则收敛到解。B称迭代矩阵。9雅可比(Jacobi)迭代法例子10雅可比(Jacobi)迭代法例子10Jacobi迭代法的计算过程如下：11Jacobi迭代法的计算过程如下：11高斯—塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法12高斯—塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法12高斯—塞德尔迭代法（续1）13高斯—塞德尔迭代法（续1）13高斯—塞德尔迭代法（续2）14高斯—塞德尔迭代法（续2）14高斯—塞德尔迭代法（续3）15高斯—塞德尔迭代法（续3）15高斯—塞德尔迭代法（续4）16高斯—塞德尔迭代法（续4）16高斯—塞德尔迭代法（续5）17高斯—塞德尔迭代法（续5）17Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下18Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下18松弛法19松弛法19松弛法（续1）20松弛法（续1）20松弛法（续2）21松弛法（续2）21松弛法例子22松弛法例子22松弛法计算过程如下23松弛法计算过程如下23迭代法的收敛条件矩阵的谱半径24迭代法的收敛条件矩阵的谱半径24矩阵的谱半径定理25矩阵的谱半径定理25矩阵的谱半径定理（续）26矩阵的谱半径定理（续）26迭代法的收敛条件27迭代法的收敛条件27迭代法的收敛条件（续1）28迭代法的收敛条件（续1）28迭代法的收敛条件（续2）29迭代法的收敛条件（续2）29迭代法例题30迭代法例题30例子31例子31迭代法例题（续1）32迭代法例题（续1）32迭代法例题（续2）33迭代法例题（续2）33严格对角占优34严格对角占优34迭代法收敛条件35迭代法收敛条件35迭代法收敛性例题36迭代法收敛性例题36迭代法收敛性例题（续1）37迭代法收敛性例题（续1）37迭代法收敛性例题（续2）38迭代法收敛性例题（续2）38迭代法收敛性例题（续3）39迭代法收敛性例题（续3）39误差估计40误差估计40误差估计（续1）41误差估计（续1）41误差估计（续2）42误差估计（续2）42误差估计（续3）43误差估计（续3）43线性代数方程组的表示44线性代数方程组的表示44高斯消去法的变形

二、平方根法45高斯消去法的变形

二、平方根法45平方根(Cholesky分解法）法46平方根(Cholesky分解法）法46平方根(Cholesky分解法）法（续）47平方根(Cholesky分解法）法（续）47例题分析例

用平方根法求解方程组解解毕故知解得48例题分析例用平方根法求解方程组解改进平方根法49改进平方根法49改进平方根法（续1）50改进平方根法（续1）50改进平方根法（续2）51改进平方根法（续2）51追赶法52追赶法52追赶法（续）53追赶法（续）53定理证明（1）54定理证明（1）54定理证明（2）55定理证明（2）55定理证明（3）56定理证明（3）56追赶法的计算公式57追赶法的计算公式57追赶法事实上，追赶法的求解过程就是将系数矩阵分解两个简单的二对角矩阵，从而归结为求解两个简单方程组的过程。上述定理也表明，追赶法的原理和高斯消去法相同，但考虑到方程组的特点，计算时会把大量零元素撇开，从而大大节省计算量。58追赶法事实上，追赶法的求解过程就是将系数矩阵分解两个简单追赶法例题例用追赶法解下面三对角方程组59追赶法例题例用追赶法解下面三对角方程组59追赶法例题（续1）解：先把系数矩阵分解成如下形式由递推公式可知60追赶法例题（续1）解：先把系数矩阵分解成如下形式由递推公式可追赶法例题（续2）又由递推公式（4.27）可得：61追赶法例题（续2）又由递推公式（4.27）可得：61追赶法例题（续3）再由递推公式（4.28）可得：故所求的解向量为62追赶法例题（续3）再由递推公式（4.28）可得：故所求的解向QR方法60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。实矩阵、非奇异。理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。63QR方法60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部QR方法（续）可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列｛A(k)｝“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则｛A(k)｝“基本”收敛于对角矩阵。因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k充分大时，A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为A的特征值的近似。基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法。64QR方法（续）可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵Schmit正交化方法65Schmit正交化方法65基本QR方法66基本QR方法66基本QR方法（续）基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一