2022-2023学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在等差数列40，37，34，……中，第6项是(

)A.28 B.25 C.24 D.222.已知数列{an}的通项公式为an=2×A.3n−1 B.3n+13.函数f(x)=2xA.212 B.72 C.764.用数学归纳法证明(1+1)(2+2A.2k+1 B.2(k+5.定义在区间[−12,4]上的函数fA.函数f(x)在区间(1,4)上单调递增 B.函数f(x)在区间(1,3)上单调递减6.已知函数f(x)=A.f(2.7)<f(π)<7.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(A.f(x)=cosx+8.设函数f(x)，g(x)在R的导函数存在，且fA.f(x)<g(x) 9.设正项等比数列{an}的公比为q，且bn=log2aA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板(

)A.1125块 B.1134块 C.1143块 D.112块二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知数列{an}为32，43，54，6512.已知函数f(x)=x3−13.函数f(x)=ln(1−x14.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a4+15.如图，将一张16cm×10cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为______cm16.若数列{an}满足a1=a2=1，an=an−1+an−2(n≥3)，则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以an为边长的正方形中的扇形面积为三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题14.0分)

设数列{an}是等差数列，记其前n项和为Sn.从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{bn}满足bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn．18.(本小题14.0分)

设函数f(x)=x3+ax2+bx+c．

(Ⅰ)当b=c=19.(本小题14.0分)

设函数f(x)=x3+12ax2−x+b在x=1时取得极值．

(20.(本小题14.0分)

已知数列{an}的通项公式为an=1n+n+1，记该数列的前n项和为Sn．

(Ⅰ)计算S1，21.(本小题14.0分)

已知函数f(x)=ex−ax2．

(1)若a=1，证明：当x≥答案和解析1.【答案】B

【解析】解：在等差数列40，37，34，……中，

a1=40，d=37−40=−3，

∴an=40+(n−1)×(−3)=−3n+2.【答案】A

【解析】解：∵数列{an}的通项公式为an=2×3n−1，

∴an+1an=2×3n2×3n−13.【答案】C

【解析】解：(x)=2x+1在[−1,2]4.【答案】B

【解析】解：用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)⋯(n+n)=2n−1(n2+n)(5.【答案】A

【解析】解：在区间(1,4)上f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1,4)上单调递增，故A正确；

在区间(1,3)上f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1,3)上单调递增，故B错误；

当x∈(0,4)时，f′(x)>0，可知函数f6.【答案】D

【解析】解：f(x)=2x−sinx，则f′(x)=2−cosx>0恒成立，

7.【答案】D

【解析】解：A.f′(x)=cosx−sinx，f″(x)=−sinx−cosx，

x∈(0,π2)时，f″(x)<0恒成立，该函数是凸函数；

B.f′8.【答案】C

【解析】解：设h(x)=f(x)−g(x)，则h′(x)=f′(x)−g′(x)<0，

所以h(x)在R上单调递减，

因为a<x<b，

9.【答案】C

【解析】解：由正项等比数列{an}的公比为q，bn=log2an，且{bn}为递减数列，

可得bn+1−bn<0，

即log2an+10.【答案】B

【解析】解：记从中间向外每环扇面形石板数为an，则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，设每层有k环，

则n=3k，Sn=3402，

由等差数列的性质可得Sk，S2k−Sk，S3k−S2k也成等差数列，

所以2(11.【答案】an=1【解析】解：根据题意，数列{an}为32，43，54，65，…，即1+12，1+13，1+14，1+15，12.【答案】2

【解析】解：f(x)=x3−x+2，

则f′(x)13.【答案】−5【解析】解：f′(x)=1x−1+a，

∴f′(−2)=14.【答案】4

【解析】解：a2a4+2a3a5+a4a6=16，

则a32+a15.【答案】2

144

【解析】解：设剪下的每个小正方形的边长为x，则x∈(0,5)，

∴折叠后的无盖的长方体纸盒容积为：

V(x)=(16−2x)(10−2x)x，x∈(0,5)，

∴V(x)=4x3−52x2+160x，x∈(016.【答案】①②【解析】解：根据题意，依次分析4个命题的真假：

对于①，由于a1=1，a2=1，则a3=a1+a2=2，a4=a2+a3=3，a5=a3+a4=5，a6=a4+a5=8，a7=a5+a6=13，a8=a6+a7=21，①正确；

对于②，数列{a1}的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，归纳可得：当n=3k+1或n=3k+217.【答案】解：(Ⅰ)∵数列{an}是等差数列，记其前n项和为Sn，

若选条件①：a10=20，S8=72，

则a1+9d=208a1+28d=72，解得a1=2d=2，

∴an=2n；

若选条件②：an+1−an=1，a10=11，

则d=1a1+9d=11，解得a1=2d=1，

∴an=n【解析】(Ⅰ)根据所选条件，建立方程组，即可求数列{an}出首项与公差，再通过等差数列的通项公式，即可得解；

(Ⅱ)根据所选条件，均可得数列{b18.【答案】解：(I)∵b=c=1，

∴f(x)=x3+ax2+x+1，

∴f′(x)=3x2+2ax+1，

∴f(0)=1，f′(0)=1，

∴所求切线方程为y=x+1；

(II)设a=b=4，即有f(【解析】(I)求出f(x)的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；

(II)由f(x19.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=x3+12ax2−x+b，

∴f′(x)=3x2+ax−1，

又f(x)=x3+12ax2−x+b在x=1时取得极值，

∴f′(1)=a+2=0，∴a=−2，经检验，满足题意，

【解析】(Ⅰ)根据题意可得f′(1)=0，从而解得a的值，最后再检验即可；

(Ⅱ)先根据(Ⅰ)易求得f20.【答案】解：(Ⅰ)∵数列{an}的通项公式为an=1n+n+1，

∴an=−n+n+1，

∴S1=2【解析】(Ⅰ)先将数列{an}的通项公式分母有理化，再分别计算，即可求解；

(Ⅱ)先猜想，再根据裂项求和法，即可证明．21.【答案】证明：(1)当a=1时，函数f(x)=ex−x2，

则f′(x)=ex−2x，

令