平面向量数量积的几何意义课件

问题情境:情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算时，是以物理中的位移为模型，再抽象概括出来的。情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？Fs

┓问题：除了以上几种运算外，有没有其它运算呢？如向量与向量能否“相乘”呢？能否从物理中找到模型呢？2023/8/91问题情境:情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三位移SOA

一个物体在力

的作用下产生位移,

那么力

所做的功W=θ表示力的方向与位移的方向的夹角。θFFθS2023/8/92位移SOA一个物体在力的作用下产我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。这就是本节课所要学习的平面向量的数量积2023/8/93我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数2.4.1平面向量的数量积高一数学组王海军2023/8/942.4.1平面向量的数量积高一数学组王海军2023/平面向量数量积的定义:已知两个非零向量

和

，它们的夹角为

,我们把数量叫做

与

的数量积(或内积),记作.规定：零向量与任意向量的数量积为0．注意：1、“·”不能省略不写，也不能写成“×”2023/8/95平面向量数量积的定义:已知两个非零向量和，它问题1、向量的夹角是如何定义的？

指出下列图中两向量的夹角AOABBBB.AAOOO.(2)(4)(3)(1)(1)中

的夹角为（2）中

的夹角为（3）中

的夹角为（4）中

的夹角为（当时，

＿＿；当时，

＿＿；当时，

＿＿，记作）同向反向垂直小结：向量的夹角应当让向量平移到同一起点时去观察2023/8/96问题1、向量的夹角是如何定义的？指出下列图中两向量的夹角如图,等边三角形ABC中,求：（1）AB与AC的夹角＿＿＿＿；（2）AB与BC的夹角________．ABC通过平移变成共起点！练习D2023/8/97如图,等边三角形ABC中,求：ABC通过平移练习D2023问题2：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？与数乘呢？怎么理解？向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。数乘的结果仍然是向量。问题3：平面向量的数量积可以比较大小吗？

数量可以比较大小2023/8/98问题2：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么向量数量积的性质当且仅当两向量共线时等号成立2023/8/99向量数量积的性质当且仅当两向量共线时等号成立2023/7/2进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。例1、2023/8/910进行向量数量积例1、2023/7/2810方法：(1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°,180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ.温馨提示：a∥b时，易漏掉θ＝0°和θ＝180°中的一种情况.2023/8/911方法：(1)求平面向量数量积的步骤是：2023/7/2811小结：知三求一，注意公式变形2023/8/912小结：知三求一，注意公式变形2023/7/2812平面向量数量积的运算律:(1)交换律：(2)数乘结合律：(3)分配律：2023/8/913平面向量数量积的运算律:(1)交换律：(2)数乘结合律：(3例2.已知求2023/8/914例2.已知解：由题意可知2023/8/915解：由题意可知2023/7/2815练习：已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a与a＋b的夹角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．【解析】(1)因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b22023/8/916练习：已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.练习．已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a与a＋b的夹角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2=2023/8/917练习．已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.练习：已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a与a＋b的夹角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．(3)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2设a与a＋b的夹角为θ，2023/8/918练习：已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.练习：已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a与a＋b的夹角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．2023/8/919练习：已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.练习：已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a与a＋b的夹角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．(4)因为(a－b)⊥(λa＋b)，所以(a－b)·(λa＋b)＝0，即λa2＋(1－λ)a·b－b2＝0，也就是16λ－4(1－λ)－4＝0，2023/8/920练习：已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.小结1．两个非零向量夹角的概念2．平面向量数量积（内积）的定义3．两个向量的数量积的性质2023/8/921小结1．两个非零向量夹角的概念2．平面向量数量积B1OABba

A1OABba

叫做向量在方向上(向量在方向上)的投影.2023/8/922B1OABbaA1OABba向量在方向上的投影是数量,不是向量,什么时候为正，什么时候为负？探究：OABabOABabBOAabOABbaOABba2023/8/923向量在方向上的投平面向量数量积的几何意义:2023/8/924平面向量数量积的几何意义:2023/7/2824(B1)┐B1┐B1如图，作出││cosθ，并说出它的几何意义；│

│cosθ的几何意义有是什么？OBB