广东省汕头市友谊中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

广东省汕头市友谊中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=的图象大致是A． B．C．D．参考答案：B2.若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为（an）*，则得到一个新数列{（an）*}．例如，若数列{an}是1，2，3…，n，…，则数列{（an）*}是0，1，2，…n﹣1，…已知对任意的n∈N*，an=n2，则（（an）*）*=(

)A．2n B．2n2 C．n D．n2参考答案：D【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】对任意的n∈N*，an=n2，可得=0，=1==，=…=，…，可得=1，=4，=9，…，即可猜想出．【解答】解：对任意的n∈N*，an=n2，则=0，=1==，=…=，=3=…=，…，∴=1，=4，=9，…，猜想（（an）*）*=n2．故选：D．【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了猜想能力、计算能力，属于中档题．3.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（

）A．若则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：B

4.已知是定义在R上的偶函数，且在[0，+)上单调递增，则满足f(m)<f(1)的实数m的范围是

A．l<m<0

B．0<m<1C．l<m<1

D．l≤m≤1参考答案：C5.若函数在上的导函数为，且不等式恒成立，又常数满足，则下列不等式一定成立的是（）。A．

B．

C．

D．.参考答案：A6.定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B根据行列式的定义可知，向左平移个单位得到，所以，所以是函数的一个对称中心，选B.7.已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和公式和诱导公式化简即可．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=2cos（﹣x）=，∴cos（﹣x）=，故选D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了学生对基础知识的掌握．8.定义2×2矩阵，若，则的图象向右平移个单位得到的函数解析式为

A．

B．

C．

D．参考答案：D9.

设函数，把的图象按平移后得到的函数图象，则函数的对称中心坐标为（

）

A.

B.C.

D.参考答案：答案:B10.已知集合A={x|log4x＜1}，集合B={x|2x＜8}，则A∩B等于(

) A．（﹣∞，4） B．（0，4） C．（0，3） D．（﹣∞，3）参考答案：C考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．专题：计算题；函数的性质及应用；集合．分析：首先化简集合A，B，再求其交集．解答： 解：A={x|log4x＜1}=（0，4），集合B={x|2x＜8}=（﹣∞，3），故A∩B=（0，3）；故选C．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知两条直线和互相垂直，则等于

；参考答案：略12.设全集U=R，已知，则A∩B=．参考答案：{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵，∴A={x|x＜﹣或x＞2}，B={x|﹣1＜x＜3}，A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．13.已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为k的直线与该抛物线分别交于A、B两点（点A在第一象限），若，则k=

。参考答案：14.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．参考答案：12略15.过直线x+y-=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________。

参考答案：如图：由题意可知,由切线性质可知,在直角三角形中，,又点P在直线上，所以不妨设点P，则,即，整理得，即,所以，即点P的坐标为。法二：如图：由题意可知,由切线性质可知,在直角三角形中，,又点P在直线上，所以不妨设点P，则，圆心到直线的距离为，所以垂直于直线，由，解得，即点点P的坐标为。16.（4分）（2015?杨浦区二模）已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线ln与圆x2+y2=n2相切，且ln交y轴的正半轴于点Pn，交x轴于点Qn，则的值为．参考答案：【考点】：极限及其运算；直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：设切线ln的方程为：y=nx+m，由于直线ln与圆x2+y2=n2相切，可得=n，取m=n．可得切线ln的方程为：y=nx+n，可得Pn，Qn，可得|PnQn|．再利用数列极限的运算法则即可得出．解：设切线ln的方程为：y=nx+m，∵直线ln与圆x2+y2=n2相切，∴=n，取m=n．∴切线ln的方程为：y=nx+n，∴Pn，Qn．∴|PnQn|==1+n2．∴===．故答案为：．【点评】：本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.设函数，则实数a的取值范围是．参考答案：﹣3＜a＜1【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点．【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当a≥0和a＜0两种情况，进而求出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）为分段函数，当a≥0时，＜1，得0≤a＜1．当a＜0时，＜1，解得a＞﹣3，即﹣3＜a＜0，故答案为：﹣3＜a＜1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．参考答案：（1）

……3分由得

……5分所以的单调递增区间是

……6分（2）由（1）知把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到

的图象，

……10分即，所以．

……12分19.如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，，E，F分别是BC,PC的中点．(Ⅰ)证明：AE⊥PD；(Ⅱ)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值．参考答案：解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又

BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以

AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以AE⊥PD.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）

（Ⅱ）解法1：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（Ⅰ）知

AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，所以

当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时

tan∠EHA=因此

AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以

PA=2.因为

PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

所以

平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，．．．．．（9分）

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,

又 在Rt△ESO中，cos∠ESO= 即所求二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．（12分）解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）设平面AEF的一法向量为则

因此取因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以

BD⊥平面AFC，故

为平面AFC的一法向量.又

=（-），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）所以

cos＜m,＞=因为

二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）

20.已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心的直角坐标．（Ⅱ）直线l上的向圆C引切线，则切线长为，由此利用配方法能求出切线长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵=2﹣2，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即（x﹣）2+（y+）2=4，∴圆心的直角坐标为（，﹣）．（Ⅱ）直线l上的向圆C引切线，则切线长为：==，∴由直线l上的点向圆C引切线，切线长的最小值为4．21.（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．参考答案：（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为．…………2分所以，每组抽取的人数分别为：

第组：；第组：；第组：．所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生．

………………5分（Ⅱ）解：记第组的位同学为，，；第组的位同学为，；第组的位同学为．

………………6分