北京外事服务职业高级中学高二数学文联考试题含解析

北京外事服务职业高级中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知、、是圆：上三点，且，则A．B．C．D．参考答案：A略2.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为（

）A．4 B．8 C． D．参考答案：B3.已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A．4x±3y=0 B．3x±4y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=0参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】依据题意，求得双曲线C的焦点坐标和实轴端点坐标，求得曲线的标准方程，从而求得双曲线C的渐近线方程．【解答】解：椭圆的长轴端点为（±5，0），焦点为（±3，0）．由题意可得，对双曲线C，焦点（±5，0），实轴端点为（±3，0），∴a=3，c=5，b=4，故双曲线C的方程为，故渐近线方程为y=±，即4x±3y=0，故选A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出双曲线的标准方程是解题的关键．4.在△ABC中，，则sinB=A．

B．C．

D．参考答案：C5.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D6.复数等于()A．1＋iB．1－I

C．－1＋iD．－1－i参考答案：A略7.已知函数，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据函数解析式求得，分别将和代入函数解析式和导函数解析式，进而求得结果.【详解】由题意知：，本题正确选项：D【点睛】本题考查函数值和导数值的求解问题，属于基础题.8.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面B1C1CB是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（）

A.2

B.1

C.

D.参考答案：C如图所示，连结，交于点，取中点，连结，四边形是正方形，且，则，三棱柱为直棱柱，则平面平面，由等腰三角形三线合一可知，结合面面垂直的性质可知平面，故，由勾股定理可得，故，很明显侧面为矩形，其面积为.本题选择C选项.

9.下列给出的赋值语句中正确的是（

）A．3=A

B．

M=-M

C．

B=A=2

D．

参考答案：B10.复数z满足，则（A）2

（B）

（C）

（D）

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为．参考答案：1830考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16可得数列{bn}是以16为公差的等差数列，而{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和，由等差数列的求和公式可求解答：解：∵，∴令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16∴数列{bn}是以16为公差的等差数列，{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=1830点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列12.若圆锥的表面积是，侧面展开图的圆心角是，则圆锥的体积是____

___。参考答案：略13.函数在处的切线方程为______参考答案：（或）【分析】求出函数的导数，计算，的值，从而求出切线方程即可【详解】解：定义域为，，又，函数在点，（e）处的切线方程为：，即，.故答案为:（或）【点睛】本题考查了切线方程问题，属于基础题．14.设复数z=2﹣i（i为虚数单位），则复数z2=

．参考答案：3﹣4i

【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数z2=（2﹣i）2=4﹣1﹣4i=3﹣4i，故答案为：3﹣4i．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.已知，且满足，那么的最小值是_______.参考答案：略16.设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是

．参考答案：1【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系．17.若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则______。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题12分）已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；ks5u（2）若直线是曲线的切线，求实数的值；（3）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）参考答案：解：（1），在区间上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是，单调递增区间是（2）设切点坐标为，则

解得.

（3），则，解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为.当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.

当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为，时，最大值为.综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，试判断△ABC的形状.参考答案：△ABC为等边三角形【分析】根据正弦定理将化成，再由可以得出的关系得解.【详解】由正弦定理(其中R为△ABC外接圆的半径),得,所以由可得即.又,所以,所以,即,所以,又由,得,所以,所以,故△ABC为等边三角形.故得解.【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理的运用，关键在于利用定理将角的关系转化为边的关系，属于中档题.20.(本小题满分12分)如图，平面⊥平面，为正方形，，且分别是线段的中点。(Ⅰ)求证：//平面；

(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值。参考答案：(Ⅰ)……1分

,,∴，从而在同一个平面内…………3分

而在三角形PAB中，，平面，…………5分…………6分

（Ⅱ），所以就是异面直线EG与BD的夹角,……………9分ks5u所以…12分21.已知椭圆，若在(2,0)，，，四个点中有3个在M上．（1）求椭圆M的方程；（2）若点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，且，求的取值范围．参考答案：(1)．(2)【分析】（1）由于椭圆是对称图形，得点，必在椭圆上，故，再分别讨论在上时和在上时椭圆的方程，根据题意进行排除，最后求解出结果。（2）设，，利用向量的坐标运算表达出的值，根据对称性分类讨论设出直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，将转化为求函数的值域问题，从而求解出的范围。【详解】解：（1）与关于轴对称，由题意知在上，当在上时，，，，当上时，，，∴与矛盾，∴椭圆的方程为．（2）设，，、关于坐标原点对称，，，．当与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆方程得，，，由于可以取任何实数，故．当与轴垂直时，，，∴．综上可得．【点睛】本题主要考查圆锥曲线的综合性题目，解决这类题目常用数学思想方法有方程思想，数形结合思想，设而不求与整体代入思想等。

22.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO，易证EO为△PAC的中位线，从而OE∥PA，再利用线面平行的判断定理即可证得PA∥平面BDE；（2）依题意，易证DE⊥底面PBC，再利用面面垂直的判断定理即可证得平面BDE⊥平面PBC．【解答】证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．∵底面ABCD