几何概型求解的建构

精品文档-下载后可编辑几何概型求解的建构在江苏高考对新增加的内容考查有所侧重的背景下,概率作为新增加的内容,也就在近几年的高考中有所体现。几何概型又作为高中概率新增加的内容势必成为高考的一个热点问题,2022年江苏高考的第6题就是一道比较典型的几何概率问题。从古典概型到几何概型,是从有限到无限的延伸,学生有时判断起来比较困难,拿不准到底是哪种概型,有时即使判断出是几何概型,也不会转化求解。笔者根据这几年的教学实践,谈谈对几何概型求解的一些粗浅认识。

1.定义:(苏教版P101)一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率。这里要求D的测度不为0,其中“测度”的意义依D确定,当D分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积。

2.几何概型的特点是:(1)无限性:在每次试验中,可能的出现的结果有无穷多个,即基本事件有无限多个;(2)等可能性:在每次试验中,每个结果出现的可能性相等,即基本事件的发生是等可能的。

3.几何概率的基本性质

(1)0≤P(A)≤1;

(2)P(G)=1;P()=0;

(3)有限可加性:设A1,A2,…An,是n个两两互斥的事件,则有

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);

(4)互补性:P(A)=1-P(A)。

用几何概型概率公式计算概率问题时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行相应的几何度量。对于一些简单的几何概型问题,可以快捷地找到解决办法。

4.例题详解

例1、(苏教版P103练习2改编)

公交车每隔10分钟来一辆。假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到达车站,试求乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解:从前一辆开出起计算时间,乘客到达车站的时刻t可以是[0,5)中的任何一点,即D={t|0≤t

答:乘客候车时间不超过3分钟的概率为。

例2、(会面问题)甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面。先到的人等候另一个人,经过时间t(t

解:从0点开始计时,设两人到达的时刻分别为x,y,则

D={(x,y)|0≤x≤T,0≤y≤T}

假定两人到达时刻是随机的,则问题归结为几何概型,设A表示“两人能会面”事件,则d={(x,y)|0≤x≤T,0≤y≤T,|x-y|≤t}(图中的阴影部分),则

答:甲、乙两人能会面的概率为。

点评:例1和例2题目的意思简单明了,但如何转化为数学模型来求解却比较困难,需要我们先从实际问题中分析得到几何概型,并适当地引入变量例1引入一个变量,例2引入两个变量。然后把变量满足的条件写出集合形式,并把所研究事件A的集合也分析得出。把变量集合用区间长度(例1)或区域面积(例2)表示,特别注意二元一次不等式所表示的区域。要表示y>ax+b的平面区域,按两步解决:(1)作出直线y=ax+b;(2)取直线y=ax+b上方部分区域(若y

根据以上的解法和分析,可以总结得到求解几何概型的概率问题的以下五步:

1.选择适当的观察角度(从等可能性的角度观察);

2.引入变量,通常情况下一个变量对应为区间长度,两个变量对应为区域面积,三个变量对应为空间体积。

3.集合表示,用相应的集合分别表示出试验的全部结果G和事件A所包含的试验结果,一般来说,两个集合都是一元二次不等式的交集。

4.作出区域,并分别求出两个区域的测度。

5.计算求解,。

几何概型问题不仅指与