一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)

一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)1、已知$\frac{x^2}{3}-2x+1=-5x-2000$，求$\frac{x-2}{2004}$的值。2、已知$a^2-2004a+1=0$，求$2a^2-4007a+4$的值。3、若$ab\neq1$，且$5a^2+2005a+7=0$，$7b^2+2005b+5=0$，求$\frac{a}{b}$的值。4、已知方程$2x^2-2ax+3a-4=0$没有实数根，则代数式$a^2-8a+16+2-a$的值为多少？5、已知$y=2x+6-x$，求$y$的最大值。6、已知$a+b+c=0$，$abc=2$，$c\neq0$，则（）。A、$ab=\pi$B、$a+b\leq-2$C、$a+b\leq-3$D、$a+b\leq-4$7、已知$a-b=8$，$ab+c^2+16=0$，求$a+b+c$的值。8、已知$m^2+m-1=0$，求$m^3+2m^2-2006$的值。9、已知$a-b=4$，$ab+c^2+4=0$，求$a+b$的值。10、若方程$x^2+px-q=0$的两根为$x_1,x_2$，且$x_1\neq1$，$p+q+3\neq0$，则$x_2$（）。A、小于1B、等于1C、大于1D、不能确定11、已知$\alpha$是方程$x^2+x-\frac{1}{3}=0$的一个根，则$\alpha^3-11\alpha$的值为多少？12、若$3x^2-x=1$，求$9x^4+12x^3-2x^2-7x+2008$的值。13、方程$3x+2-3x^{-2}=2$的解为多少？14、已知$2x^2-6x+y^2=0$，求$x^2+y^2+2x$的最大值。15、方程$x^2-2|x|+2=m$恰有三个实根，则$m$等于多少？16、方程$x^2+3x-\frac{3}{4}=9$的全体实数根之积为多少？17、关于$x$的一元二次方程$2x^2-5x-a=0$的两根之比$x_1:x_2=2:3$，则$x_2-x_1$等于多少？18、已知$\alpha,\beta$是方程$x^2+x-1=0$的两个实根，则$\alpha^4-3\beta$的值为多少？19、若关于$x$的方程$\frac{2ax+a}{x-1}+\frac{x}{x-a}=0$只有一解，求$a$的值。注：原文中的“”符号无法识别，已改为“$\neq$”。1、已知$x^2-5x-2000=0$，则$\frac{(x-2)^3-(x-1)^2+1}{x-2}$的值是（D）$-5x-2000$，则$x$的值是（D）2004。2、已知$a^2-2004a+1=0$，则$2a^2-4007a+2002$的值是2002。3、实数$x,y$满足方程$x^2+2y^2-2xy+x-3y+1=0$，则$y$的最大值是$\frac{1}{3}$。4、方程$\left(x^2+x-1\right)=1$的所有整数解的个数是（C）4。5、已知关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的两根分别为$-3$和$1$，则方程$bx^2+cx+a=0$的两根为$-1$和$3$。6、实数$x,y$满足$x^2+xy+y^2=2$，记$u=x^2-xy+y^2$，则$u$的取值范围是$1\lequ\leq2$。7、已知实数$m,n$满足$m^2+m-2009=0$，则$m+n\neq-1$且$m-n=\frac{\sqrt{8037}}{2}$。9、已知方程$x^2+(2k+1)x+k^2-2=0$的两实根的平方和等于$11$，则$k$的取值是（A）$-3$或$1$。10、设$a,b$是整数，方程$x^2+ax+b=0$有一个实数根是$7-\sqrt{43}$，则$a+b=-9$。13、已知方程$ax^4-(a-3)x^2+3a=0$的一根小于$-2$，另外三根皆大于$-1$，求$a$的取值范围是$0<a<\frac{4}{3}$。14、已知关于$x$的方程$x^2-2x+k=0$有实数根$x_1$，$x_2$，且$y=x_1^3+x_2$，则$y$没有最大值或最小值。15、求所有有理数$q$，使得方程$qx^2+(q+1)x+(q-1)=0$的所有根都是整数，答案是$q=0$或$q=-2$。3、若ab1，且$5a^2+2005a+7=0$，$7b^2+2005b+5=0$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值为多少？解析：由$7b^2+2005b+5=0$得：$$5\left(\frac{1}{b}\right)^2+2005\left(\frac{1}{b}\right)+7=0$$因为$ab\neq1$，即$a\neq\frac{1}{b}$，所以可以把$a$和$b$看作一元二次方程$5x^2+2005x+7=0$的两根。根据二次方程的求根公式，有$$a+b=\frac{-2005}{5}=-401$$$$ab=\frac{7}{5}$$所以$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=-\frac{401}{7}$$答案为$-\frac{401}{7}$。4、已知方程$2x^2-2ax+3a-4=0$没有实数根，则代数式$a^2-8a+16+2-a$的值为多少？解答：已知方程$2x^2-2ax+3a-4=0$没有实数根，所以根的判别式$\Delta<0$，即$(-2a)^2-4\times2\times(3a-4)<0$，解得$a\in(2,4)$。代入$a^2-8a+16+2-a$得$$a^2-7a+18=(a-2)(a-9)$$因为$a\in(2,4)$，所以$a-2>0$，$a-9<0$，所以$(a-2)(a-9)<0$，即$a^2-7a+18<0$，所以$$a^2-8a+16+2-a=2$$答案为$2$。5、已知$y=2x+6-x$，则$y$的最大值为多少？解析：令$6-x=t\geq0$，则$x=6-t$。代入$y=2x+6-x$得$y=-2t+t+12=-t+12$。因为$t\geq0$，所以$y$关于$t$的二次函数开口向下，最大值在$t=0$处取得，即$y=12$。答案为$12$。6、已知$a+b+c=0$，$abc=2$，$c\neq0$，则$a+b$的取值范围为多少？解析：由$a+b+c=0$得$a+b=-c$。由$abc=2$得$ab=\frac{2}{c}$。因为$c\neq0$，所以$ab$有意义。把$a$和$b$看作方程$x^2+cx+\frac{2}{c}=0$的两根，则根的判别式为$\Delta=c^2-\frac{8}{c}\geq0$，解得$c\geq2$或$c\leq-2$。因为$c\neq0$，所以$c>0$或$c<0$。若$c>0$，则$a+b=-c<0$；若$c<0$，则$a+b=-c>0$。所以$a+b$的取值范围为$a+b\leq-2$或$a+b\geq2$。答案为$a+b\leq-2$。答案：x2=1考点：二次方程的解、系数与根的关系。分析：根据已知条件，可以列出方程组，解出p和q，然后根据二次方程的解的性质求出x2。解答：由题意得：x1x2p，x1x2q又x11，pq3∴x2px1代入x1x2q中，得x1px1q∴x12px1q0∴x1pp24q2，且x2pp24q2∵x11∴pp24q21∴p24q0又pq3∴qp3代入p24q0中，得p24q代入qp3中，得p31∴x2px1ppp24q21归纳：本题考查了二次方程的解的性质，以及系数与根的关系。解题关键在于列出方程组，解出p和q，然后代入求解。分析：根据方程的同解原理，令y=3x-2，则原方程可化为y^2-3=2，即y^2=5，解得y=±√5。代回原式，解得x=(y+2)/3，因此解为x=(√5+2)/3或x=(-√5+2)/3。改写：根据方程的同解原理，我们可以令y=3x-2，这样原方程就可以化为y^2-3=2，即y^2=5。解出y=±√5后，再将其代回原式，解得x=(y+2)/3，因此方程的解为x=(√5+2)/3或x=(-√5+2)/3。这道题的关键在于运用同解原理，将方程转化为更易解的形式。、x4或x1，但x1不是实数根，故舍去。当y3时，x23x73，解得x2或x5，但x5不是实数根，故舍去。所以方程的实数根为x2或x4，积为8，绝对值为8，故答案为A。归纳：本题考查换元法解分式方程的思想，通过巧妙的变形，将原方程化为整式方程求解，注意对解的判别与筛选。17、已知二次函数f(x)的图象经过点(1,3)，且与x轴交于点(2,0)，则f(x)的解析式为（）A、f(x)2x27x3B、f(x)2x27x3C、f(x)2x27x3D、f(x)2x27x3答案：A考点：二次函数的基本性质。分析：由题意可知，二次函数f(x)的图象经过点(1,3)，且与x轴交于点(2,0)，故f(1)3，f(2)0，故f(x)a(x1)(x2)的解析式。解答：由f(x)a(x1)(x2)，代入f(1)3，f(2)0，得a(11)(12)3，a(21)(22)0解得a3，所以f(x)3(x1)(x2)2x27x3点评：本题是中档题，考查二次函数的基本性质，通过题目中给出的条件，列出方程解答即可，注意解析式的系数与图象的开口方向的对应关系。(1)对于任意给定的x1和x2，如果f(x1)≠f(x2)，则根据二次函数的性质可知，f(x)在x1和x2之间必定有一个零点。因为二次函数的图像是一个开口朝上或者开口朝下的抛物线，如果它在x1和x2之间没有零点，那么它的图像就必定是单调递增或单调递减的，这样就不可能存在两个不相等的x1和x2使得f(x1)≠f(x2)，因此f(x)在x1和x2之间必定有一个零点。(2)根据题意，f(x1)+f(x2)有两个不相等的实根，且在(x1,x2)内有一个为m，另一个为x1+x2-m。因为f(x)是二次函数，所以它的图像是一个开口朝上或者开口朝下的抛物线，且对称轴为x=-b/2a。根据题意可知，在(x1,x2)内存在一个实根m，因此f(m)=0，即am^2+bm+c=0。又因为f(x1)+f(x2)有两个不相等的实根，因此f(x1)+f(x2)=2am^2+2bm+2c有两个不相等的实根，根据二次函数的性质可知，其两个根的和为-2b/a，因此有2am^2+2bm+2c=-2b/a，即am^2+bm+c=-b/2a。因此，m是f(x)的一个零点，且位于(x1,x2)内，另一个零点为x1+x2-m，也位于(x1,x2)内。因此，f(x)在(x1,x2)内有两个不相等的实根。若$f(x)$关于对称轴$x=x$对称，证明：$x=\frac{\pi}{m^2}$。考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；等差数列的性质。专题：计算题；转化思想。分析：（1）通过计算一元二次方程的判别式，如果大于0，则方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为$g(x)$，由$g(x_1)g(x_2)<0$，可得方程有一个根属于$(x_1,x_2)$。（2）由题意可得$f(m)=\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$，即$a(\frac{\pi}{m^2})^2+b\frac{\pi}{m^2}+c=\frac{1}{2}[a(x_1^2+x_2^2)+b(x_1+x_2)+2c]$，由于$x_1+x_2=2x$，即$a(2x^2-x_1^2-x_2^2)+b(2x-x_1-x_2)=0$，证得结论$x=\frac{\pi}{m^2}$，故$b=-a(2m^2-x_1^2-x_2^2)/(2x_1x_2)$。解答：证明：（1）因为$f(x)=ax^2+bx+c$关于对称轴$x=x$对称，所以$f(x)=f(2x-x)=a(2x-x)^2+b(2x-x)+c=a(4x^2-4x+1)+b(2x-2x+1)+c=2a(x^2-x)+a+b+c$。设$g(x)=f(x)-\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$，则$g(x)=f(x)-\frac{1}{2}[ax_1^2+bx_1+c+ax_2^2+bx_2+c]=ax^2+bx+c-\frac{1}{2}[ax_1^2+bx_1+c+ax_2^2+bx_2+c]=a(x-x_1)(x-x_2)$。由$g(x_1)g(x_2)<0$，可得方程有一个根属于$(x_1,x_2)$，即$x=\frac{x_1+x_2}{2}=x=\frac{\pi}{m^2}$。（2）因为$f(m)=\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$，所以$a(\frac{\pi}{m^2})^2+b\frac{\pi}{m^2}+c=\frac{1}{2}[a(x_1^2+x_2^2)+b(x_1+x_2)+2c]$，即$a(\frac{\pi}{m^2})^2+b\frac{\pi}{m^2}+c=\frac{1}{2}[2a(2m^2-x_1^2-x_2^2)+b(2x_1+2x_2)+4c]$，化简得$a(\frac{\pi}{m^2})^2+b\frac{\pi}{m^2}+c=a(x_1^2+x_2^2-4m^2)+b(x_1+x_2-2\frac{\pi}{m^2})+2c$，因为$x_1+x_2=2x$，所以$b=-a(2m^2-x_1^2-x_2^2)/(2x_1x_2)$。综上所述，$x=\frac{\pi}{m^2}$。1.若$x-1=1$，则$x^3-3x$的值为多少？解答：由$x-1=1$得$x=2$，代入$x^3-3x$中得$2^3-3\times2=4$，因此答案为$\text{B}.$归纳：本题关键是将$x-1=1$作为整体，然后将$x^3-3x$进行因式分解变形解答。2.已知实数$\alpha$、$\beta$满足$\alpha^2+3\alpha-1=0$，$\beta^2-3\beta-1=0$，且$\alpha\beta\neq1$，则$\alpha-2+3\beta$的值为多少？解答：由$\beta^2-3\beta-1=0$得$1-3\beta=\beta^2$，即$\beta^2+3\beta-1=0$，由$\alpha\beta\neq1$可知$\alpha\neq\frac{1}{\beta}$，因此$\alpha^2+\alpha\beta-2\alpha\beta-\frac{1}{\beta^2}=\alpha^2-2\alpha\beta+\frac{1}{\beta^2}=(\alpha-\frac{1}{\beta})^2=4$，即$\alpha-\frac{1}{\beta}=\pm2$，又因为$\alpha\beta\neq1$，所以$\alpha=-\beta+3$，代入$\alpha-2+3\beta$得$10$，因此答案为$\text{D}$。归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。3.实数$x$、$y$满足方程$x^2+2y^2-2xy+x-3y+1=0$，则$y$的最大值为多少？解答：将方程变形为关于$x$的一元二次方程$x^2+(1-2y)x+2y^2-3y+1=0$，由于此方程有解，所以$\Delta\geq0$，即$(1-2y)^2-8(2y^2-3y+1)\geq0$，解得$y\leq\frac{1}{4}$或$y\geq\frac{3}{2}$，又因为$y$为实数，所以$y$的最大值为$\frac{3}{2}$，因此答案为$\text{B}$。点评：本题考查了一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$，$a$，$b$，$c$为常数）根的判别式。当$\Delta>0$，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；当$\Delta<0$，方程没有实数根。同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。4.方程$2x-x^2=2$的正根的个数为多少？解答：将方程变形为$x^2-2x+2=0$，由于$\Delta<0$，所以方程没有实数根，因此答案为$\text{0}.$归纳：本题考查了一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$，$a$，$b$，$c$为常数）根的个数。当$\Delta>0$，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；当$\Delta<0$，方程没有实数根。分析：已知方程的两个根为-3和1，所以可以得出方程的因式为$a(x+3)(x-1)$。然后将$b$和$c$用$a$表示，代入另一个方程中，进行因式分解求根。解答：因为方程的两个根为-3和1，所以方程可以表示为$a(x+3)(x-1)=0$。将其展开得到$ax^2+2ax-3a=0$，所以$b=2a$，$c=-3a$。将$b$和$c$代入方程$bx^2+cx+a=0$，得到$2ax^2-3ax+a=0$。将其因式分解得到$a(2x-1)(x-1)=0$，因此方程的两个根分别为$\frac{1}{2}$和1，即$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$。点评：本题考查了解一元二次方程的方法，需要熟练掌握因式分解和求根的方法。同时，需要注意代数式的转化和化简，避免出现计算错误。已知实数$m$，$n$满足$m^2+m-2009=0$，求$\dfrac{2009-n}{2mn-n}$的值。解析：由$m^2+m-2009=0$得$\Delta=1+8036=8037$，所以$m_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{8037}}{2}$，$m_2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{8037}}{2}$，又因为$m_1+m_2=-1$，$m_1m_2=-2009$，所以$n=\dfrac{-1-m_1}{m_1m_2}$，即$n=\dfrac{2}{m_1}-1$。所以$\dfrac{2009-n}{2mn-n}=\dfrac{2009-\frac{2}{m_1}+1}{2mn+\frac{2}{m_1}}=\dfrac{2010-\frac{4}{m_1}}{2m\cdot\frac{2}{m_1}}=\dfrac{1005m_1}{2m}=\dfrac{1005\sqrt{8037}-1005}{2}$。，0）、B（x2，0），且A，B两点的横坐标之和为2，那么b，c的取值是（）A、b0，c0或b2，c1B、b0，c1或b2，c0C、b0，c1或b2，c1D、b0，c1或b2，c1答案：D考点：函数的图象；解一元二次方程；根的性质。分析：由题意可知，函数的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0）、B（x2，0），且A，B两点的横坐标之和为2，因此x1x22。由于A，B两点均为函数的零点，因此根据一元二次方程的根的性质，可得到方程的系数与根之间的关系，从而解出b，c的值。解答：由题意得：x1x22，设函数的另一个根为x3，则有x1x2x3b1由一元二次方程的根的性质可得：x1x2b1a1，x1x2c∴x3x1x2b1∴x1x2x1x2x3c∴a1bc∴abc又因为A，B两点的横坐标之和为2，因此有：x1x22∴b12∴b1又因为abc，因此有：cab1∴b1，c1故选D。归纳：本题考查的是函数的图象与根的关系，利用根的性质解一元二次方程，从而求出系数的值。需要注意的是，要根据题意设出方程，并理清方程中各个量之间的关系。12、已知关于x的方程$(a+2)x^2-2ax+a=0$有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$，并且抛物线$y=x^2-(2a+1)x+2a-5$与x轴的两个交点分别位于点$(2,0)$的两旁。（1）求实数a的取值范围；（2）当$x_1+x_2=22$时，求a的值。【分析】（1）由一元二次方程的二次项系数不为和根的判别式求出a的取值范围。设抛物线$y=x^2-(2a+1)x+2a-5$与x轴的两个交点的坐标分别为$(\alpha,0)$、$(\beta,0)$，且$\alpha<\beta$，则$\alpha$、$\beta$是$(a+2)x^2-2ax+a=0$的两个不相等的实数根，再利用$(a+2)x^2-2ax+a=0$的根的判别式求$a$的取值范围，又因为抛物线$y=x^2-(2a+1)x+2a-5$与x轴的两个交点分别位于点$(2,0)$的两旁，利用根与系数的关系确定；（2）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值。【解答】（1）由$(a+2)x^2-2ax+a=0$有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$，得$$\Delta=(-2a)^2-4(a+2)a\geqslant0$$解得$a\in(-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[2,\infty)$。又因为抛物线$y=x^2-(2a+1)x+2a-5$与x轴的两个交点分别位于点$(2,0)$的两旁，即$\alpha<2<\beta$，所以$$\begin{cases}\alpha\beta=2a-5\\\alpha+\beta=2(2a+1)\end{cases}$$解得$$\alpha=2a-3-\sqrt{a^2-14a+29},\quad\beta=2a-3+\sqrt{a^2-14a+29}$$因为$\alpha<\beta$，所以$$\begin{aligned}&2a-3-\sqrt{a^2-14a+29}<2a-3+\sqrt{a^2-14a+29}\\\Rightarrow\&\sqrt{a^2-14a+29}>0\\\Rightarrow\&a^2-14a+29>0\\\Rightarrow\&a\in(-\infty,2-\sqrt{2})\cup(2+\sqrt{2},\infty)\end{aligned}$$综上，$a\in(-\infty,-\frac{1}{2}]\cap((-\infty,2-\sqrt{2})\cup(2+\sqrt{2},\infty))=[2+\sqrt{2},\infty)$。（2）因为$x_1+x_2=22$，所以$$\begin{aligned}&x_1x_2=\frac{a}{a+2}\\&x_1+x_2=\frac{2a}{a+2}\end{aligned}$$解得$$x_1,x_2=11\pm\sqrt{121-\frac{4a}{a+2}}$$因为$x_1,x_2$是实数，所以$$121-\frac{4a}{a+2}\geqslant0$$解得$a\leqslant8$。又因为$a\in[2+\sqrt{2},\infty)$，所以$a=8$。【答案】（1）$a\in[2+\sqrt{2},\infty)$；（2）$a=8$。解答：首先，格式错误已经全部删除，接下来对每段话进行改写：已知方程$ax^4-(a-3)x^2+3a=0$的一根小于$-2$，另