湖南省郴州市桂阳县第三中学2021年高三数学文测试题含解析

湖南省郴州市桂阳县第三中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为（

） 参考答案：【答案解析】B

解析：因为直线与直线互相垂直，所以，即，所以，所以选B.【思路点拨】根据两直线垂直的条件得：所以.2.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数（为函数的导函数），在上有且只有两个不同的零点，则称是在上的“关联函数”，若，是在上的“关联函数”，则实数的取值范围是（

）． A． B． C． D．参考答案：D，，∵与在上是关联函数，∴，在上有两个不同的零点，∴，即，解出．故选．3.某班有50名学生，该班某次数学测验的平均分为70分，标准差为，后来发现成记录有误：甲生得了80分，却误记为50分；乙生得了70分，却误记为100分。更正后得标准差为，则与之间的大小关系为

（

）

A、

B、

C、

D、无法确定

参考答案：B4.若等比数列满足=

（

）

A．-2

B．1

C．-1

D．2

参考答案：C略5.若x∈（e－1,1）,a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则（

）A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a参考答案：C【知识点】对数与对数函数B7因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e-1，1）时，a∈（-1，0），

于是b-a=2lnx-lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a-c=lnx-ln3x=a（1+a）（1-a）＜0，从而a＜c．

综上所述，b＜a＜c．【思路点拨】根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．6.已知命题“?x∈R，ax2+4x+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞） B．（0，4] C．（﹣∞，4] D．[0.4）参考答案：C【分析】全称命题转化为特称命题，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：∵命题“?x∈R，ax2+4x+1＞0恒成立”是假命题，∴命题“?x∈R，使ax2+4x+1≤0”是真命题，∴a≤0，或，解得：a≤0，或0＜a≤4．故选：C．7.化简的结果是(

)A．﹣cos1 B．cos1 C．cos1 D．参考答案：C【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式，同角三角函数关系式即可化简求值．【解答】解：．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角间三角公式的综合应用，属于基本知识的考查．8.函数y＝的图象大致是()参考答案：C9.平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同

B．，中至少有一个为零向量C．，

D．存在不全为零的实数，，参考答案：D10.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12…．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为

（

）

A．76

B．80

C．86

D．92参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若集合A＝，B＝，且，则实数的取值范围是．参考答案：答案：

12.设全集是实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是.参考答案：13.已知数列{an}的前n项之和为，满足，，则数列{cn}的通项公式为

．参考答案：已知，故得到两式做差得到两侧式子变形为累加得到.故答案为：.

14.已知是定义在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的奇函数，则f（x）的值域为

．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】根据是奇函数，可确定a的值，进而可得函数的解析式，利用函数的定义域，可确定函数的值域．【解答】解：∵是定义在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴∴∴2a=﹣1，∴∴∵x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）∴2x∈（0，]∪[2，+∞）∴[﹣2，﹣1）∪（0，1]∴f（x）∈故答案为：【点评】本题重点考查函数的奇偶性，考查函数的值域，解题的关键是确定函数的解析式，属于基础题．15.

若，且，则参考答案：答案：716.已知，则

.参考答案：略17.已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是

参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）试题分析：（1）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（2）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（3）由即可求解.试题解析:（1）因为，，所以平面，又因为平面，所以.（2）因为，为中点，所以，由（1）知，，所以平面.所以平面平面.（3）因平面，平面平面，所以.因为为的中点，所以，.由（I）知，平面，所以平面所以三棱锥的体积.【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.19.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（Ⅰ）求的值（Ⅱ）若，求和.

参考答案：略20.（本题满分12分）在△ABC中，，.（1）求sinC的值；（2）设BC＝5，求△ABC的面积.参考答案：（1）在中，∵，又∵ ;

（2）由正弦定理知：

21.已知，函数f（x）=．（1）如果x≥0时，f（x）≤恒成立，求m的取值范围；（2）当a≤2时，求证：f（x）ln（2x+a）＜x+1．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）根据条件化简f（x）≤得＞0，转化为，令（x≥0）利用导数求出其最大值，即可确定m的取值范围；（2）利用分析法，要证f（x）ln（2x+a）＜x+1可转化为证，由a≤2得只需证h（t）=et﹣ln（t+2）＞0，（t=2x＞﹣2）即可，利用导数求出h（t）的最小值大于0即可得证．【解答】解：（1）∵x≥0，，∴＞0，∴．令（x≥0），∵，∴g（x）递减，∴g（x）max=g（0）=1，∴m的取值范围是[1，+∞）（2）证明：当a≤2时，p（x）=f（x）ln（2x+a）﹣（x+1）的定义域，∴x+1＞0，要证，只需证ln（2x+a）＜e2x，又∵a≤2，∴只需证ln（2x+2）＜e2x，即证h（t）=et﹣ln（t+2）＞0，（t=2x＞﹣2）∵（t＞2）递增，，∴必有t0∈（﹣1，0），使h′（t0）=0，即，即t0=﹣ln（t0+2），且在（﹣2，t0）上，h′（t）＜0；在（t0，+∞）上，h′（t）＞0，∴==，∴h（t）=et﹣ln（t+2）＞0，即f（x）ln（2x+a）＜x+1．22.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°–sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15