2023年河南省南阳市桐柏县四校联考中考数学二模试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的倒数是()

A.B.C.D.

2.流浪地球是一部科幻灾难电影，讲述了人类为了逃离即将毁灭的太阳系，将地球推离太阳轨道，从而让地球脱离太阳系前往另一个星系的故事，这是一部真正意义上由中国人来拯救世界的电影月底，全国票房累计约收元，用科学记数法表示为()

A.B.C.D.

3.如图，是由个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是()

A.

B.

C.

D.

4.如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是()

A.B.C.D.

5.下列说法正确的是()

A.明天广安市城区会下雨是必然事件

B.调查广安综合频道聚焦广安的收视率，应采用全面调查的方式

C.甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数相等，方差分别为，，则乙的成绩比甲的稳定

D.将一次函数的图象向上平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为

6.是的角平分线，若，，则点到距离为()

A.B.C.D.

7.如图，、是的两条直径，点是弧的中点，连接、，若，则的度数()

A.

B.

C.

D.

8.如图，中，，，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则的长为()

A.

B.

C.

D.

9.某公司去年月份的营业额为万元，后来公司改变营销策略，月份的营业额达到万元，已知月份的增长率是月份的倍，求月份的增长率，设月份的增长率为，根据题意，可列方程为()

A.B.

C.D.

10.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，与轴相交于点，轴，若，则的长为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

12.直线，线段分别，交于点，，过点作，交直线于点，的平分线交直线于点若，则的度数是______．

13.新学期开始，小颖从学校开设的感兴趣的门劳动教育课程：烹饪、茶艺、花卉种植、整理收纳、家电维修中，随机选择一门课程学习，她选择“茶艺”课程的概率是______．

14.已知半径为的圆中有一条长度为的弦，分别以，为圆心，长度大于为半径作圆弧交于点，，连接，点为直线与圆的交点，点为直线与弦的交点，则的长度为______．

15.如图，已知为等边三角形，，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接，点为上一点，且连接，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．

解方程：

解：去分母，得第一步

去括号，得第二步

移项，得第三步

合并同类项，得，第四步

方程两边同除以，得第五步

以上求解过程中，第三步的依据是______．

A.等式的基本性质

B.不等式的基本性质

C.分式的基本性质

D.乘法分配律

从第______步开始出现错误；

该方程正确的解为______．

17.本小题分

如图，某建筑物楼顶挂有广告牌，张伟准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度由于场地有限，不便测量，所以张伟从点沿坡度为：的斜坡步行米到达点，测得广告牌底部点的仰角为，广告牌顶部点的仰角为，张伟的身高忽略不计，已知广告牌米，求建筑物的高度参考数据：，，

18.本小题分

某校为了解学生对共青团的认识，组织七、八年级全体学生进行了“团史知识”竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩满分分，分及分以上为优秀进行整理、描述和分析成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：

七年级抽取的名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，；

八年级抽取的名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，；

七，八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：

年级平均数中位数众数方差

七年级

八年级

根据以上信息，解答下列问题：

图表中______，______，______；

根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握团史知识较好？请说明理由一条理由即可；

该校七年级有人，八年级有人参加了此次“团史知识”竞赛，估计参加竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

19.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，已知点和格点，请按照下列要求完成作图：

将沿着轴的方向平移得到，当点的对应点落在轴上时，画出的图形；

绕点顺时针旋转后，则点的对应点的坐标是______．

20.本小题分

某天，小明在足球场上练习“落叶球”如图，足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图，足球起点在处，正对一门柱，距离，足球运动到的正上方，到达最高点，此时球门宽，高．

以水平方向为轴，为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．

请判断足球能否进球网？并说明理由．

小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点处进入球网若离点处有人墙，且，人起跳后最大高度为，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．

21.本小题分

图是边长为的正方形公园，小明家在边上的点处，小明与弟弟二人同时从家点出发，沿正方形的边逆时针骑行，速度分别为，，小明首次到达点时，弟弟恰好到达点．

求的值；

然后，小明以的速度继续逆时针骑行回家，同时弟弟以的速度原路返回，结果弟弟比小明晚分钟到家，用含的代数式表示．

22.本小题分

已知抛物线和抛物线为正整数．

抛物线与轴的交点坐标为______，对称轴为______；

当时，请解答下列问题．

直接写出与轴的交点坐标为______，请写出抛物线，的一条相同的图象性质______；

当直线与，相交至少有个交点时，求的取值范围．

若直线与抛物线和抛物线为正整数共有个交点，从左至右依次标记为点，点，点，点，若点、为线段的三等分点时，求出，之间满足的关系式．

23.本小题分

【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图的图案，则______；

【迁移应用】如图，在正方形中，是边上一点不与点，重合，连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：；

【拓展延伸】在菱形中，，是边上一点不与点，重合，连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．

线段与的数量关系是______；

若，是的三等分点，则的面积为______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是，

故选：．

根据倒数的定义即可求解．相乘等于的两个数互为倒数．

本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．

2.【答案】

【解析】解：，

故选：．

把表示为，其中，比原数的整数位数少．

本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的一般表示，，其中，为整数．

3.【答案】

【解析】解：根据题意可知俯视图有两行，第一行有个正方形，第行有个正方形，居中间．

所以俯视图是．

故选：．

从上面观察几何体得出平面图形判断即可．

本题主要考查了几何体的三视图，掌握俯视图的观察方向是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：如图：

直角尺的两边是平行的，

，

，

故选：．

先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再由三角板的较大锐角减去即可．

此题主要考查的是平行线的性质，能够熟练运用两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．

5.【答案】

【解析】解：明天广安市城区会下雨是随机事件，故A选项不符合题意；

B.调查广安综合频道聚焦广安的收视率，应采用抽样调查的方式，故B选项不符合题意；

C.甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定，故C选项不符合题意；

D.将一次函数的图象向上平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为，故D选项符合题意．

故选：．

根据随机事件、全面调查与抽样调查、方差的意义、一次函数图象的平移逐项判定即可解答．

本题主要考查了随机事件、全面调查与抽样调查、方差的意义、一次函数图象的平移等知识点，灵活利用相关知识成为解答本题的关键．

6.【答案】

【解析】

【分析】

过点作于，利用角平分线的性质得，即可解决问题．

本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

【解答】

解：过点作于，

是的角平分线，，，

，

，

，

点到距离为，

故选：．

7.【答案】

【解析】解：连接，如图所示：

，

，

点是弧的中点，

，

，

，

故选：．

连接，利用圆周角定理求得，再求得，根据等边对等角即可求解．

本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：中，，，．

，

设，

，

，

解得．

中，

．

的长为．

故选：．

由勾股定理求出，设，运用等积法可求出，再用勾股定理求出即可．

本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：设月份的增长率为，则月份的增长率是，故月份的营业额为，月份的营业额为，

依题意可列方程为：．

故选：．

设月份的增长率为，则月份的增长率是，故月份的营业额为，月份的营业额为，根据月份的营业额达到万元，即可列方程．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：与轴相交于点，轴，

，的纵坐标相等，设两点横坐标分别为，，分别代入反比例函数和得，

化简得，

，

，

解得：，，

将代入，

解得：，

，

即，

故选：．

依题意，，的纵坐标相等，设两点横坐标分别为，，分别代入反比例函数和，结合，得出的横坐标为，代入反比例函数解析式即可求解．

本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

11.【答案】且

【解析】解：，，

解得：且．

故答案为：且．

根据二次根式的被开方数是非负数，即可求解．

本题考查二次函根式有意义的条件，熟练掌握二次根式和负指数幂的相关知识是解题的关键．

12.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，

，

，

，

的平分线交直线于点，

，

，

．

故答案为：．

首先利用三角形的内角和定理求出，然后利用平行线的性质求出，最后利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解．

此题主要考查了平行线的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．

13.【答案】

【解析】解：共有烹饪、茶艺、花卉种植、整理收纳、家电维修门兴趣课程，

小颖选择“茶艺”课程的概率是．

故答案为：．

直接利用概率公式可得答案．

本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

14.【答案】或

【解析】解：如图，连接，

由作图知，直线垂直平分，

，，

，

，，

的长度为或，

故答案为：或．

如图，连接，由作图知，直线垂直平分，求得，，根据勾股定理即可得到结论．

本题考查了作图基本作图，垂径定理，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：如图，过作，交于，

为等边三角形，

，

将边绕点顺时针旋转，得到线段，

，

，

，

，，

，

，

取的中点，连接，则，

点在以为圆心，为直径的圆上运动，

为定值，

当、、三点共线时，的长最小，

过点作于，

则，

，

．

故答案为：．

如图，过作，交于，根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，取的中点，连接，则，推出点在以为圆心，为直径的圆上运动，当、、三点共线时，的长最小，过点作于，根据勾股定理即可得到结论．

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．

16.【答案】等式的性质一

【解析】解：以上求解过程中，第三步的依据是等式的性质，

故答案为：等式的性质；

从第一步开始出现错误，具体的错误是方程的右边没乘，

故答案为：一；

，

去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

合并同类项，得，

系数化成，得，

故答案为：．

根据等式的性质得出即可；

根据等式的性质判断即可；

去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成即可．

本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．

17.【答案】解：过点作于点，过点作作于点，如图：

坡度：，米，

，

，

，

，

米，

，，

，，

米，，

，

解得，

米，

米，

即建筑物的高度约为米．

【解析】过点作于点，过点作作于点，如图：求出，，可得结论．

本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

18.【答案】

【解析】解：所占的百分比是：，

，即；

共有个数，中位数是第、第个数的平均数，

中位数；

出现了次，出现的次数最多，

众数．

故答案为：；；；

八年级学生掌握团史知识较好，理由如下：

因为两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的众数大于七年级，方差小于七年级．

根据题意得：

人，

答：估计参加竞赛活动成绩优秀的学生人数是人．

先求出八年级等级的人数所占的百分比，再用整体减去其它所占的百分比，求出的值，再根据中位数，众数定义可得，的值；

根据平均分，中位数，方差可得答案；

用样本估计该校七、八年级学生的情况，即可得到答案．

本题考查了中位数，众数，样本估计方差等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是关键．

19.【答案】

【解析】解：如图，即为所求．

绕点顺时针旋转后得到的如图所示，

点的坐标是．

故答案为：．

根据平移的性质作图即可．

根据旋转的性质作出绕点顺时针旋转后得到的，即可得出答案．

本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．

20.【答案】解：由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，

将代入得，，解得，

足球运动轨迹抛物线的函数表达式为；

足球不能进球网，理由如下：

当时，，

，

足球不能进球网．

足球能越过人墙，理由如下：

足球运动轨迹抛物线形状不变，并经过点，

设抛物线的函数表达式为．

如图，

由题意知，四边形是矩形，则，

在中，由勾股定理得，

足球恰好在点处进入球网，

抛物线经过点，

将代入得，，

解得，

，

，

∽，

，

即，

解得，

把代入得，

，

，

足球能越过人墙．

【解析】由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将，代入求解值，进而可得结果；

将代入，求值，然后和比大小，进而可得结论；

由题意，设抛物线的函数表达式为如图，四边形是矩形，则，在中，由勾股定理求得，将代入得，，解得，可得，证明∽，则，解得，把代入抛物线解析式，求值，然后与比大小，进而可得结论．

本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

21.【答案】解：由题意，得，

解得．

由题意，得，

化简为．

【解析】根据两人骑行的时间相同列出方程求解即可；

根据弟弟比小明晚分钟到家列方程求解即可．

本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．

22.【答案】，，对称轴都为直线或与轴交点坐标都为，

【解析】解：令，则，即，

解得：，，

与轴的交点坐标为，；

对称轴为，

故答案为：，，；

，

，

令，则，即，

解得：，，

与轴的交点坐标为，；

对称轴为直线，

故答案为：，，对称轴都为直线或与轴交点坐标都为，；

当直线与相交只有个交点时，联立，整理得，

，

解得：；

当直线与相交只有个交点时，联立，整理得，

，

解得：；

直线与，相交至少有个交点，

；

如图，

联立，整理得，，

，

联立，整理得，，

，

点、为线段的三等分点，

，即，整理得，

，之间满足的关系式为．

令，则，即，解方程即可，根据对称轴为直线，计算求解即可；

，则，同求解交点坐标以及对称轴即可；然后根据对称轴或交点坐标的关系对相同的图象性质进行解答