函数的基本性质知识点归纳与题型总结

函数的基本性质知识点归纳与题型总结≥0＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(4)因为f(x)有意义，则x＞0，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．二、知识归纳1．函数的单调性(1)单调递增对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递增函数．(2)单调递减对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递减函数．(3)严格单调性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格单调函数．(4)单调性判定设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则①当f'(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上单调递增；②当f'(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上单调递减；③当f'(x)＝0时，函数f(x)在x处取极值．2．函数的极值(1)极值定义设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于x0的任何一个邻域内的x值，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，而x0就称为函数f(x)的一个极值点．(2)判别极值的方法①一阶导数法设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)＝0，则(1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；(2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；(3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．②二阶导数法设函数f(x)在点x0处二阶可导，则(1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；(2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；(3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．3．函数的凹凸性(1)凹函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≤λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凹函数．(2)凸函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≥λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凸函数．(3)严格凹凸性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)<λf(x1)+(1－λ)f(x2)或f(λx1＋(1－λ)x2)>λf(x1)+(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格凹函数或严格凸函数．(4)凹凸性判定设函数f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，则①当f''(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上是凹函数；②当f''(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上是凸函数；③当f''(x)＝0时，函数f(x)在x处可能是拐点．解题提醒：①判定函数的单调性时，要注意定义域的连续性和可导性．②判定函数的极值和拐点时，要注意函数的可导性和二阶导数的符号．题型二函数单调性、极值和凹凸性的判定典型例题：求函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调性、极值和凹凸性．解：(1)单调性f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2，f''(x)＝6x－6，f''(0)＝－6＜0，f''(2)＝6＞0，所以当x＜0或0＜x＜2时，f(x)单调递减，当x＞2时，f(x)单调递增．(2)极值f'(0)＝0，f''(0)＝－6＜0，所以f(0)为极大值点；f'(2)＝0，f''(2)＝6＞0，所以f(2)为极小值点．(3)凹凸性f''(x)＝6x－6，令f''(x)＝0，得x＝1，当x＜1时，f''(x)＜0，所以f(x)在(x，1)上是凸函数，当x＞1时，f''(x)＞0，所以f(x)在(1，+∞)上是凹函数．周期性的三个常用结论可以帮助我们更好地理解函数的周期性。第一个结论是，如果一个函数f(x+a)=-f(x)，那么它的周期T=2a。第二个结论是，如果一个函数f(x+a)=f(x)，那么它的周期T=2a。第三个结论是，如果一个函数f(x+a)=-f(x)，且a>0，那么它的周期T=2a。函数的奇偶性、周期性和单调性是函数的三大性质。在高考中，常常会将它们综合在一起命制试题。其中，奇偶性常与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主。这些试题多以选择题和填空题的形式出现。在奇偶性的应用中，我们需要根据给定的条件来判断函数的奇偶性。例如，如果一个函数f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x，那么当x>0时，f(x)=-2-x。因此，正确的选项是C。在单调性与奇偶性结合的应用中，我们需要根据给定的条件来确定函数的单调性和定义域。例如，如果一个函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)=1，若f(x-1)>0，那么x的取值范围是0<x<1或x>2。在周期性与奇偶性结合的应用中，我们需要根据给定的条件来确定函数的周期和函数值。例如，如果一个定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x)，且f(2)>1，f(7)=a，那么实数a的取值范围是1<a<+∞。在单调性、奇偶性和周期性结合的应用中，我们需要根据给定的条件来判断函数的单调性、奇偶性和周期。例如，如果一个定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且在[0,2)上单调递减，那么正确的结论是f(3)<<f(1)。根据题意，我们需要剔除格式错误和明显有问题的段落，并对每段话进行小幅度的改写。改写后的文章：根据函数f(x)定义在实数集上的奇函数，我们得到f(0)=0。由于f(x+2)=-f(x)，因此函数f(x)是以4为周期的周期函数。因此，f(3)=f(-1)。同时，函数f(x)在区间[0,2)上单调递减，因此在区间(-2,2)上也单调递减。因此，f(-1)>f(0)>f(1)，即f(1)<<f(3)。因此，选项C是正确的。在解决