大规模交直流系统潮流计算的实用化模型

大规模交直流系统潮流计算的实用化模型

0极坐标下的最优乘子牛顿法趋势计算是对能源系统规划和运行的基本分析工具。由于在收敛性、计算速度与内存需求上的优势,因此牛顿–拉夫逊法与快速解耦法在交流从潮流问题提出至今,针对上述问题已经积累了大量的研究成果。针对问题1)和2),文献[7-8]给出了合理有效的初值计算算法。对于问题3)和4),常规的算法无法有效收敛,甚至会发散;迭代结束后所产生的结果难以给出计算发散的原因及改进调整措施。为此,有3类方法在潮流的收敛性方面进行了改进和完善。第1类是基于最优乘子的牛顿法。这类算法通过求解一个关于潮流残差平方和的二次函数的极小值来获得最优乘子,然后用最优乘子来限制在牛顿方向上的修正值。直角坐标以及极坐标下的最优乘子牛顿法在文献[9-12]中进行了讨论。由于这类方法是基于牛顿法的,因此也需要提供合理的初值来保证收敛性。在极坐标下,特别是联立求解交直流方程时,无法给出精确的二次函数来求解最优乘子,采用近似算法求出的最优乘子,往往会使算法陷入局部最小值,甚至会造成发散。第2类是参数化的连续潮流计算方法到2020年,中国将建成一个以特高压为主干网络、交直流互联的超大规模复杂电网。华北、华中和华东将通过多端直流网络进行互联。电力工业的发展迫切需要一个高效、稳定、灵活的交直流潮流计算的分析工具。超大规模电网的分析计算显示了与常规计算不同的数值特性,是电力系统分析计算的新挑战。本文基于文献[16-17]给出了适合大规模潮流计算的实用化模型及其算法实现。该模型包含了多端直流系统,包含了反映运行约束以及直流控制方式的不等式约束。采用内点法求解该模型。本文提出的模型及算法具有如下主要特点:1)算法在潮流有解、潮流无解以及可行域附近都不存在发散现象。2)具有很强的鲁棒性,无需电压初值计算环节;当网络中存在大量小阻抗和负阻抗时,算法的收敛性大大优于基于牛顿搜索方向的常规算法。3)采用内点法计算该模型时,修正方程可以严格既约到与常规潮流计算的修正方程具有相同的维数,修正方程的系数矩阵具有对称正定特性,非零元个数与常规牛顿–拉夫逊法的雅克比矩阵基本相同。4)在程序实现上,本文采用矢量化技术,自主开发了基于标准模板库的线性代数子程序,实现了实数与复数的基本线性代数运算,集成了国际主流的线性系统求解算法,程序运行速度已经达到实用化水平。1非线性规划模型及其解决方案1.1交流约束的约束及约束交直流计算的非线性规划模型为其约束包括等式约束和不等式约束。1)等式约束包括潮流方程、换流站电压方程以及多端直流系统节点方程:式中:U为母线电压幅值;δ为母线电压相角;U=U∠δ为节点复电压;P式(2)—(3)中的式(7)—(8)可写为式中:N为交流母线数;函数f2)不等式约束包括式中:Ω为了反映换流站的控制方式,必须恰当地设置不等式约束的上下限值。作为恒定控制方式,可设置具有相同数值的上下限,由此保证计算结果中该变量为给定值。具体如下:1)定电流控制为2)定电压控制为3)定功率控制为4)定控制角控制为5)定变比控制为式中:Ω加入不等式约束后,算法中可以忽略PV和PQ节点类型转换以及换流站的控制方式的切换。当式(11)—(13)的上下限约束松弛到足够大时,本文的计算模型等价于不考虑交流变量约束及节点类型转换的普通潮流计算。也可对直流控制方式的不等式进行松弛以获得一个潮流可行解。1.2拉格朗日乘子的确定本文模型简化为如下的标准非线性规划形式:针对模型(18)采用内点法进行求解的步骤如下。1)引入松弛变量l、u,将不等式约束转换为等式约束:2)定义拉格朗日函数:式中y、z、w为拉格朗日乘子。3)拉格朗日函数的1阶最优性条件(KarushKuhn-Tucker条件,简称KKT条件)为式中:e为单位对角阵;L从式(33)和(34)中消去ε:4)采用常规内点法的既约方法,获得修正方程:式中:式中(L考察式(36)的结构可知,其系数矩阵具有对称正定特性,这与常规的内点法修正方程的系数矩阵不同。从式(36)可推知:将式(41)代入式(36),可得:求解式(42)后计算式(41),然后按照下式计算其余修正量:5)计算搜索方向上的步长,并修正X、l、u、yz、和w,最后按照式(33)获得ε。1.3等效约束条件求解式(42)的难点是需要构造潮流方程(特别是交流潮流方程)海森矩阵的线性组合。根据文献[18],极坐标下潮流方程的海森矩阵的线性组合可以通过复数矩阵及向量的基本线性运算获得,无需单独求解每一个海森矩阵。所得结果中与电压幅值及相角相关的4个子块的非零元结构与导纳矩阵完全一致。直流方程的非线性程度较低,2阶导数存在大量非零元。由此可以推断,式(42)的系数矩阵与普通潮流方程系数矩阵的非零元个数基本相同。因此,只要采用高效率的、支持复数运算的基本线性代数子程序即可快速构造式(42)。采用本模型进行常规潮流计算时,可忽略不等式的影响。由式(25)可知,在常规潮流方程中引入了无约束的简单松弛变量,等式约束一定可以满足,故本算法在潮流有解和无解的情况下是全局收敛的。由于目标函数为松弛变量的平方和,所以等式约束在(U,δ,ε)空间上为潮流方程曲面与抛物面相切,切点即为潮流方程的解。忽略不等式约束时,最优性条件也可表示为由此2式决定的修正方向不同于常规潮流计算的牛顿方向,其本质是在潮流曲面与松弛变量构成的抛物面上共同寻求潮流解。本算法在收敛性上优于基于牛顿方向的常规潮流算法。理论与算例分析表明,本文模型不依赖于电压初值,具有很强的收敛性,对小阻抗及负阻抗支路也有很强的适应能力。其原因如下:1)常规牛顿法采用平启动时,∂∆Q/∂δ很小,在未采用快速解耦算法的计算过程中,某些节点可能试图通过δ的变化来承担一部分无功的偏差量,从而导致首次迭代就出现了全部相角修正量均过大、而电压修正量基本正常的现象。快速解耦算法则忽略了∂∆Q/∂δ这一子块,由此可以获得很好的启动特性。进一步地:式(42)表明,修正方程的系数矩阵引入了海森矩阵元素,并且有雅可比矩阵及其转置相乘的分量,从而消除了∂∆Q/∂δ的影响,可以获得良好的启动特性。2)本文的模型本质上属于参数化潮流的范畴。常规牛顿–拉夫逊法是在(U,δ)空间进行搜索,而本文算法是在(U,δ,ε)空间进行搜索,能够较好地避免陷入局部极小值。因此本算法可以较为准确地获得潮流是否有解以及潮流不收敛的原因。3)算法的搜索方向上引入了节点功率残差ε进行调节,在(U,δ)空间不稳定的点在(U,δ,ε)空间上可能是稳定的。虽然本算法的搜索方向与牛顿搜索方向的本质区别仍待严谨的数学分析,但是本算法为探索潮流解的空间拓扑提供了新的途径。2计算与分析2.1抗起压测试参数本文计算对象为华中电网某测试系统,其基本负荷水平为有功109.2GW、无功40.15Gvar,交流网络最高电压等级为500kV,最低电压等级为35kV。具体参数如表1所示。为了验证小阻抗支路和负阻抗支路对潮流计算的影响,该测试系统提供了2套数据,一套为原始的、保留了所有小阻抗支路与负阻抗支路的数据,简称(A)数据;一套为进行了节点合并处理、删除了部分小阻抗的数据,简称(B)数据。2套数据中小阻抗及负阻抗支路的数目及数值范围见表2。2.2算法的迭代过程本节所采用的算法有:1)牛顿–拉夫逊法;2)含直流系统的快速分解法;3)含最优乘子的牛顿–拉夫逊法。由于极坐标下潮流方程不是标准的二次方程,故采用了文献[19]所提的算法对交直流方程联立进行最优乘子计算。算法1)和3)采用了交直流联立求解的策略。在算法实现上,采用了开源数值计算库UMFPACK从图1和图2可以看出,牛顿法和快速分解算法的迭代过程不收敛。从图3可以看出,含有最优乘子的牛顿–拉夫逊法的迭代过程不发散。该算法结束后,通过查找潮流方程最大残差(下降到10.0pu),可以将系统的薄弱节点定位到平衡点附近的某个PQ节点上,然而,这个残差不能通过消减部分负荷以及重新调整平衡机位置来消除,即含最优乘子的牛顿–拉夫逊法无法找到(A)数据潮流计算失败的原因。对此,本文将在2.3节做出具体分析。对(B)数据进行潮流计算的结果表明,对于相同的运行方式,潮流计算展现出良好的数值特性。平启动牛顿法的迭代过程仍会发散。为此,采用了快速解耦算法迭代若干次,然后转入牛顿–拉夫逊法进行潮流计算。这种策略对于良好的运行方式可快速收敛。这一现象验证了1.3节中1)的分析结论,但该策略无法保证对各种运行方式都具有良好的收敛性。采用最优乘子法可以在一定程度上提高收敛性,但基于最优乘子的算法容易陷于局部最小点,而且在可行域边界附近,最优乘子的算法无法获得潮流是否有解的准确依据。因此,寻求收敛性稳定、判断可靠的潮流算法是必要的。2.3节点最大松弛量为了验证所提算法,采用(B)数据计算。定义R采用本算法对(A)数据的迭代过程如图6所示。迭代计算后,节点最大松弛量为某三卷变压器的中性点(PQ节点),简称ChuanY。该点功率残差为:有功0.0669pu;无功0.050pu。可以看出,本算法的收敛特性优于最优乘子法(后者仅能下降到最大残差10.0pu附近)。将本算法的结果进行牛顿–拉夫逊法计算,最大修正量为ChuanY的相角修正量,数值为6.32×102.4海森矩阵的计算单次迭代中各模块的计算时间如表4所示。测试用台式计算机配置为:单核CPU主频为2.0GHz、内存为1GB。代码在MicrosoftVisualStudioV.6.0环境中进行编译。从表中可以看出,采用文献[18]所提的算法可以快速计算海森矩阵的线性组合。构造潮流方程海森矩阵的计算量与构造雅克比矩阵的计算量基本相当,而文献[24]的算法可以快速求解式(42)描述的修正方程。对华中6891节点交直流系统,每次迭代所需时间约为0.33s。按平均每次计算需要18次迭代进行估算,整个算法可以在5~6s内完成计算,满足实用化要求。对于较为良好的运行方式,采用快速解耦算法提供的初值进行牛顿–拉夫逊法潮流计算,需要6~7次迭代可以完成计算,总耗时约2s。平均每次迭代耗时0.32s左右,其中形成雅克比矩阵耗时0.16s,采用文献[21]算法求解修正方程耗时0.14s。本文所提算法虽然在构造修正方程上需要比牛顿–拉夫逊潮流算法更多的计算量,但是由于其修正方程系数的对称正定特性,求解修正方程的耗时仅为牛顿–拉夫逊法对应耗时的1/10。3潮流方程的数值稳定性本文给出了一种鲁棒性好的实用化潮流计算方法,适用于大规模交直流