安徽省亳州市高公中学高三数学文测试题含解析

安徽省亳州市高公中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e﹣i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），结合三角函数的符号，即可得出结论．【解答】解：由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），∵cos（﹣1）＞0，sin（﹣1）＜0，∴e﹣i表示的复数在复平面中位于第四象限．故选D．【点评】本题考查欧拉公式，考查三角函数知识，比较基础．2.在矩形ABCD中，，若向该矩形内随机投一点P，那么使得与的面积都不小于2的概率为（）A．

B.

C.

D.参考答案：B3.在矩形ABCD中，AB=，BC=,P为矩形内一点，且AP=，若

的最大值为(

’

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A． B． C． D．参考答案：D【分析】根据题意，设向量与的夹角为θ，则∠ABC=π﹣θ，由向量、的坐标计算可得cosθ的值，结合θ的范围可得θ的值，又由∠ABC=π﹣θ，计算可得答案．【解答】解：设向量与的夹角为θ，则∠ABC=π﹣θ，向量=（，），则||=1，=（，），则||=1，且=×+×=，则cosθ==，又由0≤θ≤π，则θ=，则∠ABC=π﹣=；故选：D．5.已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|＞0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x≥﹣1}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合M和N，由此能求出M∩N的值．【解答】解：∵集合M={x|1+x≥0}={x|x≥﹣1}，N={x|＞0}={x|x＜1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．6.在如图所示的算法流程图中，输出的值为（

）A．11

B．12

C．13

D．15参考答案：B本题主要考查流程图.由流程图可知,,故选B.7.已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是

A．

B．C．D．参考答案：B略8.已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件参考答案：D略9.已知，则“”是“”的 (

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A10.已知函数

若则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知全集U=R，集合A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}，则CuA=．参考答案：（﹣3，0）略12.对于函数与函数有下列命题：①函数的图像关于对称；②函数有且只有一个零点；③函数和函数图像上存在平行的切线；④若函数在点P处的切线平行于函数在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为其中正确的命题是

。（将所有正确命题的序号都填上）参考答案：②③④画出函数的图像可知①错；函数的导函数，所以函数在定义域内为增函数，画图知②正确；因为，又因为，所以函数和函数图像上存在平行的切线，③正确；同时要使函数在点处的切线平行于函数在点处的切线只有，这时，所以，④也正确．13.双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为（2，0），则此双曲线的渐近线方程是

.参考答案：答案：

14.已知，且，则的最大值为

.参考答案：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为。15.设f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log3x．记f（x）在[﹣10，10]上零点的个数为m，方程f（x）=﹣1在[﹣10，10]上的实数根和为n，则有（）A．m=20，n=10 B．m=10，n=20 C．m=21，n=10 D．m=11，n=21参考答案：C【考点】函数与方程的综合运用．【分析】利用函数的对称性，函数的奇偶性求解函数的周期，画出函数的图象，然后求解函数的零点个数．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2﹣x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，当0＜x≤1时，f（x）=log3x．可得x=1，f（1）=0，f（x）在[﹣10，10]上图象如图：可得m=21，方程f（x）=﹣1在[﹣10，10]上的实数根分别关于x=﹣7；﹣3，1，5，9对称，实数根的和为n，n=﹣14﹣6+2+10+18=10．故选：C．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的图象与零点的个数问题，考查数形结合思想以及转化思想的应用．16.若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=

．参考答案：【考点】指数函数综合题．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的性质，需对a分a＞1与0＜a＜1讨论，结合指数函数的单调性可求得g（x），根据g（x）的性质即可求得a与m的值．【解答】解：当a＞1时，有a2=4，a﹣1=m，此时a=2，m=，此时g（x）=﹣为减函数，不合题意；若0＜a＜1，则a﹣1=4，a2=m，故a=，m=，g（x）=在[0，+∞）上是增函数，符合题意．故答案为：．【点评】本题考查指数函数综合应用，对a分a＞1与0＜a＜1讨论是关键，着重考查分类讨论思想的应用，属于中档题．17.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（为参数），Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则圆C截直线l所得的弦长为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列a1,a2,…,a2015满足性质P：，．(Ⅰ)(ⅰ)若a1,a2,…,a2015是等差数列，求an；(ⅱ)是否存在具有性质P的等比数列a1,a2,…,a2015？(Ⅱ)求证：．参考答案：(Ⅰ)（ⅰ）设等差数列a1,a2,…,a2015的公差为d，则．由题意得，所以，即．当d=0时，a1=a2=…=a2015=0，所以与性质P矛盾；当d>0时，由，，得，．所以．当时，由，，得，．所以．综上所述，或．（ⅱ）设a1,a2,…,a2015是公比为的等比数列，则当时，，则，与性质P矛盾.当时.与性质P矛盾.因此不存在满足性质P的等比数列a1,a2,…,a2015．(Ⅱ)由条件知，必有ai>0，也必有aj<0(i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j)．设为所有ai中大于0的数，为所有ai中小于0的数．由条件得a+a+…+a=，a+a+…+a=-．所以．19.在中，分别是角A，B，C的对边，已知，且

（1）求的大小；

（2）设且的最小正周期为，求在的最大值。参考答案：见解析考点：解斜三角形三角函数综合试题解析：（1）∵∴

∴

又∵0＜x＜

∴A=

(2)．==++

=+==sin(x+)

∵

=

∴=2

∴=sin(2x+)

∵

∴2x+[，

]

∴时．20.已知函数，，其中为正实数.（1）设函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：（其中为自然对数的底数）.参考答案：(1);(2)详见解析.(1)首先求，再求，令，，根据导数求函数在定义域内的最小值，令最小值大于等于0，即求得的取值范围；（2）根据第一问当时，，观察所证明的不等式，令，化简为，令再将所得的个不等式相加，最后采用放缩法，利用裂项相消法求和，即证明不等式.因此，即，所以.（5分）故实数的取值范围为.（6分）考点：1.导数与不等式的证明；2.导数与不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考察了导数与证明不等式问题以及根据不等式恒成立，求参数的取值范围，对于第一问恒成立的问题，除了本题所选择的方法外，也可以根据恒成立，转化为参变分离的问题，但需要分和两种情况下的参变分离，对于本题第二问，需要观察所证明的不等式，需要用累加法，通项是，而第一问得到，时，整理为，根据通项进行整理为，这样就可设，采用累加，放缩法证明不等式. 21.

已知函数f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝．(1)求a、b、c的值；(2)试判断函数f(x)在(0，)上的单调性并说明理由；(3)试求函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值．参考答案：(1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.即－ax－＋c＋ax＋＋c＝0，∴c＝0.由f(1)＝，f(2)＝，得a＋b＝，2a＋＝，解得a＝2，b＝．∴a＝2，b＝，c＝0.(2)由(1)知，f(x)＝2x＋，∴f′(x)＝2－．当x∈(0，)时，0<2x2<，则>2.∴f′(x)<0.∴函数f(x)在(0，)上为减函数．(3)由f′(x)＝2－＝0，x>0，得x＝．∵当x>时，<2，∴f′(x)>0，即函数f(x)在(，＋∞)上为增函数．又由(2)知x＝处是函数的最小值点，即函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f()＝2.

22.（14分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；（2）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及Eξ．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计