新版【冀教版适用】初三数学上册《专训1-构造三角函数的基本图形解决实际问题中的四种数学模型》

专训1构造三角函数的基本图形解决实际问题中的四种数学模型名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．构造直角三角形解决实际问题1．【中考·山西】太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米(结果保留根号)．(第1题)2．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1m．参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)．(第2题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题3．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°.在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？(第3题)4．【中考·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1m．参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．【导学号：83182074】(第4题)5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)．(第5题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题6．【中考·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4m/s，求这架无人飞机的飞行高度(结果保留根号)．【导学号：83182076】(第6题)7．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，求大树的高度(结果保留根号)．【导学号：83182075】(第7题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题8．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21m，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．【导学号：83182077】(第8题)答案1．解：如图，过点A作AG⊥CD于点G，则∠CAG＝30°.(第1题)在Rt△ACG中，CG＝AC·sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(cm)，∵GD＝50－30＝20(cm)，∴CD＝CG＋GD＝25＋20＝45(cm)．连接FD并延长与BA的延长线交于点H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝eq\f(CD,sin30°)＝2CD＝90cm，∴EH＝EC＋CH＝AB－BE－AC＋CH＝300－50－50＋90＝290(cm)，在Rt△EFH中，EF＝EH·tan30°＝290×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(290\r(3),3)(cm)．答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，eq\f(290\r(3),3)cm.2．解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，(第2题)则DE＝BF＝CH＝10m，在Rt△ADF中，∵AF＝80－10＝70(m)，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m.在Rt△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝eq\f(DE,tan30°)＝eq\f(10,\f(\r(3),3))＝10eq\r(3)(m)．∴BC＝BE－CE＝70－10eq\r(3)≈70－17.32≈52.7(m)．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m.3．解：由题易得，∠AMN＝30°，∠ABN＝45°.如图，过点A作AC⊥MN于点C.(第3题)在Rt△ABC中，tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)，∴BC＝AC.在Rt△AMC中，tan∠AMC＝eq\f(AC,MC)，∴MC＝eq\r(3)AC.由MB＝MC－BC，得eq\r(3)AC－AC＝400，∴AC＝200(eq\r(3)＋1)≈546(m)>500m.∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．4．解：延长AD交BC的延长线于点G，作DH⊥BG于点H，如图．(第4题)在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4m，则CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2(m)，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2eq\r(3)(m)，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝eq\f(DH,tanG)＝eq\f(2\r(3),tan30°)＝6(m)，∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8(m)，设AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝xm，BG＝eq\f(AB,tanG)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x(m)．∵BG－BC＝CG，∴eq\r(3)x－x＝8，解得x≈11.答：电线杆的高(AB)约为11m.5．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F.在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，∴AF＝AB·sin60°＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(m)．在Rt△AEF中，β＝45°，∴AF＝EF.∴AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(（10\r(3)）2＋（10\r(3)）2)＝10eq\r(6)(m)．即改造后的坡长AE为10eq\r(6)m.(第5题)6．解：如图，作AD⊥BC于点D，BH垂直水平线于点H，(第6题)由题意得∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝32m，∴AD＝CD＝AB·sin30°＝16(m)，BD＝AB·cos30°＝16eq\r(3)(m)．∴BC＝CD＋BD＝(16＋16eq\r(3))m，则BH＝BC·sin30°＝(8＋8eq\r(3))m.即这架无人飞机的飞行高度为(8＋8eq\r(3))m.7．解：如图，作CE⊥AB于点E.(第7题)则CD＝BE＝5m，CE＝eq\f(BE,tan30°)＝5eq\r(3)(m)，AE＝CE·tan45°＝5eq\r(3)(m)，∴AB＝AE＋BE＝(5＋5eq\r(3))m.即大树的高度为(5＋5eq\r(3))m.8．解：∵∠C