第六讲高等数学习题课两个重要的公式课件

第二章极限与连续一、本章提要1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点.第二章极限与连续

2.基本公式

（代表同一变量).两种形式注意能求的极限形式2.基本公式（代表同一变量).两种形式注意能求的极限形式

3.基本方法*****⑴利用函数的连续性求极限；⑵利用四则运算法则求极限；⑶利用两个重要极限求极限；⑷利用无穷小替换定理求极限；

3.基本方法*****⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；⑺利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限.⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子⑹利用分子，4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性,极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.4.定理二、学法建议1．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习．2．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大,极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系．3．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论;特别注意判断分段函数在分段点的连续性．二、学法建议

三、例题精解

例1求下列极限:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

三、例题精解(4)(5)例2设

问当为何值时，是的间断点?是什么间断点?例2设问当为何值时，是的间断点?是什么间断点?四、主要解题方法求函数极限方法*****

1.利用极限存在的充分必要条件求极限例1求下列函数的极限：解因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．四、主要解题方法解因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．

小结

对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在．

例如习题二P312小结例如习题二P3122.利用极限运算法则求极限例2

求下列函数的极限：

(2)

(3)

(4)

(1)小结

(1)应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．2.利用极限运算法则求极限例2求下列函数的极限：（2）求函数极限时，经常出现

等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法．型，往往需要先通分，化简，再求极限，对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，（2）求函数极限时，经常出现等情况，都不能直接运用极限运算对分子、分母进行因式分解，再求极限，对于当时的型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限．对分子、分母进行因式分解，再求极限，对于当时的型，可将分子分解(1)==(2)当时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．原式=解(1)==时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用(3)当时，的极限均不存在，式呈现型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即原式=(3)当时，的极限均不存在，式呈现型，不能直接用“差的极限(4)当时，分子分母均无极限，呈现形式．需分子分母同时除以将无穷大的约去，再用法则求原式=(4)当时，分子分母均无极限，呈现形式．需分子分母同时除以3.利用无穷小的性质求极限例3求下列函数的极限（1）

（2）

3.利用无穷小的性质求极限例3求下列函数的极限（1）解（1）因为而，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即解（1）因为而，求该式的极限需用，所以当时，是无穷小量，（2）不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得（2）不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但小结利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）．小结4.利用两个重要极限求函数的极限例4求下列函数的极限：（1）

（2）

4.利用两个重要极限求函数的极限例4求下列函数的极限：（解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限==（2）=解（1）分子先用和差化积公式变形，==（2）=小结利用求极限时，函数的特点是型，满足的形式，其中为同一变量；用求极限时，函数的特点型幂指函数，其形式为型,为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数；小结利用求极限时，函数的特点是型，满足的形式，其中为同一变量

用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。用两个重要极限公式求极限时，常用等价无穷小:

～～～～～～～～～5.利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小:～～～～～～～～～5.利用等价无穷小代例5求下列函数的极限（1）

（2）

解

（1）

例5求下列函数的极限（1）（2）解（1）（2）===

（2）===小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错．如上题,即得一错误结果．小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，,即得一错误6.利用函数的连续性求极限例6求下列函数的极限（1）

解(1)因为是初等函数，在处有定义，所以

6.利用函数的连续性求极限例6求下列函数的极限（1）（2）

函数看成由

复合而成，利用分子有理化（2）函数看成由复合而成，利用分子有理化

=小结利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序．=小结利用“函数连续的极限值即为函数值”可见,函数在点五、函数连续性的定义*****定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;可见,函数在点五、函数连续性的定义*****定义:在的在在六、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;在在六、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的备用题

确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.备用题确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点

2.

求解:原式=12.求解:原式=1本次课结束谢谢同学们作业：教材习题一本次课结束谢谢同学们作业：教材习题一(补充）三、极限1.极限定义的等价形式(以为例)(即为无穷小)有机动目录上页下页返回结束2.极限存在准则及极限运算法则(补充）三、极限1.极限定义的等价形式(以3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:

4.两个重要极限6.判断极限不存在的方法～～～～～～～～～机动目录上页下页返回结束5.求极限的基本方法3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:例6.

求下列极限：提示:无穷小有界机动目录上页下页返回结束例6.求下列极限：提示:无穷小有界机