河南省许昌市禹州第四中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

河南省许昌市禹州第四中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则下列各结论中正确的是（

）A． B．C． D．参考答案：D略2.并排的5个房间，安排给5个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，问每个房间恰好进入一人的概率是_______A.

B

C.

D.参考答案：A3.若向量，且，则向量与的夹角为（

） A．30°

B．60°

C．120°

D．150°参考答案：C略4.已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（

）A.4

B.3

C.2

D.

参考答案：A5.设y=，则=（

）A．2x

B．(2+4x2)

C．(2x+x2)

D．(2+2x2)参考答案：答案：B6.如图所示，，则的值A、

B、 C、

D、参考答案：B略7.执行如图所示的程序框图，输出的结果为20，则判断框内应填入的条件为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点在△ABC内部，则的取值范围是(

)A．(1－，2)

B．(0，2)

C．(－1，2)

D．(0，1+)参考答案：A9.设为非零向量，则“，”是“”的（

）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可.【详解】证充分性所以，即充分性成立证必要性因为所以，即则向量反向，即存在，使得由，则所以，，即必要性成立所以“，”是“”的充分必要条件故选：C【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.10.下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件参考答案：B【考点】复合命题的真假．【分析】命题A找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题C是写特称命题的否定，应是全称命题；选项B是考查的线面垂直的判定；D可举反例分析．【解答】解：命题“若a＜b，则am2＜bm2”的逆命题是，若“am2＜bm2，则a＜b”，此命题为真命题，所以命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题，所以A不正确．设α，β为两个不同的平面，直线l?α，若l⊥β，根据线面垂直的判定，由α⊥β，反之，不一定成立，所以B正确．命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是全程命题，为?x∈R，x2﹣x≤0，所以C不正确．由x＞1不能得到x＞2，如，，反之，由x＞2能得到x＞1，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分要条件，故D不正确．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知中，角A,B,C所对的边分别为，若，则角C=__________．参考答案：

12.已知偶函数满足对任意，均有且，若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围是_______.参考答案：13.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当时，S的面积为

．参考答案：当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，

可知截面为APC1F为菱形，故其面积为.

14.已知an=n（n+1），则a1+a2+…+a9=．参考答案：330【考点】数列的求和．【分析】方法一、直接法，计算即可得到所求和；方法二、由数列的求和方法：分组求和，结合n个正整数的平方和公式和等差数列的求和公式，化简整理，计算即可得到所求和．【解答】解法一、由an=n（n+1），直接计算可得：a1+a2+…+a9=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10=330．解法二、（公式法）由an=n（n+1）=n2+n，可得Sn=（12+22+…+n2）+（1+2+…+n）=+=，可得a1+a2+…+a9=S9==330．故答案为：330．15.已知向量，，且，则实数m的值是__________.参考答案：1【分析】根据即可得出，从而求出的值．【详解】∵，∴；∴，故答案为1．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，属于基础题.16.参考答案：1517.已知向量，若则的最小值为

．参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）已知函数，，（1）解关于x（x∈R）的不等式f（x）≤0；（2）证明：f（x）≥g（x）；（3）是否存在常数a，b，使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证出结论即可；（3）假设存在，得到对任意的x＞0恒成立，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）当a=0时，，所以f（x）≤0的解集为{0}；当a≠0时，，若a＞0，则f（x）≤0的解集为[0，2ea]；若a＜0，则f（x）≤0的解集为[2ea，0]．综上所述，当a=0时，f（x）≤0的解集为{0}；当a＞0时，f（x）≤0的解集为[0，2ea]；当a＜0时，f（x）≤0的解集为[2ea，0]．

…（4分）（2）设，则．令h'（x）=0，得，列表如下：xh'（x）﹣0+h（x）↘极小值↗所以函数h（x）的最小值为，所以，即f（x）≥g（x）．…（8分）（3）假设存在常数a，b使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立，即对任意的x＞0恒成立．而当时，，所以，所以，则，所以恒成立，①当a≤0时，，所以（*）式在（0，+∞）上不恒成立；②当a＞0时，则，即，所以，则．…（12分）令，则，令φ'（x）=0，得，当时，φ'（x）＞0，φ（x）在上单调增；当时，φ'（x）＜0，φ（x）在上单调减．所以φ（x）的最大值．所以恒成立．所以存在，符合题意．…（16分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．19.已知数列的前项和为，且满足，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.参考答案：20.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数有最小值，求的值域.参考答案：(1)见解析；(2)【分析】（1）先求出，分和两种情形，利用导数的符号判断函数的单调性即可.（2）求出并将其化简为，构建新函数，利用（1）的单调性及零点存在定理可得有唯一的，它就是函数最小值点，利用导数可求该最小值的值域.【详解】解：（1）定义域为，f′(x).令，①，1)当时，，，即且不恒为零，故单调递增区间为，，2)当时，，方程①两根为，，由于，.故，因此当时，，单调递增，，，单调递减，，，单调递减，，，单调递增，综上，当时，在单调递增，单调递增，当时，在单调递增，，单调递减；在单调递增.（2），设，由（1）知，时，在单调递增，由于，，故在存在唯一，使，，又当，，即，单调递减，，，即，单调递增，故时，，.又设，，，故单调递增，故，即，即.【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．（2）求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，有时导数的零点不易求，则需要虚设零点，利用零点满足的方程化简函数的极值（或最值）．21.设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．故f（x）在x=取得最大值，且．（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，c==g（x），则=．令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．∴c．②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），则=＞0，故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．综上①②可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若an≠a1时，数列{bn}满足bn=2，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由等差数列前n项和公式、通项公式及