浙江省宁波市姜山镇中学2021年高三数学文测试题含解析

浙江省宁波市姜山镇中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

函数f(x)=(0<a<b)的图象关于（

）对称A.x轴

B.原点

C.y轴

D.直线y=x参考答案：答案:B2.函数f（x）=的图象大致是（）参考答案：A3.是两个定点，点为平面内的动点，且（且），点的轨迹围成的平面区域的面积为，设（且）则以下判断正确的是（

）A．在上是增函数，在上是减函数B．在上是减函数，在上是减函数C．在上是增函数，在上是增函数D．在上是减函数，在上是增函数参考答案：A略4.已知，，，那么A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.函数y=的定义域为

（

）

A．（，1）

B．（，+∞）

C．（1，+∞）

D．（，1）∪（1，+∞）参考答案：A略6.已知x、y∈R*满足x2+y2=1，则+的最小值为A．

B．

C．

D．2参考答案：D7.函数f(x)在(－∞，+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是（）A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3]参考答案：D因为为奇函数，所以，

于是等价于|

又在单调递减

故选D

8.双曲线E：（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为a，则E的离心率是（）A． B． C．2 D．3参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线ay﹣bx=0的距离为b，结合题意可得b=，由双曲线的几何性质可得c==2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线E：﹣=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，设F（c，0），F到渐近线ay﹣bx=0的距离d===b，又由双曲线E：﹣=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则b=，c==2a，故双曲线的离心率e==2；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b”．9.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若．则角C等于A． B． C． D．参考答案：A10.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则A．2 B．4

C．6

D．8参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列{an}的前项的和为Sn，若，则

_．参考答案：612.已知，则

.参考答案：-4略13.已知，则的最小值是

参考答案：由已知，∴∴当且仅当时，取最小值14.如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ACD与△BCD是全等的等腰三角形，且平面ACD⊥平面BCD，AB=2CD=4，则该三棱锥的外接球的表面积为

．参考答案：考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解表面积．解答： 解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，EF=2，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面积为．故答案为：．点评：本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题．15.（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为5，直线mx﹣y+m=0过该平面区域，则m的最大值是．参考答案：【考点】：简单线性规划．【专题】：作图题．【分析】：本题需要在平面直角坐标系中作出不等式组对应的区域，由面积为5可求得a=2，又知直线mx﹣y+m=0过定点（﹣1，0），斜率为m，结合图象可知，过点A时m取最大值，代入可求值．解：不等式组表示的平面区域如图所示，其中A（a，2a），B（a，﹣），∴△ABC的面积为，解得，a=2，故A（2，4），B（2，﹣1）．又直线mx﹣y+m=0可化为y=m（x+1），可知直线过定点（﹣1，0），斜率为m结合图象可知该直线过点A（2，4）时，m取最大值，把点A的坐标代入直线可得，m=，故答案为：【点评】：本题为线性规划问题，关键是作出可行域，还要得出已知直线的过定点的特点，斜率为m，代值即可求解，属中档题．16.在平面直角坐标系中，二元方程的曲线为C．若存在一个定点A和一个定角，使得曲线C上的任意一点以A为中心顺时针（或逆时针）旋转角，所得到的图形与原曲线重合，则称曲线C为旋转对称曲线．给出以下方程及其对应的曲线，其中是旋转对称曲线的是

▲

（填上你认为正确的曲线）．

参考答案：17.（5分）设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为．参考答案：f（2n）≥（n∈N*）【考点】：归纳推理．【专题】：探究型．【分析】：根据已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．解：观察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．【点评】：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线：ρ(2cosθ-sinθ)=6.（Ⅰ）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.（Ⅱ）在曲线C2上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值．参考答案：（Ⅰ）由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0.∵C2：=1∴C2：的参数方程为：（θ为参数）…5分（Ⅱ）设P（cosθ，2sinθ），则点P到的距离为：19.如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，，平面，与平面成角.

（Ⅰ）若，为垂足，求证：（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

参考答案：20.（本小题满分12分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图１是乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；

（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取１件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．

甲流水线

乙流水线

合计合格品

不合格品

合计

附：下面的临界值表供参考：

0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(参考公式：，其中)参考答案：解：（１）甲流水线样本的频率分布直方图如下：

………4分

（２）由表１知甲样本中合格品数为，由图１知乙样本中合格品数为，故甲样本合格品的频率为乙样本合格品的频率为，据此可估计从甲流水线任取１件产品，该产品恰好是合格品的概率为从乙流水线任取１件产品，该产品恰好是合格品的概率为.

………6分

甲流水线

乙流水线

合计合格品303666不合格品10414合计404080（３）列联表如下：

…………10分∵＝∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．

……12分略21.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为，曲线C2的参数方程为（为参数），曲线C3的方程为，（），曲线C3与曲线C1，C2分别交于P，Q两点．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）因为，，所以曲线的极坐标方程为，即由（为参数），消去，即得曲线直角坐标方程为将，，代入化简，可得曲线的极坐标方程为（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，由（1）得，即因为，所以，所以

22.已知抛物线与椭圆有公共焦点F，且椭圆过点D.(1)求椭圆方程；(2)点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程；(3)过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由。参考答案：(1)，则c=2,

又，得

∴所求椭圆方程为

………………