上海市南汇区下沙中学2022年高三数学文模拟试题含解析

上海市南汇区下沙中学2022年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有A．12种

B．24种

C．36种

D．48种参考答案：B2.在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为，则等于(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上，所以依题有,则，所以，故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.3.阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．45 B．35 C．21 D．15参考答案：D【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】根据所给s、i的值先执行T=2i﹣1，s=s×T，i=i+1，然后判断i与4的关系，满足条件算法结束，不满足条件继续执行循环体，从而到结论．【解答】解：因为s=1，i=1，执行T=2×1﹣1=1，s=1×1=1，i=1+1=2；判断2＜4，执行T=2×2﹣1=3，s=1×3=3，i=2+1=3；判断3＜4，执行T=2×3﹣1=5，s=3×5=15，i=3+1=4；此时4≥4，满足条件，输出s的值为15．故选D．【点评】本题考查了循环结构中的直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件进入循环，满足条件算法结束．4.复数（1+i）2的虚部是A．0

B．2 C．一2 D．2i参考答案：B5.

已知，且，那么（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知圆的焦点，则|CF|等于（

）

A．6

B．4

C．2

D．0参考答案：C7.若随机变量的分布列为：，若，则的最小值等于A．0

B．2

C．4

D．无法计算参考答案：A8.已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集是(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：一元二次不等式的解法．分析：已知分段函数f（x）求不等式f（x）≥x2的解集，要分类讨论：①当x≤0时；②当x＞0时，分别代入不等式f（x）≥x2，从而求出其解集．解答： 解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；

②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选A．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，在解答的过程中运用的分类讨论的思想，是一道比较基础的题目．9.已知数列满足，则数列的前10项和为A.

B.

C.

D.参考答案：A10.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意可得5＞n≥4，即可得解输入n的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=3，k=0，s=0，a=4s=4，k=1不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=16，k=2不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=52，k=3不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=160，k=4不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=484，k=5由题意，此时应该满足条件k＞n，退出循环，输出s的值为484，可得：5＞n≥4，所以输入n的值为4．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线对称③y=f（x）的最大值是；

④f（x）即是奇函数，又是周期函数．参考答案：①②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据中心对称的定义，验证f（2π﹣x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；②根据轴对称的条件，验证f（π﹣x）=f（x）成立与否即可判断其正误；③可将函数解析式换为f（x）=2sinx﹣2sin3x，再换元为y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；④利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．【解答】解：①∵f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，∴①正确；②∵f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的图象关于x=对称，故②正确；③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=g（t）=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2，令y′＞0解得，故y=2t﹣2t3，在[]上递增，在[﹣1，]和[]上递减，又g（﹣1）=0，g（）=，故函数的最大值为，∴③错误；④∵f（﹣x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，∴函数即是奇函数，又是周期函数，∴④正确．综上知，说法中正确的是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查与函数有关的性质的判断，要求熟练掌握中心对称，轴对称性成立的条件，利用导数求函数在闭区间上的最值，函数奇偶性与周期性的判定，涉及到的知识较多，综合性强．12.将长度为的线段分成段，每段长度均为正整数，并要求这段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当时，只可以分为长度分别为1,1,2的三段，此时的最大值为3；当时，可以分为长度分别为1,2,4的三段或长度分别为1,1,2,3的四段，此时的最大值为4．则：

（1）当时，的最大值为________；

（2）当时，的最大值为________．参考答案：（1）；（2）（注：第一问2分，第二问3分）13.过点P(,3)的直线，交圆于A、B两点，Q为圆上任意一点，且Q到AB的最大距离为，则直线l的方程为

。参考答案：或

14.在平面直角坐标系内，由曲线，和x轴正半轴所围成的封闭图形的面积为____.参考答案：【分析】首先计算曲线，的交点为，过作轴于，将面积分为两部分，分别求面积相加得到答案.【详解】易知曲线，交点为过作轴于，将面积分为两部分则面积故答案为【点睛】本题考查了定积分的两种计算方式：公式法和几何法，意在考查学生的计算能力.15.如图，在△ABC中，，，，点为的中点，以为直径的半圆与，分别相交于点，，则____；____.参考答案：

16.函数单调递减区间为

▲

参考答案：略17.如图，正方体，则下列四个命题：①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；②在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；③在直线上运动时，二面角的大小不变；④是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线其中真命题的编号是

（写出所有真命题的编号）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．（Ⅰ）当平面平面时，求；（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．

参考答案：解：（Ⅰ）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以．

当平面平面时，因为平面平面，

所以平面，

可知由已知可得，

在中，．（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．证明：（ⅰ）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即．（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．又因，所以．又为相交直线，所以平面，由平面，得．综上所述，总有。略19.（1）.设函数，解不等式；（2）.已知，，，证明：.参考答案：（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用分类讨论去掉绝对值，求解不等式；（2）利用柯西不等式证明.【详解】（1）当时，无解；当时，，解得；当时，，得；综上可得；（2）因为由柯西不等式得，所以，所以，当且仅当时，等号成立；所以.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法和证明不等式，含有绝对值不等式常用零点分段讨论的方法进行.20.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图：图①的过水断面为等腰过水湿周．图②的过水断面为等腰梯形过水湿周．若△与梯形的面积都为.图①图②（1）分别求和的最小值；（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．参考答案：【知识点】函数最值的应用；根据实际问题选择函数类型.

B3

B10【答案解析】（1）的最小值为，的最小值为；（2）在方案②中当取得最小值时的设计为最佳方案.

解析：（1）在图①中，设∠，AB＝BC＝a．则，由于S、a、皆为正值，可解得．当且仅当，即＝90°时取等号．所以，的最小值为．在图②中，设AB＝CD＝m，BC＝n，由∠BAD＝60°可求得AD＝m＋n，，解得．，的最小值为．当且仅当，即时取等号．（2）由于，则的最小值小于的最小值．所以在方案②中当取得最小值时的设计为最佳方案.【思路点拨】（1）图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，设角ABC，表示出和s，图②的过水断面为等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠BAD=60°，过水湿周l2=AB+BC+CD，表示出l2和s，根据l1、l2的表达式求最值；（2）根据水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大，由（1）比较l1、l2的最小值的大小，小的其流量大．21.已知椭圆的两个焦点是，，点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）设点关于轴的对称点为，是椭圆上不与P、Q重合的任意一点，为原点．若直线和与轴分别相交于点、，证明：为定值．参考答案：（1）由椭圆的定义，得，．……2分

将点的坐标代入，得，解得．…4分

所以，椭圆的方程是．

…………………5分

（2）依题意，得．设，

则有，，．…………………6分

直线的方程为，……………7分

令，得，所以．

………………8分

直线的方程为，………………9分

令，得，所以．…10分

所以

所以为定值．

………………12分

22.（本小题12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB30