导纳矩阵的修改课件

电力系统分析基础

PowerSystemAnalysisBasis

（四）主讲人：栗然1电力系统分析基础

PowerSystemAnalysis第四章复杂电力系统潮流的计算机算法

基本要求：本章着重介绍运用电子计算机计算电力系统潮流分布的方法。它是复杂电力系统稳态和暂态运行的基础。运用计算机计算的步骤，一般包括建立数学模型，确定解算方法，制定框图和编制程序，本章着重前两步。2第四章复杂电力系统潮流的计算机算法基本要第四章复杂电力系统潮流的计算机算法

2.功率方程、节点分类及约束条件1.建立数学模型：节点电压方程、导纳矩阵的形成与修改

3.迭代法计算潮流功率方程的非线性性质高斯—塞德尔法用于潮流计算———速度慢、易于收敛

4.牛顿—拉夫逊法计算潮流原理：局部线性化用于潮流计算———速度快、但注意初值选择直角座标法、极座标法、PQ分解法3第四章复杂电力系统潮流的计算机算法2.功率方程、节§4.1电力网络方程电力网络方程指将网络的有关参数和变量及其相互关系归纳起来组成的，反映网络特性的数学方程式组。如节点电压方程、回路电流方程，割集电压方程。相应有：（1）节点导纳矩阵（2）节点阻抗矩阵（3）回路阻抗矩阵4§4.1电力网络方程电力网络方程指将网络的有关参数和变量及网络元件：恒定参数发电机：电压源或电流源负荷：恒定阻抗～电力网代数方程一、节点电压方程5网络元件：恒定参数～电力网代数方程一、节点电压方程5一、节点电压方程注意：零电位是不编号的负荷用阻抗表示以母线电压作为待求量12E23E1电力系统等值网络～～132电力系统结线图6一、节点电压方程注意：负荷用阻抗表示以母线电压作为待求量12电压源变为电流源以零电位作为参考，根据基尔霍夫电流定律一、节点电压方程I2y1212I13y10y13y23y20y307电压源变为电流源以零电位作为参考，根据基尔霍夫电流定律一、节一、节点电压方程8一、节点电压方程8其中一、节点电压方程互导纳自导纳9其中一、节点电压方程互导纳自导纳9n个独立节点的网络，n

个节点方程一、节点电压方程10n个独立节点的网络，n个节点方程一、节点电压方程10n个独立节点的网络，n

个节点方程一、节点电压方程11n个独立节点的网络，n个节点方程一、节点电压方程11n个独立节点的网络，n

个节点方程Y节点导纳矩阵Yii

节点i的自导纳Yij

节点i、j间的互导纳一、节点电压方程12n个独立节点的网络，n个节点方程Y节点导纳Y矩阵元素的物理意义：二、节点导纳矩阵节点i:加单位电压其余节点j:全部接地节点i注入网络电流Yii≠0自导纳13Y矩阵元素的物理意义：二、节点导纳矩阵节点i:加单位电Y矩阵元素的物理意义

互导纳节点i:加单位电压其余节点j:全部接地由地流向节点j的电流稀疏性：当yij=0时Yij=0二、节点导纳矩阵14Y矩阵元素的物理意义互导纳节点i:加单位电压其余12y123－y10y13y23y20＋y30节点导纳矩阵中自导纳的确定二、节点导纳矩阵1512y123－y10y13y23y20＋y30节点导纳矩阵中节点导纳矩阵中互导纳的确定12y123－y10y13y23y20＋y30二、节点导纳矩阵16节点导纳矩阵中互导纳的确定12y123－y10y13y23y节点导纳矩阵Y的特点直观易得稀疏矩阵对称矩阵阶数：等于除参考节点外的节点数n对角元：等于该节点所连导纳的总和非对角元Yij：等于连接节点i、j支路导纳的负值二、节点导纳矩阵17节点导纳矩阵Y的特点直观易得阶数：等于除参考节点外的节点数三、节点导纳矩阵的修改不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行状况、变压器的投切或变比的调整等）

改变一个支路的参数或它的投切只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因此仅需对原有的矩阵作某些修改。18三、节点导纳矩阵的修改不同的运行状态，（如不同结线方式下的运Y矩阵的修改电力网不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行状况、变压器的投切或变比的调整等）三、节点导纳矩阵的修改19Y矩阵的修改电力网不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行Y矩阵的修改电力网三、节点导纳矩阵的修改20Y矩阵的修改电力网三、节点导纳矩阵的修改20电力网yikikY增加一行一列（n＋1）×（n＋1）（1）从原网络引出一条支路增加一个节点Y矩阵的修改三、节点导纳矩阵的修改21电力网yikikY增加一行一列（n＋1）×（n＋1）（1）Y阶次不变电力网yijijY矩阵的修改（2）在原有网络节点i、j之间增加一条支路三、节点导纳矩阵的修改22Y阶次不变电力网yijijY矩阵的修改（2）在原有网络节Y阶次不变yij电力网ij（3）在原有网络的节点i、j之间切除一条支路Y矩阵的修改三、节点导纳矩阵的修改23Y阶次不变yij电力网ij（3）在原有网络的节点i、j之间Y矩阵的修改电力网ij-yijy'ij（4）在原有网络的节点i、j之间的导纳由yij改变为y'ij三、节点导纳矩阵的修改24Y矩阵的修改电力网ij-yijy'ij（4）在原有网络的节Y矩阵的修改（5）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由k*改变为k*'ZⅠZⅡijk*:1ZTZⅠZⅡijyT/k*三、节点导纳矩阵的修改25Y矩阵的修改（5）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由Y矩阵的修改（5）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由k*改变为k*'三、节点导纳矩阵的修改26Y矩阵的修改（5）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由4－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程GG12等值电源功率等值负荷功率（a）简单系统274－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类14－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程GG12y10y20y12（b）简单系统的等值网络284－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类1一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程12y10y20y12——（c）注入功率和注入电流4－2功率方程及其迭代解法29一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程12y10y20y一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程4－2功率方程及其迭代解法.UY=I.30一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程4－2功率方程及一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程4－2功率方程及其迭代解法31一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程4－2功率方程及一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类4－2功率方程及其迭代解法一个电力系统有n个节点，每个节点可能有4个变量Pi,Qi,ei,fi或Pi,Qi,Ui,

i,而上述功率方程只有2n个，所以需要事先给定2n个变量的值。根据各个节点的已知量的不同，将节点分成三类：PQ节点、PV节点、平衡节点。32一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类4－2功率方程一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类4－2功率方程及其迭代解法(1)、PQ节点(LoadBuses)已知Pi,Qi，求,ei,fi（Ui,

i,），负荷节点（或发固定功率的发电机节点），数量最多。(2)、PV节点(VoltageControlBuses)已知Pi,Ui，求,Qi,

i,，对电压有严格要求的节点，如电压中枢点.(3)、平衡节点（SlackBusorVoltageReferencebus）

已知Ui，i,，求,Pi,Qi,，只设一个。33一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类4－2功率方程一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类设置平衡节点的目的4－2功率方程及其迭代解法在结果未出来之前，网损是未知的，至少需要一个节点的功率不能给定，用来平衡全网功率。电压计算需要参考节点。34一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类设置平衡节点的目一、功率方程和变量、节点的分类3、约束条件4－2功率方程及其迭代解法实际电力系统运行要求：电能质量约束条件：Uimin

UiUimax电压相角约束条件|

ij|=|

i-j|

ijmax,稳定运行的一个重要条件。有功、无功约束条件Pimin

PiPimax

Qimin

QiQimax35一、功率方程和变量、节点的分类3、约束条件4－2功率方程及二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法36二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）4－2二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法可改写为：37二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）4－2二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法38二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）4－2假设变量（x1,x2,….,xn）的一组初值（）将初值代入迭代格式,完成第一次迭代将第一次迭代的结果作为初值，代入迭代公式，进行第二次迭代检查是否满足收敛条件：

二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法求解过程：39假设变量（x1,x2,….,xn）的一组初值（迭代收敛条件：同一道题可能存在多种迭代格式，有的迭代格式收敛，有的迭代式不收敛。下面讨论收敛条件：当迭代格式为定理

如果则迭代格式对任意给定的初值都收敛。

4－2功率方程及其迭代解法40迭代收敛条件：同一道题可能存在多种迭代格式，有的迭代格式收敛[例]已知方程组

用高斯-塞德尔求解（ε<0.01）。解：（1）将方程组 改写成迭代公式：（2）设初值；代入上述迭代公式直到|x(k+1)-x(k)|<ε4－2功率方程及其迭代解法41[例]已知方程组4－2功率方程及其迭代解法41二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）若式中的aij对于Yij、xi对应Ui，yi对应4－2功率方程及其迭代解法42二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）若式中二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其余为PQ节点，则有：4－2功率方程及其迭代解法(1)43二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其余为PQ节点，则有：4－2功率方程及其迭代解法44二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其余为PQ节点，则有：计算步骤为：4－2功率方程及其迭代解法45二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）对各类节点的计算和处理由于节点的类型不同，已知条件和求解对象不同，约束条件不同，在计算过程中的处理不同。（1）PQ节点：按标准迭代式直接迭代；（2）PV节点：已知的式Pp和Up，求解的是Qp，δp；按标准迭代式算出Up

(k)，δp

(k)后，首先修正:然后修正4－2功率方程及其迭代解法(2)46二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）对各类二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）对各类节点的计算和处理检查无功是否越限，如越限，取限值,此时：PV→PQ4－2功率方程及其迭代解法(3)47二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）对各类例题：用G-S计算潮流分布解：网络的节点导纳距阵为：

~~1231.17-j4.71y135.88-j23.5j0.33y12y30平衡节点U1=1.0<0°PQ节点S2=-0.8-j0.6PU节点P3=0.4,U3=1.148例题：用G-S计算潮流分布解：网络的节点导纳距阵为：~~1设，代入式（1）求

49设，代修正U3为，再用式（2）计算：

然后开始第二次迭代：

50修正U3为，再用再修正U3为：

因此，第二次迭代结束时节点2的电压为节点3的电压相位角为δ3=2.940º,与之对应的节点3的无功功率为Q3=0.0596.再计算51再修正U3为：因此，第二次迭代结束时节点2的电压为再计算5三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）原理：按泰勒级数展开，并略去高次项4－2功率方程及其迭代解法52三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）原理：按泰勒级数三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）原理：4－2功率方程及其迭代解法53三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）原理：4－2功三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法初值不当不收敛54三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法55三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法56三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法57三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法58三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法59三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程及其迭代解法非线性代数方程的牛顿法迭代格式为：60三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）4－2功率方程三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）（1）将xi(0)代入，算出△f，J中各元素，代入上式方程组，解出△xi(0)；（2）修正xi(1)＝xi(0)＋△xi(0)，算出△f，J中各元素，代入上式方程组，解出△xi(1)；计算步骤：注意：xi的初值要选得接近其精确值，否则将不迭代。4－2功率方程及其迭代解法61三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）（1）将xi(04-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式节点电压用直角坐标表示：624-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式节4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式首先对网络中各节点作如下约定：（1）网络中共有n个节点，编号为1，2，3，…，n；（2）网络中（m－1）个PQ节点，一个平衡节点，编号为1，2，…，m，其中1≤s≤m为平衡节点；（3）n－m个PV节点，编号为m+1,m+2,…，n.634-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式首一、潮流计算时的修正方程式(m-1)个PQ节点＋(n-m)个PV节点，共n-1个(m-1)个PQ节点(n-m)个PV节点4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算(4-36a)(4-36b)(4-36c)64一、潮流计算时的修正方程式(m-1)个PQ节点＋(n-m)个一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程PQ节点PV节点2(n－m)2(m－1)2(n－m)2(m－1)(4-37)4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算65一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程PQ节点P一、潮流计算时的修正方程式相应的：(4-38)4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算66一、潮流计算时的修正方程式相应的：(4-38)4-3牛顿－拉一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算67一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程4-3牛顿一、潮流计算时的修正方程式非对角元素(i≠j)雅可比矩阵元素值4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算68一、潮流计算时的修正方程式非对角元素(i≠j)雅可比矩阵元素一、潮流计算时的修正方程式对角元素(i=j)雅可比矩阵元素值4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算69一、潮流计算时的修正方程式对角元素(i=j)雅可比矩阵元素值雅可比矩阵的特点：（1）雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数，在迭代过程中，各元素的值将随着节点电压相量的变化而变化。因此，在迭代过程中要不断重新计算雅可比矩阵各元素的值；（2）雅可比矩阵各非对角元素均与Yij＝Gij＋jBij有关，当Yij＝0，这些非对角元素也为0，将雅可比矩阵进行分块，每块矩阵元素均为2×2阶子阵，分块矩阵与节点导纳矩阵有相同的稀疏性结构；（3）非对称矩阵。70雅可比矩阵的特点：（1）雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函分块雅可比矩阵：71分块雅可比矩阵：71一、潮流计算时的修正方程式以极坐标表示:4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算72一、潮流计算时的修正方程式以极坐标表示:4-3牛顿－拉夫逊迭一、潮流计算时的修正方程式以极坐标表示的另一种修正方程式为PQ节点PV节点2(n－m)2(m－1)2(n－m)2(m－1)4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算(4-44)73一、潮流计算时的修正方程式以极坐标表示的另一种修正方程式为P一、潮流计算时的修正方程式以极坐标表示:4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算74一、潮流计算时的修正方程式以极坐标表示:4-3牛顿－拉夫逊迭用极坐标表示的修正方程式为一、潮流计算时的修正方程式4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算75用极坐标表示的修正方程式为一、潮流计算时的修正方程式4-3牛极坐标法系数推导展开式计及(4-47a)(4-47b)(4-48)一、潮流计算时的修正方程式76极坐标法系数推导展开式计及(4-47a)(4-47b)(4-极坐标法系数推导(4-49a)(4-49b)当i≠j，对特定的j，只有特定节点的δj，从而δij=δi-δj

是变量对特定的j，只有该特定节点的Uj是变量一、潮流计算时的修正方程式77极坐标法系数推导(4-49a)(4-49b)当i≠j，对特极坐标法系数推导(4-49c)(4-49d)当i=j，由于δi是变量，从而所有δij=δi-δj

都是变量，可得相似地，由于Ui是变量，可得78极坐标法系数推导(4-49c)(4-49d)当i=j，由于二、潮流计算基本步骤1.输入原始数据和信息：y、Pis、Qis、Uis、约束条件2.形成节点导纳矩阵YB3.设置各节点电压初值ei(0),fi(0)或Ui(0),δi(0)4.将初始值代入(4-38)或（4-45）求不平衡量Pi(0),Qi(0),Ui2(0)5.计算雅可比矩阵各元素（Hij、Lij、Nij、Jij、Rij、Sij）6.解修正方程(4-37)，求

ei（k），

fi（k)或（4-44）求

Ui(k),

δi(k)4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算79二、潮流计算基本步骤1.输入原始数据和信息：y、Pis、7.求节点电压新值ei(k+1)=ei(k)＋

ei(k),fi(k+1)=fi(k)＋

fi(k)或Ui(k+1)=Ui(k)＋

Ui(k),δi(k+1)=δi(k)＋

δi(k+1)8.判断是否收敛：Max|

fi(k)|≤ε,Max|

ei(k)|≤ε或Max|

Ui(k|≤ε,Max|

δi(k+1)|≤ε9.重复迭代第4、5、6、7步，直到满足第8步的条件10.求平衡节点的功率和PV节点的Qi及各支路的功率二、潮流计算基本步骤4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算807.求节点电压新值ei(k+1)=ei(k)＋ei(二、潮流计算基本步骤4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算81二、潮流计算基本步骤4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算81牛顿-拉夫逊法的缺点：牛顿-拉夫逊法的雅可比矩阵在每一次迭代过程中都有变化，需要重新形成和求解，这占据了计算的大部分时间，成为牛顿-拉夫逊法计算速度不能提高的主要原因。P-Q分解法利用了电力系统的一些特有的运行特性，对牛顿-拉夫逊法做了简化，以改进和提高计算速度。82牛顿-拉夫逊法的缺点：牛顿-拉夫逊法的雅可比矩阵在每一次一、潮流计算时的修正方程式(m-1)×(n-1)(m-1)×(m-1)(n-1)×(n-1)(n-1)×(m-1)4-4P－Q分解法潮流计算83一、潮流计算时的修正方程式(m-1)×(n-1)(m-1)×一、潮流计算时的修正方程式1、对修正方程式的第一步简化高压网络中，各元件的X>>R，δ→P，相应的J≈0；U→Q，N≈0。4-4P－Q分解法潮流计算84一、潮流计算时的修正方程式1、对修正方程式的一、潮流计算时的修正方程式2、对修正方程式的第二步简化高压网络中，各元件的X>>R，使Gij<<Bij，再加上系统稳定性的要求，即|δi－δj|<|δi－δj|max，

|δi－δj|max＝（10°～20