常微分方程教程

常微分方程教程第1页，课件共21页，创作于2023年2月例1求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.解:设所求的曲线方程为由导数的几何意义,应有即又由条件:曲线过(1,3),即于是得故所求的曲线方程为:第2页，课件共21页，创作于2023年2月例2物理冷却过程的数学模型

将某物体放置于空气中,在时刻时,测得它的温度为10分钟后测量得温度为

试决定此物体的温度

和时间

的关系,并计算20分钟后物体的温度.这里假设空气的温度保持在第3页，课件共21页，创作于2023年2月解:Newton冷却定律:1.热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;2.在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.

设物体在时刻

的温度为

根据导数的物理意义,则温度的变化速度为

由Newton冷却定律,得到

其中

为比例系数.此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.注意:此式子并不是直接给出

和

之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得

与

之间的关系式,以后再介绍.第4页，课件共21页，创作于2023年2月例4

数学摆

数学摆是系于一根长度为

的线上而质量为

的质点M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.

解:Newton第二定律:

取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角

的正方向.则由Newton第二定律,得到摆的运动方程为附注1:如果研究摆的微小振动,即当

比较小时,可以取的近似值

代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程:

第5页，课件共21页，创作于2023年2月附注2:假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动,如果阻力系数为

则摆的运动方程为:附注3:假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作用,则摆的运动方程为:第6页，课件共21页，创作于2023年2月事实上，很多问题的处理都归结为一个(或几个）带有微分的方程，如：传染病模型经济增长模型正规战与游击战药物在体内的分布与排除香烟过滤嘴的作用人口预测和控制烟雾的扩散与消失万有引力定律的发现第7页，课件共21页，创作于2023年2月

把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.

§1.2基本概念如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.

定义第8页，课件共21页，创作于2023年2月例如下面的方程都是微分方程一阶常微分方程一阶常微分方程二阶常微分方程四阶常微分方程二阶偏微分方程第9页，课件共21页，创作于2023年2月(6)式是n阶常微分方程的一般形式（n

阶隐式方程）。

n

阶显式方程的一般形式为

n阶常微分方程在方程(6)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：

第10页，课件共21页，创作于2023年2月通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下:定义在区间

上连续，且有直到n阶的代入方程(6)，得到在区间

则称为方程(6)在区间

上的一个解.导数.如果把

上关于

的恒等式,即设函数第11页，课件共21页，创作于2023年2月从定义可以直接验证：

1.函数是方程在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数.2.函数

是方程和是独立的在区间(-∞，+∞)上的解，其中任意常数.

第12页，课件共21页，创作于2023年2月3.函数是方程在区间(-∞，+∞)上的解，其中是任意的常数.从上面的例子中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等（也可以不含任意常数）.第13页，课件共21页，创作于2023年2月把n阶常微分方程定义的含有n个独立的任意常数的解称为该方程的通解，

如果方程的解不包含任意常数，则称它为特解.

由隐式表出的通解称为通积分

第14页，课件共21页，创作于2023年2月例如函数是方程在区间(-∞，+∞)上的通解，其中是任意的常数.而

y=1而是方程的一个特解。

第15页，课件共21页，创作于2023年2月例自由落体

设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度

垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.解:如图建立坐标系.设y=y(t)为t时刻物体的位置坐标.则易得物体下落所满足的方程为y’’=-g（*）其中g是重力加速度.初值问题第16页，课件共21页，创作于2023年2月这表明方程(*)有无数个解，原因是未考虑初始状态。为了确定相应的运动，考虑初始条件：于是，得到所要求的自由落体的运动方程为得是通解，其中是两个任意常数。容易验证第17页，课件共21页，创作于2023年2月综上所述，自由落体的问题可归结为求如下初值问题（柯西问题（cauchy)）的解：对于一般的n阶方程，初值问题（柯西问题）的一般提法是：

第18页，课件共21页，创作于2023年2月例求方程

的满足初值条件的解.解:方程通解为求导数后得将初值条件代入，得到方程组

第19页，课件共21页，创作于2023年2月解出

故所求特解为第20页，课件共21