《高等代数选讲》课程教学大纲

PAGEPAGE6高等代数选讲课程教学大纲(SomeTopicsonHigherAlgebra)学时数：32学分数：2适用专业：数学与应用数学一、课程的性质、目的和任务《高等代数选讲》是数学与应用数学专业的一门专业课，是《高等代数》课程的继续和深入，强调学生对课程内容的背景及技巧的较为深刻的理解。通过本课程的学习，使学生对高等代数的内容有较全面整体的、深刻的理解，掌握较为熟练的高等代数的解题技巧和能力。二、课程教学的基本要求（一）多项式1、运用多项式的次数关系解题。2、多项式的整除性质的熟练运用。3、最大公因式以及多项式互素性质的灵活运用。4、灵活掌握标准分解式在最大公因式、最小公倍数等证明题中应用的方法。5、一般整系数多项式不可约的判定。6、多元多项式的性质。7、对称多项式和基本多项式的性质。行列式1、熟练掌握一般n级行列式的计算。2、与行列式计算有关的证明技巧。（三）线性方程组1、向量组相关性质的熟练掌握和运用。2、理解线性方程组解的结构及相关性质。矩阵1、矩阵的秩的性质及相关技巧。2、掌握初等矩阵、初等变换的理论与方法。二次型1、矩阵的合同性质及与相应二次型的关系。2、掌握二次型的标准形、规范形的有关性质和转化方法。3、正定二次型的相关性质和判别方法。线性空间1、理解线性空间的背景、性质和解题技巧。2．线性子空间的直和的相关性质。线性变换1、性变换的相关性质和解题技巧。2、征值、特征向量的相关性质。3、性变换的值域及核的性质与解题技巧。4、变子空间的相关性质和解题技巧。5、小多项式的相关性质。λ-矩阵λ-矩阵的标准形及求法。不变因子和初等因子的相关性质。欧氏空间1、准正交基的性质和作用。2、交变换与正交矩阵的相关性质及解题技巧。3、练掌握子空间的正交关系。4、称矩阵的标准型的转化技巧。5、握最小二乘法。6、空间的相关性质。双线性函数理解双线性函数及相关概念的背景性质。理解二次型、欧氏空间和酉空间在双线性函数之中的统一性。三、课程的教学内容、重点和难点第一章多项式一、多项式次数处理的技巧二、整除性三、最大公因式，互素四、标准分解式五、有理数域上多项式的可约性六、多元多项式和对称多项式多元多项式的相关性质。基本对称多项式表出对称多项式。重点：技巧的运用和思路的理解难点：整除性质的灵活运用，最大公因式有关的技巧，基本对称多项式表出对称多项式行列式一、n级行列式的计算技巧二、行列式计算有关的证明技巧重点：行列式转换的技术掌握难点：行列式的计算技巧，归纳证明技巧线性方程组一、向量组相关性质的熟练掌握二、线性方程组解的结构重点：向量的线性相关性难点：向量组的线性相关性，极大无关组，向量组的等价，线性方程组解的结构矩阵一、矩阵的秩的相关性质二、初等矩阵与初等变换三、分块矩阵重点：矩阵整体性质的理解难点：与矩阵的秩有关的问题，灵活运用矩阵的分块二次型一、二次型的矩阵表示二、标准形三、正定二次型重点：二次型与矩阵的关系难点：标准形和规范形的转化，正定、半正定二次型的判定方法线性空间一、与线性空间有关的解题技巧。与线性空间有关的概念和性质的综合理解及运用。二、线性子空间线性子空间的相关性质的理解，线性子空间直和的背景。重点：线性空间的整体把握难点：向量组的线性相关性，基的求法，子空间的直和线性变换一、线性变换的概念和性质。二、特征值特征向量三、线性变换的值域及核四、不变子空间五、最小多项式的相关性质和问题。重点：线性变换的宏观理解难点：在解决问题中线性变换与矩阵的转换，线性变换的值域及核λ-矩阵一、λ-矩阵的标准形二、不变因子、初等因子的性质和相互关系。重点：初等因子、不变因子难点：λ-矩阵的标准形的求法欧氏空间一、标准正交基的性质及综合运用。二、正交变换与正交矩阵的相关性质及解题技巧。三、欧氏空间的子空间的正交关系的掌握。四、对称矩阵的标准形的转化技巧。五、解最小二乘法问题。六、酉空间的背景重点：欧氏空间的整体把握难点：正交变换，正交基和正交化方法，对称矩阵的标准形双线性函数双线性函数及有关概念的背景。理解二次型、欧氏空间和酉空间在双线性函数之中的统一性。重点：代数学中不同层次概念的建立难点：双线性函数及其度量矩阵四、课程各教学环节要求本课程以课堂讲解和课堂讨论为主。结合较多的问题实例，使学生对《高等代数》内容的总体理解和解题技巧上有较大的提高。考试采取开卷和大作业的形式，主要考核学生对本课程的知识内容的理解深度和解决问题技巧的熟练程度。五、学时分配教学内容各教学环节学时分配作业题量备注章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计一多项式 2248二行列式21310三线性方程组2246四矩阵2246五二次型1125六线性空间2248七线性变换2248八λ-矩阵1124九欧氏空间2136十双线性函数1124合计17153265六、课程与其它课程的联系《高等代数选讲》是《高等代数》课程的继续和深入，是《高等代数》的后续课程。七、教材与教学参考书（一）教材：北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编．《高等代数》（第三版）．北京：高等教育出版社．2003（二）教学参考书：[1]王萼芳编著．《高等代数教程习题集》．