《常微分方程》课程教学大纲

常微分方程课程教学大纲（OrdinaryDifferentialEquation）学时数：48其中：实验学时：0课外学时：0学分数：3适用专业：数学与应用数学(师范、非师范方向)信息与计算科学一、课程的性质、目的和任务常微分方程是高等学校数学与应用数学专业的一门学科基础课。本课程主要学习各种基本类型常微分方程解的性质，解法及其某些应用。通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的分析问题和解决问题的能力，为学习本课程的近代内容和后继课程打下基础；同时通过本课程的学习，巩固和深化数学分析，高等代数，解析几何和普通物理等已学过的知识和应用，了解常微分方程在工程技术、现代科学与中学教学的某些问题的应用。二、课程教学的基本要求（一）常微分方程基本概念和一阶微分方程的初等解法1、深刻理解常微分方程的基本概念；2、熟练掌握一阶方程的初等积分法和可解方程的类型及解法。（二）一阶微分方程解的存在唯一性定理1、理解一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理；

2、会用逐步逼近法求初值问题的近似解及误差估计。（三）高阶微分方程1、理解高阶微分方程（齐次和非齐次）解的性质和解的结构；2、会用常数变易法求非齐次方程的解；

3、熟练掌握常系数线性方程的求解方法；4、掌握可降阶高阶方程类型及其解法。（四）线性微分方程组1、理解方程组的有关概念及解的存在唯一性定理；

2、理解一阶线性方程组的解的结构并会用常数变易法求非齐次方程组的解；3、熟练掌握常系数线性方程组的求解方法。三、课程的教学内容、重点和难点第一章绪论一、微分方程：某些物理过程的数学模型二、基本概念第二章一阶微分方程的初等解法一、变量分离方程与变量变换（一）变量分离方程（二）可化为变量分离方程的类型（三）应用举例二、线性方程与常数变易法三、恰当方程与积分因子四、一阶隐方程与参数表示（一）可以解出（或）的方程（二）不显含（或）的方程重点：几类一阶微分方程基本解法；难点：积分因子法和一阶隐方程的参数形式的解法。第三章一阶微分方程的解的存在定理一、解的存在唯一性定理与逐步逼近法（一）存在唯一性定理（二）近似计算和误差估计二、解的延拓三、解对初值的连续性和可微性定理四、奇解（一）包络和奇解（二）克莱罗方程重点：存在唯一性定理的内容和picard逐步逼近法；难点：定理的证明。第四章高阶微分方程一、线性微分方程的一般理论（一）齐线性方程的解的性质与结构（二）非齐线性方程与常数变易法二、常系数线性方程的解法（一）复值函数与复值解（二）常系数齐线性方程和欧拉方程（三）非齐线性方程比较系数法与拉普拉斯变换三、高阶方程的降阶和幂级数解法（一）可降阶的一些方程类型（二）二阶线性方程的幂级数解法（三）第二宇宙速度计算重点：常系数线性齐次与非齐次高阶方程解的结构及具体解法难点：基本解组及其求法第五章线性微分方程组一、存在唯一性定理（一）记号和定义（二）存在唯一性定理二、线性微分方程组的一般理论（一）齐线性微分方程组（二）非齐线性微分方程组三、常系数线性微分方程组（一）矩阵指数的定义和性质（二）基解矩阵的计算公式（三）拉普拉斯变换的应用重点：线性方程组解的结构及其解法难点：线性无关特征向量组的求法四、课程各教学环节要求（一）课堂讲授本课程以课堂教学为主，其中新内容讲授40课时。课堂教学中应注意深入浅出，揭示概念的发生、发展过程，充分体现以教师为主导、学生为主体的教学思想，充分暴露教师、学生的思维过程，精讲多练。以培养学生的数学思想和数学思维方法，进而培养学生的创新能力。（二）习题课习题课共8课时。习题课应充分引导学生进行归纳、总结，以提高学生的组织、创造能力。（三）考试形式本课程的考试形式以闭卷考试为主。考察学生对基本概念、基本方法、基本技巧的掌握。五、学时分配教学内容各教学环节学时分配作业题量备注章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计一绪论224二一阶微分方程的初等解法1021220三一阶微分方程的解的存在定理81910四高阶微分方程1021220五线性微分方程组1031322合计4084876六、课程与其它课程的联系要学好常微分方程这门课程，首先要学好前期的基础课程：数学分析，高等代数，解析几何及普通物理等，同时通过常微分方程这门课程的学习，巩固和深化上述课程的知识内容和应用，并且为后续课程：数学模型，偏微分方程等的学习打下扎实的基础。七、教材与教学参考书（一）教材王高雄等.常微分方程（第二版）.北京：高等教育出版社，2002。（二）教学参考书[1]东北师范大