江苏省淮安市重点中学2023年数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从人中抽取人参加某种测试，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为()A． B． C． D．2．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表男女总计好402060不好203050总计6050110由得，.根据表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列结论，正确的是（）A．有以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B．有以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”3．已知命题，则命题的否定为（）A． B．C． D．4．已知复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知是两个非空集合，定义集合，则结果是()A． B． C． D．6．设集合，则下列结论正确的是()A． B． C． D．7．在的展开式中，记项的系数为，则（）A． B． C． D．8．若定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则（）.A．函数有1个极大值，2个极小值B．函数有2个极大值，3个极小值C．函数有3个极大值，2个极小值D．函数有4个极大值，3个极小值9．已知角的终边经过点，则的值等于（）A． B． C． D．10．在同一直角坐标系中，曲线y=sin(x+πA．y=13C．y=3sin(2x+11．定积分的值为()A． B． C． D．12．复数的虚部为（）A． B． C．1 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆（为参数）的焦距为________.14．如图所示，正方体的棱长为1，,为线段,上的动点，过点,,的平面截该正方体的截面记为,则下列命题正确的是________.①当且时,为等腰梯形;②当,分别为,的中点时，几何体的体积为;③当为中点且时，与的交点为,满足;④当且时,的面积.15．已知直线与直线互相垂直，则__________．16．已知二项式展开式的第项与第项之和为零，那么等于____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，．（1）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）记表示中的最小值，若函数在内恰有一个零点，求实的取值范围．18．（12分）在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等腰直角三角形，，点为棱的中点．（1）求证：面面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：①在内是单调函数：②当定义域为时，的值域为，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值函数”.（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；（2）若函数（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围；（3）对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）如图所示的几何，底为菱形，，.平面底面，，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）已知函数.(1)当时,讨论的单调性；(2)设，当时,若对任意,存在使,求实数取值.22．（10分）已知一个口袋中有个红球和个白球（，，），这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个摸出（不放回），直到红球全部被摸出为止．（1）当，时，试求“摸球次数为5”的概率；（2）随机变量表示摸球次数，是的数学期望．写出的概率分布列，并求．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】，由题意可得抽到的号码构成以为首项，以为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为，落入区间的人做问卷，由，即，解得，再由为正整数可得，做问卷的人数为，故选B.2、C【解析】

根据独立性检验的基本思想判断得解.【详解】因为，根据表可知；选C.【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.3、A【解析】

根据全称命题的否定为特称命题，即可直接得出结果.【详解】因为命题，所以命题的否定为：故选A【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.4、C【解析】分析：详解：复数，-1-i,对应的点为（-1，-1）是第四象限点.故答案为：C.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.5、C【解析】

根据定义集合分析元素特征即可得解.【详解】因为表示元素在中但不属于，那么表示元素在中且在中即，故选C.【点睛】本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题,6、B【解析】分析：先根据解分式不等式得集合N，再根据数轴判断集合M,N之间包含关系，以及根据交集定义求交集.详解：因为，所以,因此，，选B.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．7、C【解析】

根据题意，表示出展开式的项对应次数，由二项式定理展开式的性质即可求得各项对应的系数，即可求解.【详解】由题意记项的系数为，可知对应的项为；对应的项为；对应的项为；对应的项为；而展开式中项的系数为；对应的项的系数为；对应的项的系数为;对应的项的系数为;所以，故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理展开式及性质的简单应用，属于基础题.8、B【解析】

利用函数取得极大值的充分条件即可得出．【详解】解：只有一个极大值点．当时，，当时，．当时，，时，，时，，且，，，，，函数在，处取得极大值．，，处取得极小值．故选：B．【点睛】本题考查极值点与导数的关系，熟练掌握函数取得极大值的充分条件是解题的关键，属于基础题．9、A【解析】

由三角函数的定义可求出的值.【详解】由三角函数的定义可得，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.10、C【解析】

由x'=12x【详解】由伸缩变换得x=2x',y=13即y'=3sin(2x'+【点睛】本题考查伸缩变换后曲线方程的求解，理解伸缩变换公式，准确代入是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。11、C【解析】

根据微积分基本定理，可知求解，即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查微积分基本定理，属于较易题.12、A【解析】

由复数除法化复数为代数形式，根据复数概念可得．【详解】因为，所以复数的虚部为，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念．属于简单题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，据此可得a、b的值，计算可得c的值，由椭圆的几何性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，椭圆的参数方程为（θ为参数），则其标准方程为y1＝1，其中a，b＝1，则c1，则椭圆的焦距1c＝1；故答案为：1．【点睛】本题考查椭圆的参数方程，椭圆简单的几何性质，关键是将椭圆的参数方程变形为普通方程．14、①②【解析】

将①③④三个命题逐一画出图像进行分析,即可判断出真命题,从而得到正确的序号；②利用空间向量求点面距，进而得体积.【详解】①:作图如下所示,过作,交于,截面为即即截面为等腰梯形.故①正确.②:以为原点,、、分别为、、轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,设平面的法向量为,则不妨设,则法向量.则点到平面的距离.故②正确.③:延长交的延长线于一点,连接交于点.故③错误④:延长交的延长线于,连接交于,则截面为四边形根据面积比等于相似比的平方得.在中,,边上的高为故④错误故答案为:①②.【点睛】本题考查了正方体截面有关命题真假性的判断,考查椎体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力.对于求体积求高时,往往建立空间直角坐标系,采用法向量的思想进行求解思路比较明确.15、【解析】分析：由两条直线互相垂直，可知两条直线的斜率之积为-1，进而求得参数m的值。详解：斜率为直线斜率为两直线垂直，所以斜率之积为-1，即所以点睛：本题考查了两条直线垂直条件下斜率之间的关系，属于简单题。16、1【解析】

用项式定理展开式通项公式求得第4项和第5项，由其和为0求得．【详解】二项式展开式的第项为，第5项为，∴，解得．故答案为：1．【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用分离参数，并构造新的函数，利用导数判断的单调性，并求最值，可得结果.（2）利用对的分类讨论，可得，然后判断函数单调性以及根据零点存在性定理，可得结果.【详解】（1）由，得，令，当时，，，；当时，，，，∴函数在上递减，在上递增，，，∴实数的取值范围是（2）①由（1）得当时，，，，函数在内恰有一个零点，符合题意②当时，i．若，，，故函数在内无零点ii．若，，，，不是函数的零点；iii．若时，，故只考虑函数在的零点，，若时，，∴函数在上单调递增，，，∴函数在上恰有一个零点若时，，∴函数在上单调递减，，∴函数在上无零点，若时，，，∴函数在上递减，在上递增，要使在上恰有一个零点，只需，．综上所述，实数的取值范围是．【点睛】本题考查函数导数的综合应用，难点在于对参数的分类讨论，考验理解能力以及对问题的分析能力，属难题.18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理，先证明面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由题中数据，得到；再以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果.【详解】（1）证明：∵，为棱的中点，∴，又∵为菱形且，∴，∵，∴面，∵面，∴面面；（2）解：∵，，∴，，又，∴，则．以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．设平面的一个法向量为．由，取，得．设直线与平面所成角为．所以【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求线面角的正弦值，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.19、（1）证明见详解；（2）或；（3）【解析】

（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知，，转化为是方程的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.【详解】（1）函数在时的值域为，不满足“保值函数”的定义，因此函数不是定义域上的“保值函数”.（2）因为函数在内是单调增函数，因此，，因此是方程的两个不相等的实根，等价于方程有两个不相等的实根.由解得或.（3），，即为对恒成立.令，易证在单调递增，同理在单调递减.因此，，.所以解得.又或，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.20、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）推导出，从而平面，进而.再由，得平面，推导出，从而平面，由此能证明平面平面；

（2）取中点G，从而平面，以、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）由题意可知，又因为平面底面，所以平面，从而.因为，所以平面，易得，，，所以，故.又，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）取中点G，，相交于点O，连结，易证平面，故、、两两垂直，以O为坐标原点，以、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.由（1）可得平面的法向量为.设平面的法向量为，则即令，得，所以.从而，故二面角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.21、（1）当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增；当时,函数在上单调递减；当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增;函数在上单调递减；（2）．【解析】分析：（1）先求定义域，再对函数求导，，令，分，，，，四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况，得函数f(x)的单调区间。（2）因为,由于(I)知,在上的最小值为，由题意可知“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函数的“三点一轴”分类讨论求得g(x)的最小值，再求得b范围。详解：(1)定义域因为所以令(i)当时,所以当时,,此时,函数单调递增;当时,,此时,函数单调递增(ii)当时,由,即,解得①当时,，恒成立,此时,函数在上单调递减;②当时,时,,此时,函数单调递减；时,,此时,函数单调递增；时,,此时,函数单调递减；③当时,由于时,,此时,