【微专题】2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版） A字型相似模型（解析版）

A字型相似模型1．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是A． B． C． D．【解答】解：在中，，，，．故选：．2．如图，，分别是的边，上的点，且，连接，相交于点．若，则下列说法错误的是A． B． C． D．【解答】解：、，，，，，，故选项正确，不符合题意；、，，，，故选项正确，不符合题意；、，，，，．，，，，故选项错误，符合题意；、，．故选项正确，不符合题意．故选：．3．如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形．若梯形上、下底的长分别为6，14，两腰长为12，16，则剪出的小三角形是A． B． C． D．【解答】解：如图，，，，，，，，，解得：，．故选：．4．如图，中，，，，是边上一点，作于，于，设，则A． B． C． D．【解答】解：在中，，，，由勾股定理得，，，，，，，，，．故选：．二．填空题（共7小题）5．如图，以线段为直径的半圆上有点，，且为的中点，作于，交延长线于点，弦，交于点，若，，则的长为．【解答】解：设半圆圆心为，的半径为，连接交于，，，是半圆的直径，，，，，是的中位线，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，（舍去），，，，．故答案为：．6．如图，直线，且每两条相邻平行线之间距离相等，点，，分别在直线，，上，分别交直线，于点，，交直线于点，交直线于点，若的面积为4，则四边形的面积为6．【解答】解：直线，且每两条相邻平行线之间距离相等，，分别是，的中点，，，，，，同理可证，，，，四边形的面积为：．故答案为：6．7．如图，已知的面积．在图1中，若，则；在图2中，若，则；在图3中，若，则；按此规律，若，．【解答】解：对图（2）进行分析：可以标出每条边的所有分点的字母，从开始，逆时针为、、，可以得到△，且面积比为，也就可以得到，而△和△同底等高，面积相等，所以，，同样道理，可得到，，，那么．根据上述分析可以得到，如果是的等分点，是的等分点，是的等分点，那么，当时，则．8．如图，、两点分别在的边、上，与不平行，当满足条件（写出一个即可）时，．【解答】解：满足条件即可，为公共角，．故答案为：．9．如图，、两点分别在的边、上，与不平行，当满足条件（写出一个即可）时，．【解答】解：满足条件即可，为公共角，．故答案为：（答案不唯一）．10．如图，已知的直径为10，将一块三角板如图放置，使它的直角顶点在上，两直角边与交于点，，使得．过点作于点，交于点，则线段2．【解答】解：是的直径，，，，，，，，设，，的直径为10，，在中，，，或（舍去），，，11．如图，在中，，，，为的中点，沿过点的直线折叠，折痕与交于点，若与相似，则的长为2.5或．【解答】解：在中，，，，，为的中点，，分两种情况：当时，，，，当时，，，，综上所述：的长为2.5或，故答案为：2.5或．三．解答题（共9小题）12．如图，中，点，，分别在边，，上，，交于点，求证：．【解答】证明：，，，，，，，，，，．13．如图，为的直径，、为上两点，且点为弧的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．若的半径的长为3，，求的长．【解答】解：连接，如图，点为弧的中点，弧弧．，，．，，，，，，，，．，．在中，，．14．某公园一角有一盏地面射灯照在一棵树上，树的影子投在墙上．已知树高，树与墙之间的距离为，与射灯之间的距离为．求树在墙上的影长．【解答】解：根据题意知，，则，故，即．解得．答：树在墙上的影长为3米．15．如图，，射线和线段互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，，作并截取，连接并延长交射线于点．设，，求关于满足的函数关系式．【解答】作于，，，在与中，，，，，，，，，，，即，，16．如图，在中，，点是的中点，，点，同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动，以为边向内部作正方形．当点到达点时，点，同时停止运动，设，正方形与重叠部分的面积为．当点运动至上时，．（1）的长为；（2）求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．【解答】解：（1）如下图，当点在上时，，，点是的中点，，，，，，，即，解得，，故答案为：；（2）当时，，当时，设交于，交于，如下图，此时正方形的面积三角形的面积，由题知，同理（1）知，，，，又，，综上，与的函数关系式为．17．如图，已知小丽的身高是1.6米，她在路灯下的影长为2米，此时她与路灯的距离为3米，且，，求路灯的高度．【解答】解：，，，，，，，米，路灯的高度为4米．18．如图，一条东西走向的笔直公路的北侧，在间隔150米的点，处有两棵树，点表示电视塔所在的位置．小王沿着公路南侧行走，当他到达点的位置时，观察到树恰好可以挡住电视塔（即点，，在同一直线上）．当他继续向前走180米到达点的位置时，观察到树也恰好挡住电视塔．假设，且公路的宽为60米，求电视塔到公路南侧的距离．【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：米，米，米，，，，，，，米，电视塔到公路南侧的距离为360米．19．小军和小丽准备测量学校旗杆的高度，如图，小军站在点处时，他的影子顶端恰好与旗杆的影子顶端重合，小丽测得小军的影子，小军向前走到达点处时，测得旗杆顶端的仰角为，已知小军的身高，点，，，在同一个水平直线上，，，，求旗杆的高度．【解答】解：过点作，垂足为，由题意得：，，设，在中，，，，，，，，，，，，，，，经检验：是原方程的根，，旗杆的高度为．20．如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，运动速度为1单位长度秒；同时点从点出发，沿以1单位长度秒的速度向终点运动，当点经过中点处时，停止1秒，然后继续运动．连结，以为边作正方形．设正方形的面积为，点的运动时间为秒．（1）当时，求的长．（2）当为等腰三角形时，求的值．（3）求与之间的函数关系式．（4）直接写出线段在整个运动过程中的最小值．【解答】解：（1）点到达点所需的时间为（秒，点到达中点所需的时间为（秒，点到达点所需的时间为（秒，运动时间的取值范围为，在中，，，，分以下三种情况：①如图①，当点在线段上，即：时，，，在和中，，，，即：，解得：（符合题意），此时，，②当点与点重合时，即：时，，，，同理可得：，即：，解得：（不符合题意，舍去），③当点在线段上时，即：时，，，，同理可得：，即：，解得：（不符合题意，舍去），综上，的长为．（2）根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：①如图②，当时，为等腰三角形，过点作于点，，由等腰三角形的三线合一，得：，当点在线段上，即：时，，，，，，，即：，解得：（符合题意），当点与点重合时，即：时，，，，，同理可得：，即：，解得：（不符合题意，舍去），当点在线段上时，即：时，，，，，同理可得：，即：，解得：（不符合题意，舍去），故此时；②如图③，当时，为等腰三角形，当点在线段上，即：时，，，，解得：（符合题意），当点与点重合时，即：时，，，，（不符合题意，舍去），当点在线段上时，即：时，，，，，解得：（不符合题意，舍去），故此时；③如图④，当时，为等腰三角形，过点作于点，由等腰三角形的三线合一，得：，当点在线段上，即：时，，，，在和中，，，，，解得：（不符合题意，舍去），当点与点重合时，即：时，，，，，同理可得：，，解得：（不符合题意，舍去），当点在线段上时，即：时，，，，，同理可得：，，解得：（符合题意），故此时，综上，的值为或2或