新高考数学二轮复习题型全归纳之排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题（教师版）

专题16分解法模型和最短路径问题类型1：分解模型例1．对33000分解质因数得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的正偶数因数的个数是（）A．48 B．72 C．64 D．96【解析】SKIPIF1<0的因数由若干个SKIPIF1<0（共有SKIPIF1<0四种情况），若干个SKIPIF1<0（共有SKIPIF1<0两种情况），若干个SKIPIF1<0（共有SKIPIF1<0四种情况），若干个SKIPIF1<0（共有SKIPIF1<0两种情况），由分步计数乘法原理可得SKIPIF1<0的因数共有SKIPIF1<0，不含SKIPIF1<0的共有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正偶数因数的个数有SKIPIF1<0个，即SKIPIF1<0的正偶数因数的个数是SKIPIF1<0，故选A.例2．5400的正约数有（）个A．48 B．46 C．36 D．38【解析】SKIPIF1<0，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为SKIPIF1<0．故选：A．例3.30030能被多少个不同的偶数整除【解析】先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：SKIPIF1<0.类型2：最短路径问题例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6B．8C．10D．12【解析】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．例2．如图，某城市中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．25【解析】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果根据分步计数原理知共有SKIPIF1<0种结果，选C例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有()A．6条 B．7条 C．8条 D．9条【解析】共有3个顶点与SKIPIF1<0点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达SKIPIF1<0点，所以，蚂蚁从SKIPIF1<0沿着长方体的棱以规定的方向行走至SKIPIF1<0，不同的行走路线有：SKIPIF1<0（条），故选A.例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14 B．15 C．16 D．17【解析】要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在B、C、D的圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在圈内，最后F、E、G各路数之和，即得到至H的总路数，如下图所示，易得到17条路线，故选D．例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72 B．56 C．48 D．40【解析】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有SKIPIF1<0（种）例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形SKIPIF1<0（边长为3个单位）的顶点SKIPIF1<0处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为SKIPIF1<0，则棋子就按逆时针方向行走SKIPIF1<0个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又回到点SKIPIF1<0处的所有不同走法共有（）A．21种 B．24种 C．25种 D．27种【解析】由题意知正方形SKIPIF1<0（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点SKIPIF1<0处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出SKIPIF1<0种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有SKIPIF1<0种结果，故选：C．例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.【解析】如下图所示从点A到C,D,E,F,G的路径都只有1条从点A到点H的路径有2条，分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0从点A到点O的路径有3条，分别为从A经过H到点O有2条和SKIPIF1<0从点A到点M的路径有3条，分别是从点A经过点H到点M有2条和SKIPIF1<0从点A到点P的路径有6条，分别是从点A经过点O到点P的3条和从点A经过点M到点P的3条从点A到点N的路径有4条，分别是从点A经过点M到点N的3条和从点A经过点E到点N的1条从点A到点Q的路径有10条，分别是从点A经过点P到点Q的6条和从点A经过点N到点Q的4条从点A到点R的路径有6条，就是从点A经过点P到点R的6条所以从点A到点B的路径有16条，分别是从点A经过点R到点B的6条和从点A经过点Q到点B的10条所以到达B点的路径的条数为16条故答案为：16例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）【解析】甲从A到B，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A到B共有SKIPIF1<0种走法，乙从C到D，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A到B共有SKIPIF1<0种走法，根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径SKIPIF1<0对，甲从A到D，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A到D共有SKIPIF1<0种走法,乙从C到B，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C到B共有SKIPIF1<0种走法,所以相交路径共有SKIPIF1<0对，因此不同的孤立路一共有SKIPIF1<0对.故答案为：1750例9．如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）【解析】A到B共2种走法，从B到C共SKIPIF1<0种不同走法，由分步乘法原理，知从A地经B地走到C地，最近的走法共有SKIPIF1<0种.故答案为：20例10．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有____种.【解析】SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种方法；SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种方法；SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种方法；共有SKIPIF1<0例11．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．【解析】分步计算，第一步SKIPIF1<0最近走法有2种；第二步SKIPIF1<0最近走法有SKIPIF1<0种；第三步SKIPIF1<0最近走法有2种，故由SKIPIF1<0最近走法有SKIPIF1<0种．故答案为：80．例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从SKIPIF1<0地移动到SKIPIF1<0地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从SKIPIF1<0移动到SKIPIF1<0最近的走法共有____种．【解析】分三步来考查：①从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有SKIPIF1<0种走法；②从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有SKIPIF1<0种走法；③从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，由①可知有SKIPIF1<0种走法.由分步乘法计数原理可知，共有SKIPIF1<0种不同的走法.故答案为：SKIPIF1<0.例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0点的最短路径的走法有___种．【解析】根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；

从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有SKIPIF1<0种情况，但图中有空格，故是方法数为SKIPIF1<0中

故答案为：7.例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上都不对【解析】我们把从SKIPIF1<0到3的路线图单独画出来：分析可得，从SKIPIF1<0到3总共有SKIPIF1<0种走法，每一种走法的概率都是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0珠子从出口3出来是SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的SKIPIF1<0处走到SKIPIF1<0处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种途径是最短的路程，①SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0有5法．SKIPIF1<0有1法，共有SKIPIF1<0法．②SKIPIF1<0，从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，故有SKIPIF1<0种，从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即从4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有SKIPIF1<0种，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0法，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的短程线总共SKIPIF1<0种走法．故答案为：45．例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的SKIPIF1<0处走到SKIPIF1<0处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种大途径是最短的路程，SKIPIF1<0①SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0有5法．SKIPIF1<0有1法，共有SKIPIF1<0法．②SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0有10种方法，SKIPIF1<0有3法，共有SKIPIF1<0法，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的短程线总共SKIPIF1<0种走法．故答案为：35．例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为SKIPIF1<0．【解析】我们把从顶点SKIPIF1<0到3的路线图单独画出来：分析可得，从顶点SKIPIF1<0到3总共有SKIPIF1<0种走法，每一种走法的概率都是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0珠子从出口3出来是SKIPIF1<0．例18．在SKIPIF1<0的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设SKIPIF1<0表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了SKIPIF1<0时的一条路径．则SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0