圆与圆的位置关系

2.圆与圆的位置关系【划重点】1．了解圆与圆的位置关系.2．掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3．能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．【知识梳理】知识点两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含【例题详解】一、两圆位置关系的判断例1(1)圆与圆的位置关系为（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【答案】A【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】由与圆，可得圆心，半径，则，且，所以，所以两圆相交.故选：A.(2)圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【答案】B【解析】分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系.【详解】解：圆的圆心，半径，的圆心，半径，则两圆的圆心距，即两圆内切.故选：B.【点睛】本题考查两圆的位置关系的判断，注意运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题.(3)若圆与圆相外切，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.【详解】由可得，所以圆的圆心为，半径为，由可得，所以圆的圆心为，半径为，因为两圆相外切，所以，解得，故选：D(4)已知点P，Q分别为圆与上一点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】A【分析】根据两圆位置关系求解.【详解】圆的圆心坐标为，半径为1；圆的圆心坐标为，半径为2；所以两圆的圆心距，两圆外离，所以，故选：A.跟踪训练1(1)圆与圆的位置关系为（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】D【分析】圆和圆的位置关系，可以通过比较圆心距和半径之和、半径之差间的关系判断﹒【详解】两圆圆心分别为，，半径分别为1和3，圆心距．∵，∴两圆外离．故答案为：D(2)已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．内含【答案】B【分析】本题首先可将转化为，圆心为，然后根据圆关于直线对称求出，最后通过圆心间距离等于两圆半径之和即可得出结果.【详解】即，圆心，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，即，解得，，圆心，半径为，，圆心，半径为，圆心间距离为，因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆与圆的位置关系是相切，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，可通过圆心间距离与两圆半径之和的关系来判断，考查圆的对称性的应用，考查计算能力，是中档题.(3)已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是（

）A． B．2 C．或2 D．1或【答案】C【分析】由圆心距等于两圆半径之差的绝对值可得结论．【详解】由题可知圆心，半径，圆心，半径，因为圆与圆内切，所以，解得或．故选：C．二、两圆的公共弦问题例2(1)圆与的公共弦长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.【详解】已知圆，圆，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，而圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以，所以.故选：D.(2)（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（

）A．公共弦AB所在直线方程为B．公共弦AB的长为C．线段AB中垂线方程为D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【答案】AC【分析】A选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；C选项，线段AB的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；D选项，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.【详解】因为圆：和圆：的交点为A，B，作差得，所以圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为，故A正确；因为圆心，，所在直线斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，即，故C正确；圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以P到直线AB的距离的最大值为，圆与圆的公共弦AB的长为，故B,D错误．故选:AC.(3)若圆与圆相交，且公共弦长为，则.【答案】【分析】两个圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，根据圆的弦长公式即可求a的值．【详解】圆与圆的方程相减即为公共弦所在直线方程：，圆圆心(0，0)到公共弦距离d＝，则公共弦长度为，解得a＝．故答案为：．跟踪训练2(1)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减得：，即.故选：B(2)（多选）已知圆：和圆：则（

）A．两圆相交 B．公共弦长为C．两圆相离 D．公切线长【答案】AB【分析】先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案.【详解】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为圆的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为所以两圆心的距离：，两圆相交，选项A正确，选项C错误；设两圆公共弦长为L，则有：，选项B正确，选项D错误.故选：AB三、两圆的公切线问题例3(1)圆：与圆：公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先根据题意得到两圆相外切，即可得到答案.【详解】根据题意，圆：，即，其圆心为，半径；圆：，即，其圆心为，半径，两圆的圆心距，所以两圆相外切，其公切线条数有3条．故选：C．(2)已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程.【详解】圆：的圆心，圆：可化为，，则其圆心为，半径为，因为圆与圆相内切，所以，即，故.由，可得，即与的公切线方程为.故选：D跟踪训练3(1)（多选）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程.【详解】根据题意可知，两圆心关于原点对称，在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：

显然，圆心距，即两圆外离，共有4条切线；又两圆心到轴的距离都等于其半径，所以轴是其中一条公切线，即A正确；利用对称性可知，其中一条切线过原点，设其方程为，又到切线的距离为1，即，解得或；当时，切线即为轴，当时，切线方程为，即，B正确；由对称性可知，切线与直线平行，易知，所以直线的方程为，可设的方程分别为，由两平行线间距离公式可得，解得，即切线的方程分别为，；整理可得两切线方程为和，故C正确，D错误；故选：ABC(2)已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围.【答案】【分析】根据两圆相交即可利用圆心距与半径的关系求解.【详解】若圆C1与圆C2有且仅有两条公切线时，则两圆相交，圆心C1，半径R＝2，圆C2，半径r，则，若两圆相交，则满足，即,得，故答案为：【课堂巩固】1．若圆，，则和的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】D【分析】求出两圆的圆心距，比较与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系.【详解】可知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为，，因此，圆与圆外切.故选：D.【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【答案】A【分析】由圆心距与两圆半径的和差比较可得．【详解】圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为2，所以两圆圆心之间的距离为，半径和为.因为，所以两个圆相离.故选：A.3．已知圆与圆外切，则m的值为（

）A．1 B．9 C．10 D．16【答案】B【分析】直接利用圆心距等于两圆的半径之和列方程即可求解.【详解】因为圆C与圆O外切，所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和，即，解得．故选：B．4．圆和圆的交点为，则有（

）A．公共弦所在直线方程为 B．公共弦的长为C．线段中垂线方程为 D．【答案】D【分析】对于A，联立两圆方程即可得公共弦所在直线方程；对于B，由弦长公式计算即可；对于C，由题意可知线段中垂线为直线，求出直线的方程即可判断；对于D，求出坐标，计算出的值，即可判断.【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得，即公共弦所在直线方程为，故错误；对于B，设到直线：的距离为，则有，则弦长公式得：，故错误；对于C，由题意可知线段中垂线为直线，又因为，，所以直线的方程为，故错误；对于D，由，解得或，取，所以所以，所以，故正确.故选：D.5．若A为圆上的动点，B为圆上的动点，则的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】先判断两圆位置关系为相离，两圆上动点的最大距离为两圆半径加圆心距离.【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，∴，所以两圆相离．又A为圆上的动点，B为圆上的动点，∴的最大值是，故选：D．6．（多选）已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（

）A．－4 B．－2 C． D．3【答案】AD【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解．【详解】圆心，半径，圆心，半径．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距，所以，解得或．故选：AD．7．（多选）圆和圆的交点为，，则有（

）A．公共弦所在直线方程为B．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为C．公共弦的长为D．圆上存在三个点到直线的距离为【答案】ABD【分析】求得公共弦所在直线方程判断选项A；求得到直线距离的最大值判断选项B；求得公共弦的长判断选项C；求得圆心到直线的距离进而可判断选项D.【详解】圆的圆心，半径选项A：由和两式怍差得则公共弦所在直线方程为.判断正确；选项B：圆心到直线的距离为则圆上动点到直线距离的最大值为.判断正确；选项C：公共弦的长.判断错误；选项D：圆心到直线的距离为又圆的半径，则圆上存在三个点到直线的距离为.判断正确.故选：ABD8．已知两圆与交于两点，则直线的方程为.【答案】【分析】由两圆方程作差后求解【详解】，，两式作差得，化简得，故答案为：9．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：．【答案】（答案不唯一）【分析】根据圆的半径、圆心可判断两圆位置关系，据此求公切线方程即可.【详解】由圆，圆，，可知它们外切，所以两圆的方程作差即可得内公切线的方程为．又直线的方程为，两圆半径相等，故可设外公切线的方程为，因为圆心到外公切线距离为，所以或，即两条外公切线的方程分别为和．故答案为：（答案不唯一）10．早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，．若，的“长”分别为1，r，且两圆相切，则．【答案】1或3【分析】根据圆的定义，得出和的圆心和半径，再由两圆相切分为内切和外切两种情况，分别得出两半径间的关系，求解即可．【详解】由题意，O为坐标原点，，根据圆的定义可知，的圆心为，半径为1，的圆心为，半径为r，因为两圆相切，当两圆外切时，则有，即，当两圆内切时，则有，即，或（舍）所以或3，故答案为：1或3．11．已知圆与圆．(1)求证：圆与圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为，根据得到方程，即可求出，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.【详解】（1）证明：圆：化为标准方程为，，圆的圆心坐标为，半径为，，，两圆相交；（2）解：由圆与圆，将两圆方程相减，可得，即两圆公共弦所在直线的方程为；（3）解：由，解得，则交点为，，圆心在直线上，设圆心为，则，即，解得，故圆心，半径，所求圆的方程为．12．已知圆与y轴相切于点，圆心在经过点与点的直线l上．(1)求圆的方程；(2)若圆与圆相交于M，N两点，求两圆的公共弦长．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用两点求出直线方程l，利用圆心在l上又在求出圆心坐标，进而求出圆的半径求出圆的方程；(2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的公共弦长．【详解】（1）经过点与点的直线l的方程为，即，因为圆与y轴相切于点，所以圆心在直线上，联立解得可得圆心坐标为，又因为圆与y轴相切于点，故圆的半径为4，故圆的方程为．（2）圆的方程为，即，圆，两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为，圆的圆心到直线的距离，所以两圆的公共弦长为．【课时作业】1．已知圆的方程是，圆的方程是，则圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含【答案】B【分析】根据圆心距以及半径间的关系确定正确选项.【详解】即，所以圆的圆心为，半径.,所以圆的圆心为，半径.，所以两圆外切.故选：B2．圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【答案】D【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再计算圆心距与半径差或和的比较即可得到答案.【详解】圆化为标准方程为，所以其圆心坐标是，半径是6；圆化为标准方程为，所以其圆心坐标是，半径是1，所以圆心距为，所以两个圆相内切.故选：D.3．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（

）A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【答案】D【分析】根据两圆内切或外切可得圆心距，从而可求实数a.【详解】圆：的圆心为,圆：的圆心为,，因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切，故或，从而或，所以或，解得：或所以实数a等于34或14故选：D4．如果圆上恰有两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出到原点距离为的所有点的轨迹，此轨迹表示的曲线与圆有两个交点即可.【详解】平面内到原点距离为的所有点的轨迹方程为,设圆的圆心为，则圆上恰有两个点到原点的距离为1,等价于圆与圆相交，即，.故选：D.5．已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】圆可化为，圆心为，半径为，圆可化为，圆心为，半径为，又与有且仅有一条公切线，所以两圆内切，因此，即，解得，故选：C6．已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆圆心与半径表达式可得答案.【详解】与两式相减得，即公共弦所在直线方程.圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为，半弦长为，则有，解得或（舍），此时故选：.7．已知圆与圆外切，直线与圆C相交于A，B两点，则（

）A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】由两圆外切列方程求，再求圆心到直线的距离，结合弦长公式求弦长.【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，圆的圆心的坐标为，半径为，因为圆O与圆C外切，所以所以.设圆心到直线l的距离为d，则，从而.故选：D.8．“”是“圆与圆有公切线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由圆的方程可得两圆圆心和半径，由两圆有公切线时圆心距和两圆半径之间的关系可确定结果．【详解】由已知有，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为1，两圆圆心距，当两圆有公切线时，两圆的位置关系为：内切、相交、外切和相离，此时两圆的半径与圆心之间的距离满足，即，又，故解得，当时，两圆的位置关系可能为：内切、相交、外切和相离，此时两圆有公切线，所以圆与圆有公切线的充要条件为，所以“”是“两圆有公切线”的既不充分也不必要条件，故选：D．9．（多选）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（

）A．若两圆外切，则B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则C．若两圆的公共弦长为，则D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则【答案】AB【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径.设圆为圆，圆的圆心为，半径..A选项，若两圆外切，则，A选项正确.B选项，由两式相减并化简得，则，此时，满足两圆相交，B选项正确.C选项，由两式相减并化简得，到直线的距离为，所以，即，则解得或，C选项错误.D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为，根据圆的几何性质可知，所以，D选项错误.故选：AB10．（多选）已知圆，则（

）A．直线的方程为 B．过点作圆的切线有且只有1条C．两圆相交，且公共弦长为 D．圆上到直线距离为2的点有4个【答案】ACD【分析】根据圆的标准方程，结合圆的切线性质、两圆相交公共弦所在的直线方程性质逐一判断即可.【详解】由两圆的方程可知两圆的圆心坐标为，半径分别为，直线的方程为，A正确；过点作圆的切线有，有2条，B错误；，满足．两圆相交，公共弦所在直线为，到l的距离，由垂径定理，公共弦长为2，C正确；圆心到直线距离为，，故圆上到直线距离为2的点有4个，D正确，故选：ACD．【点睛】关键点睛：利用圆的几何性质、点到直线距离公式是解题的关键.11．已知圆和圆，垂直平分两圆的公共弦的直线的一般式方程为.【答案】【分析】若要垂直平分两圆的公共弦，则该直线必过两圆圆心，求得两圆圆心即可得解.【详解】圆和圆的圆心分别为：和，垂直平分两圆的公共弦的直线必过两圆圆心，所以直线方程为，整理可得：.故答案为：.12．设与相交于两点，则．【答案】【分析】先求出两圆的公共弦所在的直线方程，然后求出其中一个圆心到该直线的距离，再根据弦长、半径以及弦心距三者之间的关系求得答案.【详解】将和两式相减：得过两点的直线方程：，则圆心到的距离为，所以，故答案为：13．已知圆，圆.(1)求圆与圆的公共弦长；(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.【答案】(1)；(2)【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即，化简得，所以圆的圆心到直线的距离为，则，解得，所以公共弦长为.（2）解法一：设过两圆的交点的圆为，则；由圆心在直线上，则，解得，所求圆的方程为，即.解法二：由（1）得，