人教版数学九年级上24.1.4 圆周角 课件(共28张PPT)

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1.圆心角的定义

.

O

B

C

在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别相等。

答:顶点在圆心的角叫圆心角

2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？

一、复习引入:

3.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．

什么叫做圆周角？

·

A

B

C

D

E

O

一、概念

如图：∠ADB,∠ACB,

∠AEB都是⊙O的圆周角

辩一辩图中的∠CDE是圆周角吗

C

D

E

C

D

E

C

D

E

C

D

E

圆周角：__________，并且角的______________。

圆心角:___________的角.

顶点在圆上

两边都和圆相交

顶点在圆心

如图，在⊙O中，请画出BC所对

的圆心角和圆周角。

C

B

O

二.探究同弧所对圆周角与圆心角的关系

如图，⊙O中，同弧所对的圆心

角和圆周角情况：

C

B

O

A

C

B

O

A

C

B

O

A

圆心在

圆周角内部

圆心在圆

周角一边上

圆心在

圆周角外部

（1）在圆周角的一条边上；

·

C

O

A

B

即

∵OA=OC，

∴∠A=∠C．

又∠BOC=∠A+∠C

∴∠BOC=2∠A

（2）在圆周角的内部．

C

B

·

O

D

圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有

A

（3）在圆周角的外部．

圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有

·

C

O

A

B

D

结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

归纳

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。

圆周角定理：

C

B

O

A

C

B

O

A

C

B

O

A

:∠A=1/2∠BOC或

∠BOC=2∠A

1、已知∠AOB＝75°，

求：∠ACB=

2、已知∠AOB＝120°，

求：∠ACB=

3、已知∠ACD＝30°，

求：∠AOB=

4、已知∠AOB＝110°，

求：∠ACB=

思考：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？

推论1在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．

因为，在同圆或等圆中，

如果圆周角相等，那么它所

对的圆心角也相等，因此它

所对的弧也相等．

·

C

B

O

A

F

G

E

（

（

A

B

O

C

1.如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿

90度

2.若∠ACB=900，弦AB是直径吗？

推论2:

半圆（或直径）所对的圆周角是90°；

90°的圆周角所对的弦是直径。

∵AB是直径,

∴∠ACB=900

∵∠ACB=900，

∴弦AB是直径

三.圆内接多边形

若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

O

B

C

D

E

F

A

O

A

C

D

E

B

如图：圆内接四边形ABCD中，

∴∠A＋∠C＝180°

同理∠B＋∠D＝180°

圆内接四边形的对角互补.

O

C

A

B

D

圆内接四边形的性质定理：

·

A

B

C

D

O

如图，四边形ABCD是⊙O

的内接四边形，⊙O是四边形

ABCD的外接圆。

思考：∠A+∠C=

能用圆周角定理证明你的结论吗？

圆内接四边形的对角互补。

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠C=1800

思考：延长BC到E，∠DCE与∠A的数量关系？

180°

所以∠A＝∠DCE

又∠A＋∠1＝180°

C

O

D

B

A

E

1

∠DCE＋∠1＝

圆内接四边形任意一个外角都等于它的内对角.

推论：

∠A与∠DCE为内对角

例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．

又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，

解：∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°．

在Rt△ABC中，

∵CD平分∠ACB，

∴AD=BD.

四、例题

如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

推论3

A

C

B

∵在△ABC中

CD=AD=BD

∴∠ACB=90°.

D

求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）

·

A

B

C

O

求证：△ABC为直角三角形.

证明：

CO=AB,

以AB为直径作⊙O，

∵AO=BO，

∴AO=BO=CO.

∴点C在⊙O上.

又∵AB为直径,

∴∠ACB=×180°=90°.

已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，

且CO=AB

∴△ABC为直角三角形.

直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？

练习：判断正误：

1.同弧或等弧所对的圆周角相等（）

2.相等的圆周角所对的弧相等（）

3.90°圆周角所对的弦是直径（）

4.直径所对的角等于90°（）

5.长等于半径的弦所对的圆周角等于3（）

√

√

×

×

×

填空：1.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,∠B=750,则∠C=_____

D

B

A

C

O

圆的内接梯形一定是＿＿梯形。

2.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=____∠CDE=______

3.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°则∠B=______∠D=______

4.四边形ABCD内接于⊙O,∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,

E

D

B

A

C

80

D

B

A

C

O

100

O

C

D

B

A

已知：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形并且ABCD是平行四边形。

求证：四边形ABCD

是矩形。

.如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=900

∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB

＝180°－80°－90°

＝10°．

∴∠ABC的度数是10°．

图

23.1.12

例如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。

求证：CE∥DF

1

2

O

O

F

A

B

E

C

D

1

CE∥DF

∠E＋∠F＝180°

∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E

ABFD是⊙O1的内接四边形

ABEC是⊙O2的内接四边形

连结AB

1

2

O

O

F

A

B

E

C

D

1

(1)一个概念（圆周角）

内容小结：

(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于

该弧所对的圆心