分析力学的保守体系与有限元法

分析力学的保守体系与有限元法

1有限元单元由于分析力学在动力学领域是发展起来的，因此也被称为分析动力学。在结构力学与最优控制之间的模拟关系上，其共同基础是分析力学。因此，结构力学理论和最优控制理论的结构也需要一套分析力学的理论。在本文中，我们介绍了结构力学的结构，这些理论可以称为分析结构力学。在物理与力学中有大量保守体系的分析.保守体系可用Hamilton体系描述迄今,分析动力学讨论的系统都是确定维数的系统.分析结构力学将分析力学用于空间长度坐标z.然而结构力学并不限定横截面位移的数目,这是与分析动力学很大的差别,并且还适用离散坐标体系,横截面位移也并非必须在同一长度坐标系.将分析动力学的方法论推广到结构力学是很重要的理论问题.将长度坐标离散就是有限元.本文证明每个单元两端状态的关系就是正则变换.在Lagrange括号与Poisson括号辛,使人感到玄,其实只是一个名词而已,必须破除这种神秘感.有限元法是从结构力学发展的,有限元工作者熟知,单元刚度阵应保持对称性,其实这就是保辛.现通过单纵向坐标柱形域弹性体系有限元来加以阐明.有限元将连续坐标转化为离散坐标.例如Timoshenco梁问题,设长度区段为0<z<L,沿长度划分m个单元.第k号单元有左、右两端a,b,即k-1,k站,其位移分别为n维的向量qK单元变形能就是作用量函数.引入对偶向量则平衡方程为p于是从(3a,b)可导出可验证以往一大批差分格式是脱离了变分原理而根据微分算子凭经验凑合的,五花八门而缺乏一般规则.有限元列式虽然也是五花八门,但在变分原理导引下的单元,保证了单元刚度阵的对称性,从而保持了保守体系的基本规则,故自动保辛,这是很大的优点.辛的概念从分析动力学而来,要求状态向量的维数不变.有限元单元刚度阵对称性则更为一般,没有维数不变的要求.但上文有限元的陈述是线性系统的,毕竟分析力学要面对一般的非线性系统.结构力学也有非线性系统,本文的讨论适用于非线性系统.以下在单长度坐标的架构内讲述分析结构力学.首先探讨Lagrange括号与Poisson括号.2从qlagrange东北部到poisson例如Timoshenco梁就是等维数(n=2)的体系.传统讲述正则变换总是在动力学系统下的,现用结构力学来讲述,位移向量用q来表示.多维问题方可将沿长度方向状态变化问题的性质讲明白.设有区段(z,z分别引入对于q,q或组成两端的状态向量,其中的偏微商是位移的函数.将方程(6b)对q将(8a)的q这样,(8a,b)成为从原对偶变量q,p到新对偶变量q在(8a,b)的基础上,观察其微商之间的关系.按U(q,q将变形能(作用量)看成q,p的函数,即U(q,qa(q,p),z,z故这是按分量表示的偏微商,采用向量表示这里出现了向量函数q本文规定与将z将(12a,b)代入有将i,j互换仍然相等.两者相减给出同理及这些公式给出从q,P到q设从q以上讲述是从q,p到q设状态向量(正则变量)q,p是任意两个参变量u,v的函数.q(u,v),p(u,v)代表在2n维状态空间中的2维曲面.选择任意两个元素,q组成相应的2n×2n反对称矩阵即矩阵L但按(14c),有表明Lagrange括号在正则变换之下不变.所以下标qLagrange括号将u,v当作两个参数自变量,给出了2n维状态空间中的一个超曲面.而Poisson括号则将u,v看成为状态向量q,p的任意两个函数u(q,p),v(q,p).泊松(Poisson)括号的定义为显然也有[u,v]从Lagrange括号的(14),读者可验证矩阵等式S因q表明Poisson括号在正则变换下不变,故可将其下标去掉.采用辛的表示也许更简洁些其中如果u这些正则变量都是v的分量,若将泊松括号写成2n×2n矩阵,有现在将u故S是辛矩阵.凡是满足条件S以上将长度坐标只当作参数,适用离散系统.对于连续长度坐标,哈密顿正则方程在正则变换下其形式不变.现在泊松括号也是在正则变换下不变.事实上正则方程可用泊松括号表示为括号中一个是向量,一个是哈密顿函数H为纯量,结果仍是向量.无非是将n个方程写在一起而已.采用泊松括号的辛表示方程(26),(27)是将正则变量直接代入泊松括号.如对任意函数u(q,p,z)取全微商,则或这就是辛表示.如将哈密顿函数H代替上式中的u,则因对于任意的向量v正则坐标q,p是用于描述结构变形的坐标系统,而哈密顿函数H是针对某一变形而给的,因此说哈密顿函数H生成了一个变形,状态沿着长度坐标的变化就是一系列的正则变换本节从区段变形能U(q3变分原理与正则变换上文从变形能出发,推导了Lagrange括号与Poisson括号以及正则变换.从q,p到q但也可按式(8～12)得到变换q证首先要验证,给出正则变换(8),[q从(14a)可导出同理及其中q共2n个函数,它们皆为状态向量v={q从正则变换q这就是原有全微分(11)的复原.故知正则变换与区段变形能为两端位移的函数是一致的.注意,U是可随意加一个常数的.下一步是证明正则变换的合成相当于最小势能原理(31).根据全微分圆括号内的pU(q,q混合能的全微分为线性系统时混合能的区段合并变分原理为也与(31)相一致.其实,线性系统势能、混合能与辛矩阵表达的一致性已经在3.1有限元分析的应用既然已经证明了正则变换与变形能变分原理的一致性,而变形能变分原理与混合能变分原理也是一致的,故混合能变分原理与正则变换一致.采用区段能量表达的优点是其离散的系统性质.有限元位移法分析自然就导出区段变形能.采用正则变换就是保辛,故有限元法能自动保辛.线性体系的有限元分析用刚度阵的对称性保辛.非线性有限元就五花八门了,这是应当考虑的.以上分析表明,位移法非线性有限元可从区段变形能只是两端位移的函数这一原则来达到保辛.问题在于非线性系统求解或参数修改等经常采用小参数摄动法,它保辛吗?有限元分析的特点是将连续系统分析近似地转化为离散系统来分析.有限元离散时应保证区段变形能只是两端位移的函数.但也只能保证有限元离散近似这一步保辛.线性系统离散后仍为非线性方程,要求解.非线性联立方程的求解是很大的课题.非线性系统的求解经常采用小参数法摄动展开.但离散系统的小参数法摄动展开法保辛吗?该问题另文研究.3.2状态向量传递辛矩阵连续坐标课题有限元离散后,成为保辛的链式联立方程.因柱形域结构力学分析是与最优控制理论模拟的,故特别有兴趣.设线性结构刚度有小参数εi,i=1,…,ε设链式结构是由定常区段组成的,只有一个参数ε待定,其区段刚度阵为在起始站k=0的边界条件为p首先将解的原方程写为对偶向量的传递辛形式(相当于初参数法、或打靶法)其中ε是小参数.原方程直接求解,未运用小参数展开,故给出精确解.由传递辛矩阵就容易求出K小参数摄动应先求解ε=0的情况,并用下标0标记.链式结构是两端边值问题.用(5)转换为状态向量传递辛矩阵的方法求解.(k-1,k)的区段k单元刚度阵K从起始站k=0的状态向量v用位移法表示,K在零次近似基础上的保辛小参数摄动可用正则变换.将未知状态向量v其中用v双方左乘以因s所以S正则变换的表述只能用于两端位移q,q4变形能、混合能与状态向量分析动力学中通常不讲不同维的系统,但结构力学常见不同维的系统,可用条形矩阵或波前法求解.将有限元变截面结构在长度的横向切开,就会出现两端出口不同维的子结构.其变形能函数为U(q或组成两端的状态向量,现在考察变形能、混合能与状态向量.变形能与混合能的合成公式分别采用变分原理(31)与(37),对不同维数的体系不成问题.正则变换辛矩阵要求两端维数相同,故不能适应不同维数的体系;然而变形能、混合能表示则可适应.于是变形能、混合能的表象,当维数不变时与正则变换相同;在维数变化时仍能适应.故变形能(31)、混合能(37)的变分原理成为正则变换对不同维结构力学的推广.从而结构力学的串联子结构消元算法5正则变分原理、传统能量法中的保辛问题本文给出了分析结构力学的理论.根据单连续坐标结构的区段变形能只是两端状态的函数,证明了状态传递就是正则变换.反之,状态传递为正则变换决定了区段变形能函数的存在.两者互为充要条件.从而势能变分原理、混合能变分原理与两个正则变换的积仍为正则变换,是一致的.正则变换是保辛的.故势能变分原理、混合能变分原理也是保辛的.结构力学与动力学一样,经常采用近似的小参数摄动法.这是应用数学与力学最常用的近似之一.然而,