非完整系统动力学的lagrange理论框架

非完整系统动力学的lagrange理论框架

在非完全力学的100多年里，hatz和hough。本文应用广义变分原理的理论,借助于非完整力学的二类变量的广义变分原理,说明了非完整力学一类变量的Hamilton原理中的q1lagrange经典关系能够应用于非完整系统这里将应用一般力学的广义变分原理来说明问题,为了更好地说明非完整系统的理论,让我们先借助于完整系统来说明广义分原理的基本理论是有益的一般力学完整系统的两类变量的广义变分原理表示为将π若令π则(1)式变换为这不是别的,正是完整系统二类变量的Hamilton原理.方程(4b)中s.t.是Subjectto的缩写,是约束驻值理论中常用的缩写.文献[21]的作者将(4b)式称为先决条件,即要求变分原理事先满足的条件.(4b)式可以进一步表示为若将(5)式或者(4b)代入(4a)式中,则得完整系统一类变量的Hamilton原理从以上的推演过程可见,令广义变分原理π对于非完整系统,按照Vakonomic模型,一般力学的二类变量的广义变分原理的泛函为(1)~(7)式中各符号的意义:q若令π则(7)式变换为这不是别的,正是非完整系统的二类变量的Hamilton原理.将(9c)式进一步表示为若将(10)式或者(9c)式代入(9a)和(9b)式中,则得一类变量的Hamilton原理“将(10)式或者(9c)代入(9a)式和(9b)式中”的做法可知,(11a)式和(11b)式中的q设系统由N个质点组成,描述系统位形的直角坐标为将以上两式分别对时间t求导,可得将(13)式中的两式分别对q将∂x故得习惯上称(14)和(16)式为两个Lagrange经典关系.研究过分析力学的人都知道,如上的推导两个Lagrange经典关系的过程,对完整系统是正确的.对于非完整系统,只要应用q可见(23),(24)和(25)式即为Четаев条件的几种等价的表达式.以上分析表明,正确应用推广的Lagrange经典关系,可以推导出Четаев条件.如果假设系统是完整的,其约束方程的几种等价的表示形式为F由以上分析可见,完整系统的约束方程自然满足Четаев条件.3非完整系统动力学的lagrange经典关系与推广的lagrange经典关系的区别考虑一个动力学系统,该系统由Lagrange函数L(q这类系统的Hamilton原理的泛函为引入Lagrange乘子,将约束方程(17b)纳入泛函(36)式中,则有将π变分,并令δπ=0,经分部积分,并按惯例在时域边界t=t应用推广的Lagrange经典关系,可得由于引入Lagrange乘子,使得δq可见,只要令λ这里指出,由(36)~(41)式的变换过程中,克服了长期以来对两个Lagrange经典关系应用于非完整系统的限制,将两个Lagrange经典关系应用于L(qLagrange经典关系应用于含有约束方程的项完整系统的动力学方程.考虑到(17a)与(17b)的等价性,可将(37),(38),(39),(40)和(41)式分别变换为t由以上分析可见,在全部代入法中,对非完整系统应用Lagrange经典关系和推广的Lagrange经典关系,也可以推导出系统的真实轨道方程.以下我们应用前面的方法来处理非线性完整系统的问题.考虑一个完整的动力学系统该系统的Hamilton原理表示为将(53b)对时间t求导,可得进而推知引入Lagrange乘子µ将(57)式变分,并令δπ=0,经分部积分,并按惯例在时域边界取δq应用关系(55)和(56)式,可将(58)式变换为由于引入Lagrange乘子,使得δq可见只要令λ这一结果与直接应用Lagrange乘子λ4举例通过实例来研究非完整系统动力学是一个好办法.我们研究了现有文献中的多种实例从中精选出以下几例足以说明有关问题.考虑到各例中的推导过程与前面理论推导的过程相同,故在以下举例中,仅写出Hamilton原理的泛函和先决条件,然后给出其真实轨道方程.以下举例的实际背景,可以参考有关文献(67b)(67c)(67d)mk0,mk4.4u3000x-l+r真实轨道方程Hamilton原理的泛函为t(xy+kπ2m+(68a)(68b)(68c)(68d)xsinϕ-ycosϕ=0,x-(lϕ+rθ真实轨道方程为mx+µ(69a)(69b)(69c)(69d)(69e)my-µmkmk4.5y-zx,真实轨道方程的材料参数t(x1π2(70a)(70b)y-zx=0,真实轨道方程为x-µz=0,y+µ=0,(71a)(71b)(71c)z=0.4.6哈mi鳞片原理的完整微分限制m.1的性质的泛函数为70a，s.t.(x(72a)(72b)(x真实轨道方程为x+µ(73a)(73b)(73c)4.7真实轨道方程Hamilton原理的泛函为(70a)式,或真实轨道方程:(ⅰ)若约束方程为(74a)式,则真实轨道方程为(ⅱ)若约束方程为(74b)式,则真实轨道方程为可见,只要令λ