湖南省长沙市雨花区2026年九年级中考一模数学试卷附答案

九年级中考一模数学试卷一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1．下列各数中小于0的是()A．-(-1) B．|-1| C． D．2．我国在量子通信领域整体处于国际领先地位。在量子通信中，某设备能处理的数据量为每秒比特，若持续工作100秒，总处理数据量约为(单位：比特)()A． B． C． D．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A． B． C． D．4．“费尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”.目前为止“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄(岁)分别为28，29，29，31，31，31，31，则这组数据的中位数是()A．28 B．29 C．30 D．315．下列运算正确的是()A． B．C． D．6．如图，已知直线a∥b，现将含45°角的直角三角板ABC放入平行线之间，两个锐角顶点B、C分别落在直线a、b上.若∠1=26°，则∠2的度数为()A．56° B．64° C．68° D．71°7．如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P.下列结论不正确的是()A．ac<0 B．c>dC．a+b=c+d D．当x>1时，ax+b>cx+d8．某校举行“垃圾分类”知识竞赛，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分。若小明得分不低于86分，则他答对的题数至少有()A．19 B．18 C．17 D．169．如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P=68°，则∠BAC的度数为()A．34° B．39° C．51° D．56°10．如图，点I为△ABC的内心，AB=6，AC=5，BC=4，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为()A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)11．从分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8的卡片中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是.12．分解因式：x3-4x=．13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2，且则m=.14．如图，抛物线与x轴交于A(-3，0)、B两点，与y轴交于C(0，3)点，M点在抛物线的对称轴x=-1上，当△MBC周长最小时，点M的坐标为15．1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名.小记者来采访他们各自的名次时，1号运动员说：“3号在我前面冲向终点”.另一个得第3名的运动员说：“1号运动员不是第4名”.小裁判员：“他们的号码与各自的名次都不相同”.则3号运动员是第名.16．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则BE·BC的值等于.三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．计算：18．先化简，再求值：其中x=-1.19．如图，在△ABC中，BC<AB，∠A=36°，以点C为圆心，线段CB的长为半径画弧，交线段AB于点D；以点D为圆心，线段CD的长为半径画弧，恰好经过点A。求证：△ABC∽△CBD.20．某校开展“青赴绿意，大美湖湘”环保实践活动，聆听圭塘河从“龙须沟”到“幸福河”的蜕变历程.活动结束后，在初三年级随机抽取了部分学生，就“对圭塘河治理情况的了解程度”进行问卷调查，问卷有以下四个选项：A.非常了解；B.比较了解；C.了解较少；D.不太了解(每名被调查的学生必选且只能选择一项).现将调查的结果绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图.请根据以上信息，解答下列问题：（1）被抽取的学生共有多少人?图中p的值是多少?（2）请补全条形图；（3）扇形图中的选项“D.不太了解”部分所占扇形的圆心角的大小为多少?（4）若该校初三年级共有1200名学生，请你根据上述调查结果，估计该校初三年级学生对圭塘河治理情况“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名?21．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展。某快递企业为提高工作效率.拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣。若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元.（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；（2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1000万元.最多能买A型机器人多少台?22．小刘与小王相约到岳麓山旅游风景区登山，需要登顶300.8m高的山峰，由山底A处先步行100m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为缆车行驶路线BD与水平面的夹角为(如图所示).（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为25m/min，缆车的速度为30m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(换乘登山缆车的时间忽略不计，结果精确到0.1min)?(参考数据：23．如图，E是正方形ABCD的CD边的中点，将该正方形沿BE折叠，点C落在C'处，⊙O分别与AB、AD、BC'相切，切点分别为F、G、H.（1）求证：（2）若正方形的边长是6cm，求图中阴影部分的面积.24．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的2倍，我们称这个点为“双倍点”，例如A(1，2)就是“双倍点”.若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”.（1）求直线y=3x+2上的“双倍点”的坐标；（2）反比例函数图象上否存在“双倍点”?如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由；（3）已知二次函数(b，c是常数)是“双倍二次函数”，且函数图象与y轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式；（4）若“双倍二次函数”(m，n是常数)的图象过除顶点外的另一个“双倍点”(p，8)，并当t-1≤x≤t时，函数最小值为7，求t的值.25．在中，D是BC上一点，，垂足为点E.（1）如图1，求的度数；（2）如图2，BD=AB，F是BE的中点，猜想AC与AF的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，BD=AB=4，CD=2，F是BE上一动点，求：2CF+BF的最小值.

答案1．【答案】C【解析】【解答】解：∵-(-1)=1，1>0，

∴A不符合要求.

∵|-1|=1，1>0.

∴B不符合要求.

∵，-1<0，

∴C符合要求.

∵(-1)2=1，1>0，

∴D不符合要求.故答案为：C.【分析】先根据相反数、绝对值、立方根、乘方的运算法则化简每个选项，再将化简结果和0比较大小，即可得到答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：4.5×108×100=4.5×1010，故答案为：A.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成：时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数：当原数的绝对值<1时，n是负整数.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确.故答案为：D.【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折鲁后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.4．【答案】C【解析】【解答】解：把数据从小到大排列为28，29，29，29，31，31，31，31，

中位数是第4位和第5位的平均数为故答案为：C.【分析】中位数是将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、2x2y与-3xy2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；

B、，故此选项符合题意；

C、4a6÷a2=4a4，故此选项不符合题意；

D、(a+b)2=a2+2ab+b2，故此选项不符合题意；故答案为：B.【分析】根据合并同类项法则、二次根式的减法法则、单项式除以单项式法则、完全平方公式分别计算判断即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：如图，

∵∠1=26°，∠ABC=45°

∴∠DBC=∠1+∠ABC=71°

∵a//b

∴∠2=∠DBC=71°故答案为：D.【分析】根据已知条件得出∠DBC=∠1+∠ABC=68°，根据两直线平行，内错角相等即可得出答案.7．【答案】D【解析】【解答】解：y=ax+b从左上到右下，故a<0，

y=cx+d从左下到右上，故c>0，因此ac<0，选项A正确；

y=cx+d过点(-1，0)，代入得：0=-c+d，即d=c，所以c>d不成立，选项B错误；

两直线交于点P，横坐标为1，说明当x=1时，y=ax+b与y=cx+d的值相等，即a+b=c+d，选项C正确；

当x>1时，y=cx+d的图象在y=ax+b上方，因此ax+b<cx+d，选顶D中“ax+b>cx+d”选项D不正确；故答案为：D.【分析】先根据一次函数图象的走向，判断出系数a，b，c，d的正负，再逐一验证选项，交点P的横坐标为x=1，说明当x=1时，两个函数值相等，x>1时，图像在上方的函数值更大.8．【答案】B【解析】【解答】解：设他答对的题数至少有x道题，根据题意得：5x-2(20-x)≥86

∴x≥18

答：他答对的题数至少有18道题故答案为：B.【分析】设他答对x道题，根据题意，列出不等式，即可求解.9．【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接OP，交AC于H，∵PA，PC是⊙O的切线

∴PA=PC，，∠OAP=90°

∴OP⊥AC，

∴∠PAH=90°-∠APO=56°

∴∠BAC=90°-56°=34°

故答案为：A.【分析】连接OP，交AC于H，根据切线长定理得到PA=PC，，根据切线的性质得到∠OAP=90°，再根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算即可.10．【答案】D【解析】【解答】解：设AC的对应边交AB于点E，BC的对应边交AB于点F，连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心

∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC

∴∠EAI=∠CAI，∠FBI=∠CBI

由平移得EI//AC，FI//BC，

∴∠EIA=∠CAI，∠FIB=∠CBI

∴∠EAI=∠EIA，∠FBI=∠FIB

∴IE=AE，IF=BF，

∴IE+EF+IF=AE+EF+BF=AB=6，

∴阴影部分的周长是6，

故答案为：D.【分析】设AC的对应边交AB于点E，BC的对应边交AB于点F，连接AI、BI，由点I为△ABC的内心，得∠EAI=∠CAI，∠FBI=∠CBI，由平移得EI//AC，FI//BC，则∠EIA=∠CAI，∠FIB=∠CBI，推导出∠EAI=∠EIA，∠FBI=∠FIB，所以IE=AE，IF=BF，进而即可求解.11．【答案】【解析】【解答】解：∵有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8，其中该卡片上的数是4的整数倍的数是4，8

∴该卡片上的数是4的整数倍的概率是故答案为：.【分析】直接由概率公式求解即可.12．【答案】x（x+2）（x-2）【解析】【解答】x3-4x

=x（x2-4），

=x（x+2）（x-2）．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．13．【答案】4【解析】【解答】解：∵

∴2m+1=9

∴m=4故答案为：4.【分析】根据根与系数的关系的公式是解答.14．【答案】(-1，2)【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点，

∴点A(-3，0)，C(0，3)

设直线AC的解析式为y=kx+b，

∴把A(-3，0)、(0，3)分别代入直线y=kx+b，

得

解得：

∴直线AC解析式为y=x+3；

设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MB+MC的值最小，

把x=-1代入直线y=x+3得，y=2

∴M(-1，2)

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1，2)故答案为：(-1，2).【分析】因为点A关于对称轴的对称点为点B，连接AC，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MB+MC的值最小，再求得点M的坐标即可.15．【答案】1【解析】【解答】解：因为他们的号码与各自的名次都不相同，由得第3名的运动员的话可知，1号不是第3名，也不是第4名，所以1号是第2名；由1号运动员的话可知，3号是第1名故答案为：1.【分析】首先利用”号码与名次都不相同”这一硬性规则，结合”1号不是第4名”和“1号不是第1名”的线索，锁定1号运动员为第2名，一旦确定了1号的名次，再根据”3号在1号前面”这一信息，便可直接推导出3号是第1名.16．【答案】1【解析】【解答】解：过D作DF⊥BC交BC的延长线于F，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=∠DFC=90°

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB//DC，AB=DC

∴∠ABE=∠DCF

∴△ABE≅△DCF(AAS)

∴AE=DF，BE=CF

由勾股定理得到：AC2=AE2+CE2=AE2+(BC-BE)2=AE2+BC2-2BE·BC+BE2①

BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+BE)2=DF2+BC2+2BE·BC+BE2②

②-①得：，

∴BE·BC=1.故答案为：1.【分析】过D作DF⊥BC交BC的延长线于F，由平行四边形的性质可得AB//DC，AB=DC，证明△ABE≅△DCF(AAS)，由勾股定理得出，进而即可求解.17．【答案】解：=-1【解析】【分析】先根据有理数的乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可.18．【答案】解：原式当x=-1时，原式【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算即可.19．【答案】解：由作法得CD=CB，DA=DC，∴∠DCA=∠A=36°，

∴∠CDB=36°+36°=72°∵CD=CB，

∴∠B=∠CDB=72°

∴∠BCD=180°-72°-72°=36°，∴∠BCD=∠A，

而∠CBD=∠ABC，

∴△ABC∽△CBD.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，由DA=DC得到∠DCA=36°，则根据三角形外角性质得到∠CDB=72°，再由CD=CB得到∠B=72°，接着根据三角形内角和定理计算出∠BCD=36°，然后根据相似三角形的判定方法得到结论.20．【答案】（1）解：从条形图知“比较了解”的有40名，从扇形图知“比较了解”占40%，

∴抽查的学生数为：40÷40%=100(人)；

∵，

∴p=20；（2）解：100-20-40-10=30(名)

补全图形如下：

（3）解：扇形图中的选项“D.不了解”部分所占扇形的圆心角的大小为：（4）解：(名)即估计该校初三年级学生“非常了解”和“比较了解”的共有720名.【解析】【分析】(1)通过条形图和扇形图“比较了解”的情况，求抽查学生数，进而用A的人数除以总数乘以100%可求p的值；

(2)先计算了解较少的学生数，再补全条形统计图；

(3)用360。乘以选项D对应的百分比即可得出答案；

(4)用总人数乘以“非常了解”和“比较了解”的学生所占比例即可.21．【答案】（1）解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元，y万元，由题意得，，解得答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元.（2）解：设最多能买A型机器人a台，则最多能买B型机器人(15-a)台，由题意得，80a+60(15-a)≤1000，解得a≤5；答：最多能买A型机器人5台.【解析】【分析】(1)依据题意，设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元，y万元，则，从而计算可以得解；

(2)依据题意，设最多能买A型机器人a台，则最多能买B型机器人(15-a)台，则80a+60(15-a)≤1000，从而计算可以得解.22．【答案】（1）解：如图，过点B作BM⊥AF于点M，∴∠A=30°，∠DBE=53°，DF=300.8m，AB=100m，在Rt△ABM中，∠A=30°，AB=100m，∴DE=DF-EF=300.8-50=250.8m；答：登山缆车上升的高度DE为250.8m.（2）解：在Rt△BDE中，∠DBE=53°，DE=250.8m，∴从山底A处到达山顶D处需要的时间答：从山底A处到达山顶D处大约需要14.5min.【解析】【分析】(1)过点B作BM⊥AF于点M，求出，再根据DE=DF-EF即可得到答案；

(2)求出，再根据t=t步行+t缆车，即可得到答案.23．【答案】（1）证明：∵正方形沿BE折叠，点C落在C'处，

∴∠BCE=∠BC'E=90°，∠CBE=∠C'BE

∴∠CBC'+∠CEC'=180°

∵∠DEC'+∠CEC'=180°

∴∠CBC=∠DEC'

∴∠DEC'=2∠EBC'（2）解：延长BC'与AD交于点K，连接EK，OF，OG，OH，OB、OA、OK，如图，

∵⊙O分别与AB、AD、BC'相切：

∴OG⊥AB，OF⊥AD，OH⊥BC'

∵∠A=∠AGO=∠AFO=90°，OG=OF

∴四边形AFOG为正方形

∴∠GOF=90°

∵E是正方形ABCD的CD边的中点

∴DE=CE=3cm

∵正方形沿BE折叠，点C落在C'处

∴BC'=BC=6cm，EC'=EC=3cm

在Rt△DEK和Rt△C'EK中

∴Rt△DEK≌Rt△C'EK(HL)

∴DK=C'K

设AK=xcm，则DK=KC'=(6-x)cm

在Rt△ABK中，x2+62=(6+6-x)2

解得，

即

∴(cm)

设⊙O为rcm，

∵S△AOB+S△BOK+S△AOK=S△ABK，

∴

解得

∴图中阴影部分的面积=S正方形AGOF-S扇形GOF

【解析】【分析】(1)根据折叠的性质得到∠BCE=∠BC'E=90°，∠CBE=∠C'BE，再利用四边形内角和得到∠CBC'+∠CEC=180°，根据邻补角的定义得到∠DEC'+∠CEC'=180°，所以∠CBC'=∠DEC'，从而得到∠DEC'=2∠EBC'；

(2)延长BC'交AD于点K，连接EK，OF，OG，OH，OB、OA、OK，如图，根据切线的性质得到OG⊥AB，OF⊥AD，OH⊥BC'，易得四边形AFOG为正方形，则∠GOF=90°，接着证明Rt△DEK≌Rt△C'EK，得到DK=C'K，设AK=xcm，则DK=KC'=(6-x)cm，在Rt△ABK中利用勾股定理得到x2+62=(6+6-x)2，则解方程得到，所以，设⊙O为rcm，利用面积法得到S△AOB+S△BOK+S△AOK=S△ABK，解方程得，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S正方形AGOF-S扇形GOF进行计算即可.24．【答案】（1）解：设直线y=3x+2上的“双倍点”的坐标为(h，2h)，

∴3h+2=2h，解得h=-2，∴直线y=3x+2上的“双倍点”的坐标为(-2，-4)；（2）解：不存在“双倍点”理由如下：

设(h，2h)在反比例函数图象上，

则无解，∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”（3）解：对于y=2x2+bx+c，令x=0，得y=c，

∴反比例函数与y轴交点为(0，c)，

∵函数的图象与y轴的交点是“双倍点”，

∴c=2×0=0

顶点坐标为∵函数是“双倍二次函数”，

解得b=0或b=4，

即表达式为或（4）解：设“双倍二次函数”∵(p，8)为“双倍点”，

∴p=4，

解得k=2或k=4，当k=4时，顶点为(4，8)，不合题意，舍去；∴k=2，这个“双倍二次函数”为则图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，4)，当t<2时，t-1≤x≤t在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∴当x=t时，函数有最小值7，

即解得(舍去)或当t-1≤2≤t，即x=2时，函数的最小值为4，不存在满足条件的t值；当t-1>2，即t>3时，t-1≤x≤t在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴当x=t-1时，函数有最小值7，

即解得或(舍去)，综上所述，t的值为或【解析】【分析】(1)根据定义设点代入解析式即可得解；

(2)设参代入反比例解析式求解即可；

(3)易