2022-2023学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.窗棂即窗格窗里面的横的、竖的或斜的格是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

A.B.

C.D.

2.下列代数式是分式的是()

A.B.C.D.

3.已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为()

A.B.C.D.

4.如图，直角坐标系中，的顶点在轴上，，，，现将绕原点按顺时针方向旋转，得到，且点在轴上，则点的坐标是()

A.B.C.D.

5.照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片像到镜头的距离．已知，，则()

A.B.C.D.

6.如图，在中，，是的角平分线，若，则的度数是()

A.

B.

C.

D.

7.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是()

A.B.C.D.

8.化简的结果为()

A.B.C.D.

9.如图，在的网格中，每个小正方形的过长均为，点、、都在格点上，则下列结论错误的是()

A.

B.

C.的面积为

D.点到直线的距离是

10.阅读下面材料：

已知：，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤：以为圆心，为半径画弧；

步骤：以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；

步骤：连接，交延长线于点．

下列叙述正确的是()

垂直平分线段；

平分；

；

．

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”连接图中四条线段得到如图的新图案，如果图中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，图中阴影部分的面积为，那么的值为______．

12.分解因式：．

13.如图，已知点，，，在同一条直线上，，，，若添加一个条件不再添加新的字母后，能判定与全等，则添加的条件可以是______写出一个条件即可．

14.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结如图所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形图中，______度．

15.如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到，若四边形的面积为，则平移距离为______．

16.如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

因式分解：；

化简：；

解不等式组：；

解方程：．

18.本小题分

我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形探究下列关于的代数式，并解决问题．

若计算的结果为，则______；

若多项式分解因式的结果为，则______，______；

若计算的结果为，求的值．

19.本小题分

金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

燃油车

油箱容积：升

油价：元升

续航里程：千米

每千米行驶费用：元新能源车

电池电量：千瓦时

电价：元千瓦时

续航里程：千米

每千米行驶费用：_____元

用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．

若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．

分别求出这两款车的每千米行驶费用．

若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用

20.本小题分

发现与探索：

小明的解答：

小丽的思考：

代数式，

无论取何值，

都大于等于，再加上，则代数式大于等于，则有最小值为．

根据小明的解答将因式分解；

根据小丽的思考，求代数式的最小值．

21.本小题分

如图，分别以的直角边及斜边向外作等边及等边，已知：，，垂足为，连接．

试说明：；

求证：四边形是平行四边形．

22.本小题分

下图是年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们．

请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另个两个不同的图案．画图要求：

每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形到不重叠；

所设计的图案不含方格纸必须是中心对称图形或轴对称图形．

23.本小题分

阅读两位同学的探究交流活动过程：

小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．

；

小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：

；

；

；

小明邀请同学小亮根据上述规律写出第个等式和第个等式用含的式子表示，为正整数；

小亮对第个等式进行了证明．

解答下列问题：

第个等式是______；

第个等式是______；

请你证明第个等式成立．

24.本小题分

如图，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即同一图形大正方形的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：

．

把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．

用上述“面积法”，通过如图中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故A不符合题意；

B、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故B不符合题意；

C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；

D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故D符合题意．

故选：．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．

2.【答案】

【解析】解：、是分式，故此选项符合题意；

B、是整式，故此选项不符合题意；

C、是整式，故此选项不符合题意；

D、是整式，故此选项不符合题意；

故选：．

利用分式定义进行解答即可．

此题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．

3.【答案】

【解析】解：从数轴可知：解集是，

故选：．

根据数轴得出不等式组的解集即可．

本题考查了在数轴上表示不等式的解集，能根据数轴得出正确信息是解此题的关键．

4.【答案】

【解析】解：，，根据勾股定理可得，当落在轴的正半轴时，点旋转到第一象限，则轴，可得到，，

点的坐标是．

根据旋转的性质“旋转不改变图形的大小和形状”解答．

本题考查了旋转的性质及勾股定理．需注意旋转前后线段的长度不变．

5.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

．

故选：．

利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含、的代数式表示．

考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．

6.【答案】

【解析】解：，，

，

平分，

，

．

故选：．

由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求得，再由角平分线的定义可求得，利用三角形的内角和即可求的度数．

本题主要考查等腰三角形的性质，解答的关键是求得的度数．

7.【答案】

【解析】解：、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故A选项不符合题意；

B、，故B选项不符合条件；

C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；

D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；

故选：．

根据平行四边形的判定定理做出判断即可．

本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．

8.【答案】

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．

解：原式

故选：．

本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

9.【答案】

【解析】解：、，

选项A不符合题意；

B、，，，

，

是直角三角形，，

选项B不符合题意；

C、，

选项C符合题意；

D、设点到直线的距离为，

，

，

，

，

即点到直线的距离是，

选项D不符合题意；

故选：．

根据勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算分别对各个选项进行判断即可．

本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，求出、的长是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：由作图得：，，

垂直平分，

故正确；

根据条件，不能判定平分，

故是错误的；

，

故是错误的；

故选：．

现根据作图得出：，，再分别根据线段的垂直平分线的判定定理、角平分线的判定定理、及三角形的面积公式求解．

本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的判定定理、角平分线的判定定理、及三角形的面积公式是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：如图，

由题意得，，是直角三角形，

则大正方形面积，

面积，

阴影部分的面积，

故答案为：．

利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．

本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．

12.【答案】

【解析】解：

．

故答案为：．

利用提公因式和平方差公式进行因式分解．

本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．

13.【答案】

【解析】解：，

，

即，

又，，

，

当时，依据可得≌．

当时，依据可得≌．

当时，依据可得≌．

故答案为：．

根据全等三角形的判定定理进行分析即可．

本题考查了全等三角形的判定．题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．

边形的内角和为：．

利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．

【解答】

解：，是等腰三角形，

，

故答案为．

15.【答案】

【解析】解：在中，，

，

沿向右平移得到，

，，

四边形为平行四边形，

四边形的面积等于，

，即，

，

即平移距离等于．

故答案为：．

先根据含度的直角三角形三边的关系得到，再根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到的方程，则可计算出，即得平移距离．

本题考查了含角的直角三角形的性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质．

16.【答案】

【解析】

【分析】

利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．

【解答】

解：，，，

，

、、、分别是、、、的中点，

，，

四边形的周长，

又，

四边形的周长．

故答案为：．

17.【答案】解：原式

；

原式

；

，

由得：，

由得：，

不等式组的解集为；

去分母得：，

解得：，

检验：把代入得：，

分式方程的解为．

【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，分式的混合运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

18.【答案】

【解析】解：，

的结果为，

，

，

故答案为：；

，

多项式分解因式的结果为，

，

，，

解得，，

故答案为：，；

，

的结果为，

，

，，

．

根据单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可求解；

根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解；

根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解．

本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式以及因式分解，掌握单项式乘多项式的法则，多项式乘多项式法则以及因式分解的方法是解题的关键．

19.【答案】解：由表格可得，

新能源车的每千米行驶费用为：元，

即新能源车的每千米行驶费用为元；

燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，

，

解得，

经检验，是原分式方程的解，

，，

答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；

设每年行驶里程为，

由题意得：，

解得，

答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．

【解析】根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；

根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；

根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．

本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．

20.【答案】解：

；

由得：

，

，

，

的最小值为．

【解析】首先将转化为，然后再利用完全平方公式得，最后在利用平方差公式进行因式分解即可．

首先由得，然后根据得，据此可得出答案．

此题主要考查了配方法进行因式分解，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握完全平方公式的结构特征．

21.【答案】解：在中，，

，

又是等边三角形，，

，

在和中，

≌，

．

是等边三角形，

，，

，

又，

，

，，

，

四边形是平行四边形．

【解析】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是关键．

首先由中，由可以得到，又由是等边三角形，，由此得到，然后证得≌，继而证得结论；

根据知道，而是等边三角