近世代数教学课件

《近世代数》课程是现代数学的基础,既是中学代数的继续发展，也是高等代数课程的继续和发展,同时它又同拓扑学、实变函数与泛函分析构成现代数学的三大基石，是进入数学王国的必由之路，是数学与应用数学专业学生必修的重要基础课。

同学应当具备有初等代数，高等代数的背景，此外还有初等数论等方面的知识背景。近世代数《近世代数》课程是现代数学的基础,既是中学1

高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例,以加深对概念的正确理解。

近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课内容。高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基2主要参考书1．B．L．瓦德瓦尔登著：代数学Ⅰ、Ⅱ卷，科学出版社，1964年版

2．N．贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3卷，科学出版社，1987年出版3.<<近世代数基础>>，张禾瑞，高等教育出版，1978年修订本。

4．刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社，1999年出版

主要参考书35．石生明著：近世代数初步、高等教育出版社，2002年出版6.《近世代数》，吴品山，人民教育出版社，1979。7.《抽象代数学》，谢邦杰，上海科学技术出版社，1982。8.《抽象代数基础》，刘云英，北京师范大学出版社，1990年。5．石生明著：近世代数初步、高等教育出版社，2002年出版4

近世代数理论的三个来源代数方程的解(2)Hamilton四元数的发(3)Kummer理想数的发现近世代数理论的三个来源代数方程的解5（1）代数方程的解

两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开方法解二次方程ax2+bx+c=0

。16世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学家G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》（ArsMagna）中给出了三、四次多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。（1）代数方程的解

ax2+bx+c=06

直到1824年一位年青的挪威数学家N.Abel(1802-1829)

才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。最终解决这一问题的是一位法国年青数学家E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的一个最重要的来源。直到1824年一位年青的挪威数学家N7加罗华阿贝尔

被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。加罗华阿贝尔被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-188(2)Hamilton四元数的发现

长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2=-1。二元数按(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来源。(2)Hamilton四元数的发现9

（3）Kummer理想数的发现

17世纪初法国数学家费马(P.Fermat1601-1665）研究整数方程时发现当n≥3时，方程

xn+yn=zn

没有正整数解，费马认为他能够证明这个定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由E.Kummer作出的。（3）Kummer理想数的发现

10

Kummer的想法是：如果上面的方程有正整数解，假定η是一个n次本原单位根，那么

xn+yn=zn

的等式两边可以作因子分解

zn=(x+y)(x+ηy)…(x+ηn-1y),象整数中的因子分解一样，如果等式右边的n个因子两两互素，那么每个因子都应是另外一个“复整数”的n次方幂,进行适当的变换之后有可能得到更小的整数x1,y1,z1使

xn+yn=zn

成立，从而导致矛盾。如果上面等式右边的n个因子有公因式，那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论。Kummer的想法是：如果上面的11

Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解称为理想数的分解。用这种方法Kummer证明了n≤100时费马大定理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的研究领域。

Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数12近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的数学分支。1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.LvanderWearden1930-1996）根据该学科领域几位创始人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果,编著了《近世代数学》(ModerneAlgebra）一书,这是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数的教科书。

近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的数13

14

诺特,1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。诺特,1882年3月23日生于德国埃尔朗根，19015第一章基本概念§1

集

合§2

映射与变换§3代数运算§4运算率§5同态与同构§6等价关系与集合的分类第一章基本概念§1 集合§2映射与变换§316§1 集

合

表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如“一队”、“一班”、“一筐”.组成集合的东西叫这个集合的元素.

我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

；

例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，而

.§1 集合表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集17

一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合.如，学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合.

如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合.如，全体自然数的集合；全体实数的集合.

不含任何元素的集合叫空集.表示为：Ø一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集18枚举法:例如,我们把一个含有n个元素

的集合的有限集合表示成：

.前五个正整数的集合就可以记作

.拟枚举：自然数的集合可以记作,拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合,像自然数、整数…描述法:如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的，那么就用记号来表示.

枚举法:例如,我们把一个含有n个元素19

表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合.常用的数集：全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为C

20

设A，B是两个集合，如果A

的每一元素都是B

的元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作

，或记作

.根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集当且仅当对于每一个元素x，如果

，就有

.A是B的子集，记作：设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的A是21如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的，就说A与B

相等，记作：A=B.即以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集，记为P(A).如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的，就说A与B相等22并运算设A，B是两个集合.由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作.如图1所示.AB并运算设A，B是两个集合.由A的一切元素和B的一切元素所23交运算由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(简称交)，记作：，如图2所示.显然，，例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则我们有交运算由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(24运算性质:交换律:;分配律:结合律:;幂等率:;运算性质:交换律:;分配律:结合律:;幂等率:;25

两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设

是给定的集合.由的一切元素所成的集合叫做

的并；

由

的一切公共元素所成的集合叫做

的交.

的并和交分别记为：

和

.我们有两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设26差运算：设A，B是两个集合，令也就是说，是由一切属于A但不属于B的元素所组成的，称为A与B的差.注意：并没有要求B是A的子集.例如，积运算：设A，B是两个集合，令称

为A与B的笛卡儿积（简称为积）.是一切元素对（a,b）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B.可以定义多个集合的笛卡儿积差运算：也就是说，是由一切属于A但不属于27§2映射与变换定义1设A，B是两个非空的集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素x，有集合B中一个惟一确定的元素y与它对应.

用字母f，g，…表示映射.用记号表示f是A到B的一个映射.

如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作这时y叫做x在f之下的象，记作.§2映射与变换定义1设A，B是两个非空的集合，A28例1

设

这是A到B的一个映射.例2

设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合.对于每一

，令

与它对应.f不是A到B的映射，因为当

时，

不能由x唯一确定.例1设例2设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集29定义2

设f是A到B的一个映射，如果Imf=B，那么说称f是A到B上的一个映射，这里也称f是一个满射

。设

是一个映射.对于

，x的像.一切这样的象作成B的一个子集，用

表示：，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.定义2设f是A到B的一个映射，如果Imf=B，那么30定义3

设

是一个映射，如果对于A中任意两个元素

和

，只要

，就有

，那么就称f

是A到B的一个单射.或A到B的一一映射

如果既是满射，又是单射，即如果

f满足下面两个条件，①

就称f是A到B的一个双射.或A到B上的一一映射②

定义3设31近世代数教学ppt课件32近世代数教学ppt课件33近世代数教学ppt课件34例3 令

那么.

设

，

都是A到B的映射，如果对于每一

，都有

，那么就说映射f与g是相等的.记作例3 令设35定义4：设

是A到B的一个映射，

是B到C的一个映射.那么对于每一个

，

是C中的一个元素.因此，对于每一

，就有C中唯一的确定的元素

与它对应，这样就得到A到C的一个映射，这映射是由

和所决定的，称为

f与g的合成（乘积），记作

.于是有

对于一切,f与g的合成可以用下面的图示意：fgABC（交换图）定义4：设是A到B的36例4设那么例5设A={1，2，3}

那么例4设那么例5设A={1，2，3}那么37

映射

，

，

，有.但是，一般情况下

.

设A是非空集合

称为设A上的恒等映射。

设A，B是两个非空集合，用

和

表示A和B的恒等映射.设

是A到

B

的一个映射.显然有：，.映射，38例6：f

是集合A到B的一个双射的充要条件是存在B到A的一个映射g，使得

，且映射g是由f唯一确定的,称为f的逆映射,表示为证:

(必要性)

因为f是满射，所以对于B中每一个y，有

，使得

又因为f是单射，所以这个x是由y唯一确定的：即如果还有使得

，那么

.则g是B到A的一个映射.

我们规定例6：f是集合A到B的一个双射的充要条件是存在B到A的一个39任意

而

.我们有任，而

.那么

故#所以（充分性)任意

,令

.由于

，

所以即f是满射.任意而.40设而由于，所以这说证明了f是单射.因此，f是A到B的双射.最后，令

和

都具有性质:，

设而由于41有

所以g是由f唯一确定的.

#，

设f

是A到B

的一个映射，我们把满足例6条件的映射叫做f

的逆映射.一个映射不一定有逆映射，然而如果映射

有逆映射的话，逆映射是由f唯一确定的，以后把f的逆映射记作

.有

因此，

也是一个双射，并且f

就是的逆映射，即.有所以g是由f唯一确定的.#，设f42例7:

设A是一切非负实数所成的集合；f是A到B的一个映射，

因为当

时，

，并且是由x唯一确定的.证明，f是一个双射.证：任意

.取

因为

，所以

，且

，所以

.且有（f满）例7:设A是一切非负实数所成的集合；f是A到B的一个43设而.那么由此，所以f是单射.于是由例6，f有逆映射.易验证，

一般地，设A是一个非空的集合，把A×A到A的一个映射叫做集合A的一个代数运算.设而44定义5：集合X到自身的映射，叫做集合X的一个变换。单射变换、满射变换、双射变换、恒等变换定义5：集合X到自身的映射，叫做集合X的一个变换。单射变换、45近世代数教学ppt课件46近世代数教学ppt课件47§3.代数运算．注(1)为什么叫运算？不妨设是映射，若，我们可以说a和b在的法则下运算得到d(2)一个代数运算可以用表示，并将(a,b)在像记作下的§3.代数运算．注(1)为什么叫运算？不妨设是映射，若，48一般映射的描述:

作为运算的记号:

,

……..简记:一般映射的描述:

作为运算的记号:,……..简记:49例１A＝｛所有正整数｝，下列运算是不是A的代数运算??A=Z?A=Q?A=R例１A＝｛所有正整数｝，下列运算是不是A的代数运算??A=50

例4：A＝｛a,b,c｝．规定A的两个不同的代

数运算．例4：A＝｛a,b,c｝．规定A的两个不同的代51

T(M)表示非空集合M的全体变换作成的集合。

S(M)表示非空集合M的全体双射变换作成的集合。显然变换的合成（乘法）是T(M)和S(M)的一个代数运算。T(M)表示非空集合M的全体变换作成的集合。52

对有限集合的代数运算，常直观地列成一个表（乘法表）对有限集合的代数运算，常直观地列成一个表（乘法53？S(M)的乘法表？S(M)的乘法表54一、结合率§4．运算律一、结合率§4．运算律55近世代数教学ppt课件56假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果．加括号的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步骤的个数总是一个有限整数．假定它是，我们把由这个步骤所得的结果用,,…,,

来表示。这样得来的N个,当然未必相等,但是它们也可能都相等。我们规定:假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果．加括号57假如对于的个固定的元来说,所有的都相等,我们就唯一的结果,用来表示.

问题:什么条件下,所有的都相等?定理:假如一个集合的代数运算适合结合律,那么对于的任意

个元

来说,所有的

都相等；因此符号

也就总有意义．假如对于的个固定的元58证明对n用数学归纳法(第二型)．

(I)n=2,3，定理是对的．

(II)假定个数，定理是对的．在这个假定之下，如果我们能够证明:对于一个任意的来说

……(一个固定的结果)定理也就证明了.

这一个是经过一种加括号的步骤所得来的结果,这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算:

这里,是前面的若干个,假定是个元,,…，经过一个加括号的步骤所得的结果,是其余的个元，经过一个加括号的步骤所得的结果。因为证明对n用数学归纳法(第二型)．59和都,由归纳法的假定,情况1

假定,那么上式就是要证明的．情况2

假定，那么即（１）式仍然成立．证完。结合律成立，保证了可以应用个符号。结合律的重要也就在此．和都,60二、交换率二、交换率61近世代数教学ppt课件62三、分配率三、分配率63近世代数教学ppt课件64近世代数教学ppt课件65近世代数教学ppt课件66§5同态与同构

如何比较两个代数系统?回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应后可以重合.我们比较两个代数系统和.第一,我们需要一个映射;第二,这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具体的说,假如和是的两个元,那么和都有意义,都是的元.保持运算即下面等式成立:§5同态与同构如何比较两个代数系统?我们比较两个代67上面的等式即:换一种表示，假定在之下的像，上面的等式即:换一种表示，假定在之下的像，68＝{所有整数},的代数运算是普通加法.,的代数运算是普通乘法.定义1一个到的映射称为对于代数运算和的同态映射,假如,,都有:定义与例子＝{所有整数},的代数运算是普通加法.定义169例1证明(是的任一元)是一个到的同态映射.证明……例2:

,若是偶数,若是奇数

证明:是一个到的满射的同态映射.证明:显然,是到的满射.对于的任意两个整数和来说,分三种情况:(1)若,都是偶数,那么也是偶数,,所以,(2)若,都是奇数……(3)若和奇偶性相反,……….例1证明(是70例3:(是的任一元)固然是一个到的映射,但不是同态映射.因为,对于任意的和来说,例3:(是71性质1（1）反身性:（2）传递性:注:对称性不成立定义和是两个代数系统,如果存在一个到的同态满射,就称和同态.记号:性质1定义和是两个代数系统,如果存在一个72定理1假定,对于代数运算和来说,到同态.那么,（1）若适合结合律,也适合结合律；（2）若适合交换律,也适合交换律.定理1假定,对于代数运算和来说,到同态73于是证明我们用来表示到的同态满射.（1）假定是的任意三个元.由于是同态满射,我们在里至少找得出三个元,,来,使得在之下,(2)证明类似.

注:这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性于是证明我们用来表示到的同态满射.(274定理2假定,都是集合的代数运算,都是集合的代数运算,并且存在一个到的满射,使得与对于代数运算来说同态,对于代数运算来说也同态.那么(1)若适合第一分配律,也适合第一分配律.(2)若适合第二分配律,也适合第二分配律.证明……注:,由的性质可以推出具有同样的性质;反过来不成立.定理2假定,都是集合的代数运算,75定义（同构映射）定义和是两个代数系统,如果存在一个到的同构映射,就称和同构.记号:

自同态、自同构的概念可以自然的给出定义（同构映射）定义和是两个代数系统,如果存在76同构的代数系统意味什么例４

,

．012012

120201345345345453534012

与的代数运算

与的表．

请比较两个运算表异同之处?

同构的代数系统意味什么例４,．0077在A的运算表,进行变换:

变成了什么?．它们可以统一成为一个运算表……..在A的运算表,进行变换:变成了什么?．78近世代数教学ppt课件79（矛盾）（矛盾）80小结现在我们看两个任意的，对于代数运算和来说是同构的集合和．我们可以假定，

并且在与间的同构映射之下，，，，…由于同构映射的性质，我们知道，

抽象地来看，与这两个代数系统，没有任何区别（只有命名上的不同而已）.小结现在我们看两个任意的，对于代数运算和来说是同构的81§6等价关系与集合的分类

§6等价关系与集合的分类82近世代数教学ppt课件83近世代数教学ppt课件84近世代数教学ppt课件85近世代数教学ppt课件86近世代数教学ppt课件87近世代数教学ppt课件88近世代数教学ppt课件89第二章群§1

群的定义和初步性质§2群中元素的阶§3子群§4循环群§5变换群§6置换群§7

陪集、指数和Lagrange定理第二章群§1 群的定义和初步性质§2群中元素的阶90§1

群的定义和初步性质定义（第一定义）：称G关于该运算作成一个群。§1 群的定义和初步性质定义（第一定义）：称G关于该运算作成91定义（第二定义）：称G关于该运算作成一个群。定义（第二定义）：称G关于该运算作成一个群。92定义（第三定义）：称G关于该运算作成一个群。定义（第三定义）：称G关于该运算作成一个群。93近世代数教学ppt课件94近世代数教学ppt课件95定义：定义：96定义：一个群叫做有限群，假如这个群的元的个数是一个有限数．不然的话，这个群叫做无限群．定义：一个群叫做交换群（Abel群），假如对于的任何两个元，都成立．定义：一个群叫做有限群，假如这个群的元的个数是一个有限数．97例1：例3：例1：例3：98例5：例6：例5：例6：99近世代数教学ppt课件100推论1

群中消去律成立

若

，那么

；

若

，那么．推论1群中消去律成立101近世代数教学ppt课件102##103近世代数教学ppt课件104§1

群中元素的阶§1 群中元素的阶105定义1：群的一个元素,使得的最小的正整数叫做的阶．若是这样的一个不存在，我们说，是无限阶的．的阶用符号表示定义1：群的一个元素,使得的最小的正整106注(1)当

为加群时,其运算记为加法,单位元为0,则的最小正整数为元素a的阶。(3)

群的阶和元素的阶不是一回事..(2)注(1)当为加群时,其运算记为加法,的107例1：例2：例1：例2：108近世代数教学ppt课件109近世代数教学ppt课件110近世代数教学ppt课件111近世代数教学ppt课件112近世代数教学ppt课件113近世代数教学ppt课件114（反例P43）（反例P43）115近世代数教学ppt课件116近世代数教学ppt课件117§3．子

群

讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个群．假如由里取出一个非空子集来，那么利用的乘法可以把的两个元相乘．对于这个乘法来说，很可能也作成一个群．定义1一个群的一个非空子集

叫做的一个子群，假如对于的乘法来说作成一个群,用符号

表示．

群

，则

至少有两个子群：

１．；

２．只包含单位元

的子集．（平凡子群）§3．子群讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一118定理2：一个群的一个非空子集作成的一个子群的充分而且必要条件是：（ⅰ）（ⅱ）定理2：一个群的一个非空子集作成的一个119证明

充分性：1）．由于（ⅰ），是闭的；2）．结合律在中成立，在中自然成立；3）．因为至少有一个元，由（ⅱ），也有元，所以由（ⅰ），4）．由（ⅱ），对于的任意元来说，有元，使得必要性显然成立证明充分性：必要性显然成立120定理3:一个群的一个非空子集作成的一个子群的充要条件是：（ⅲ）证明I.我们先证明，（ⅰ）和（ⅱ）成立，（ⅲ）就也成立．假定，属于，由（ⅱ），，由（ⅰ），II.现在我们反过来证明，由（ⅲ）可以得到（ⅰ）和（ⅱ）．假定．由（ⅲ），，于是（ⅱ）成立定理3:一个群的一个非空子集作成的一121假定，．由刚证明的，；由（ⅲ），,即(i)成立#例1：

一个群的一个非空有限子集作成的一个子群的充要条件是：假定，．由刚证明的，122近世代数教学ppt课件123近世代数教学ppt课件124近世代数教学ppt课件125容易证明:,,定义3：设A，B是群G的两个非空子集,规定容易证明:126证明:设H是G的子群,那么,(??)另一方面,,所以,而:

,所以.反过来,构成的一个子群.证明:127

推论2：一个群的一个不空子集作成的一个子群的充分而且必要条件是：

推论2’

一个群的一个非空有限子集作成的一个子群的充分而且必要条件是：推论2：一个群的一个不空子集作成128定理5：

设H,K是G的两个子群,那么HK是子群

的充要条件是HK=KH证明:如果HK是子群,那么由推论1：

(HK)-1=HK同时,(HK)-1=K-1H-1=KH,所以HK=KH反过来,如果HK=KH，则(HK)(HK)-1=HKK-1H-1

=HKKH=HKH=HHK=HK定理5：设H,K是G的两个子群,那么HK是子群证明:如129近世代数教学ppt课件130近世代数教学ppt课件131（群G不可能是两个真子群的并）（群G不可能是两132

§4．循环群§4．循环群133近世代数教学ppt课件134近世代数教学ppt课件135近世代数教学ppt课件136近世代数教学ppt课件137近世代数教学ppt课件138近世代数教学ppt课件139（同构）（同构）140近世代数教学ppt课件141近世代数教学ppt课件142近世代数教学ppt课件143§５．变换群例１＝｛１，２｝．