河南省南阳市宛东石油中学2022年高三数学理联考试题含解析

河南省南阳市宛东石油中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折起，使，则过A，B，C，D四点的球的表面积为A.3π

B.4π

C.5π

D.6π参考答案：C折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为， 故其外接球的半径为，其表面积为.故选C.2.设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．13参考答案：A【考点】函数的值．【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312，∴f（﹣7）+f（log312）=1+log39+=1+2+4=7，故选：A．【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用．3.（5分）（2015?丽水一模）设数列{an}是等差数列，公差d＞0，Sn为其前n项和，若正整数i，j，k，l满足i＜k＜l＜j，且i+j=k+l，则（）A．Si+Sj＜Sk+SlB．Si+Sj＞Sk+SlC．SiSj＜SkSlD．SiSj＞SkSl参考答案：B【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：由题意，i，k，l，j，不妨取1，2，3，4，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．解：由题意，i，k，l，j，不妨取1，2，3，4，则S1+S4=a1+2（a1+a4）=5a1+6d，S2+S3=（a1+a2）+（a1+a3）=5a1+4d，∴Si+Sj＞Sk+Sl，故选：B．【点评】：本题考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，比较基础．4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是（

）（A）（B）（C）

(D）参考答案：C5.若函数f（x）=x3﹣x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为α，则的值是(

) A． B． C．﹣ D．参考答案：D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；三角函数的化简求值．专题：导数的综合应用．分析：通过函数的导数求出切线的斜率，求出切线的倾斜角的正切值，然后化简表达式为正切函数的形式即可求解结果．解答： 解：f（x）=x3﹣x2+x+1，∴函数f′（x）=x2﹣x+．∵f（x）=x3﹣x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为α，∴tanα=．∴===．故选：D．点评：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查二倍角的三角函数的化简求值，学生的计算能力，属于基础题．6.复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.将函数y＝cosx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin的图象，则φ等于

()A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.（

）A．－4 B．4 C．－4i D．4i参考答案：D由复数的运算法则可得：．9.在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（）A．此题没有考生得12分B．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏C．分数在[40，50）的考生此大题的平均得分大约为4.8分D．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差参考答案：B【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，分数越高的同学，第1问得分高，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，即可得出结论．【解答】解：由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，分数越高的同学，第1问得分高，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，故选B．10.某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）

（9）（10）（11）

现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是

（

▲

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，，则的零点个数有

个.参考答案：812.如图，已知OA=OB=OC，∠ACB=45°，则∠OBA的大小为．参考答案：45°考点：圆周角定理．.专题：计算题．分析：结合题意，可分析得出点A、B、C在以点O位圆心，以OA长为半径的圆周上，即可得出∠ACB和∠AOB分别为圆周角和圆心角，且两角对应的弧相等，即可得出∠AOB=2∠ACB=80°．解答：解：根据题意，可以以点O为圆心，以OA为半径作圆，即可得出点A、B、C均在圆周上，根据圆周角定理，故有∠AOB=2∠ACB=90°．由△OAB为等腰三角形，所以∠OBA=45°故答案为：45°点评：本题主要考查了学生对知识的灵活运用能力和对问题的分析能力，属于常规性试题，是学生练习的很好的题材．13.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.参考答案：6略14.已知圆C：（x﹣2）2+y2=1，若直线y=k（x+1）上存在点P，使得过P向圆C所作两条切线所成角为，则实数k的取值范围为．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意可得圆心为C（2，0），半径R=1；设两个切点分别为A、B，则由题意可得可得PC=2，圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，即≤2，由此求得k的范围．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心为C（2，0），半径R=1．设两个切点分别为A、B，则由题意可得PC=2，∴圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，即≤2，解得k2≤，可得k∈．故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.不等式的解集是

．参考答案：{x|0＜x＜1}考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．解答： 解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．点评：本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．16.抛物线的焦点坐标为_____．参考答案：(0,2)由抛物线方程x2＝8y知，抛物线焦点在y轴上，由2p＝8，得＝2，所以焦点坐标为(0,2)．17.三棱锥ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若，，则___________．参考答案：易知四边形EFGH是平行四边形，,，所以，,所以.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)己知函数(1)当时，求函数的最小值和最大值；(2)设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f(C)=2，若向量m=(1，a)与向量n=(2，b)共线，求a，b的值．参考答案：

…………3分∵，∴，∴，从而则的最小值是，最大值是2

…………6分（2），则，19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.参考答案：20.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数.当时，若函数在上为增函数，求实数的取值范围.参考答案：（1）对求导得（i）若，当时，，当或时，所以在上单调递增，在，上单调递减（ii）若，当时，，当或时，所以在上单调递减，在，上单调递增.（2）记函数，考察函数的符号对函数求导得当时，恒成立当时，从而∴在上恒成立，故在上单调递减.∴∴又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的，使，所以当时，，当时，∴，∴由上述讨论过程可知曲线在上连续不断，又函数为增函数所以在上恒成立①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，，则，当变化时，，变化情况如下表：∴故“在上恒成立”只需，即②当时，，当时，在上恒成立综合①②，知当时，函数在为增函数故实数的取值范围是.22．解：21.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．求解即得．【解答】解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D．又ECCC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1?面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1=2，AB=1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．22.(本小题满分14分）如图，离心率为的椭圆（）与直线：相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若是圆的直径，为椭圆上的动点，过作圆的两条切线，分别交直线于点、，求当取得最小值时点的横坐标．参考答案：（Ⅰ）由题：，又，∴，从而∴

椭圆的方程为．

………….4分（Ⅱ）易知圆的方