弹塑性力学应力

弹塑性力学应力第1页，课件共41页，创作于2023年2月绪论研究对象弹性体：变形可完全恢复，几何上杆状构件（一维）、板壳结构（二维）块体结构（三维）。荷载：包括机械外力、温度、电磁力等各种物理因素。研究内容研究弹性体在外部荷载作用下其内部所产生的内力和变形第2页，课件共41页，创作于2023年2月

研究方法材料质点从宏观尺度上看它无限小；但微观尺度上看它无限大，它包含大量稀疏分布的分子、原子；材料质点的力学行为是这些大量分子、原子力学行为的统计平均。（1）材料质点的平衡，未知应力数总是超出微分方程数，弹性力学问题总是超静定的（2）材料质点之间的变形必须是协调的，（3）应满足应力与变形关系的方程，取决于材料性质，故称为物理方程，或称为本构方程。第3页，课件共41页，创作于2023年2月基本理论建立弹性力学的基本方程从静力学、变形协调和材料的物理关系等三个方面着手。弹性力学问题就归结为在给定的边界条件下求解这些基本方程。求解方法（1）解析求解（2）数值求解法：差分方法、有限元方法和加权残数法等。弹性力学的基本体系第4页，课件共41页，创作于2023年2月弹性力学基本假定连续性完全弹性线弹性、小变形均匀性各向同性第5页，课件共41页，创作于2023年2月应力矢量T(n)=定义第6页，课件共41页，创作于2023年2月坐标分量

T(n)=Txex+Ty

ey+Tzez

ex，ey和ez表示坐标轴的单位基矢量，

Tx、Ty

和Tz是应力矢量沿坐标轴分量。法线方向和切线方向分量沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。第7页，课件共41页，创作于2023年2月性质：同一点的T(n)与所取截面的法线方向n有关，所有这些不同截面上的应力矢量构成该点的应力状态只有三个面上的应力矢量是独立的；外法线为

n微面上的应力矢量为：

T(

n)=

T(n) 第8页，课件共41页，创作于2023年2月应力张量

zy

z

y

x

xy

xz微六面体第9页，课件共41页，创作于2023年2月三个坐标面上的应力矢量

T(ex)＝

xex+

xyey+

xzez T(ey)＝

yxex+

yey+

yzez

T(ez)＝

zxex+

zyey+

zez以上9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的分量第10页，课件共41页，创作于2023年2月张量表示用1、2、3取代下标x、y、z，应力正、负号规定正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。第11页，课件共41页，创作于2023年2月张量求和约定哑指标：重复出现两次的指标，累加求和

U

iVi=U1V1+U2V2+U3V3

ii=

11+

22+

33

自由指标：不重复出现的指标，例如，

Aijxi=Bj

其中i是哑指标，而j是自由指标，可以取1，2，3，

T(ei)＝

ikek

第12页，课件共41页，创作于2023年2月Chauchy公式（斜面应力公式）已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应力矢量，由四面体平衡条件导出。第13页，课件共41页，创作于2023年2月由微四面体的平衡条件得：

T(n)dS+T(

ex)ldS+T(

ey)mdS+T(

ez)ndS+XdhdS/3=0T(

n)＝T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n 将斜面应力矢量T(

n)沿坐标轴方向分解

T(

n)＝Txex+Tyey+Tzez

斜截面公式

Tx＝

xl+

yxm+

zxn

Ty＝

xyl+

ym+

zyn

Tz＝

xzl+

yzm+

zn张量表示

Tj

=ni

ij

第14页，课件共41页，创作于2023年2月求斜截面的各种应力（1）正应力

n=T(n)

n=Txl+Tym+Tzn

n＝

xl2+

ym2+

zn2+2

xylm+2

yzmn+2

zxnl

＝

ijninj

（2)剪应力确定力边界条件第15页，课件共41页，创作于2023年2月例题求在面上的法向正应力和切向剪应力

解第16页，课件共41页，创作于2023年2月

平衡微分方程第17页，课件共41页，创作于2023年2月在x=0的面上，应力是

x、

xy、

xz

在x=dx面上的应力由x方向的平衡

第18页，课件共41页，创作于2023年2月由y、z方向的平衡力矩平衡：绕z轴

(

xydydz)dx

(

yxdxdz)dy=0

xy＝

yx

绕x和y方向的形心轴取矩

yz=

zy

xz=

zx

第19页，课件共41页，创作于2023年2月静力学边界条件

xl+yxm+zxn＝

xyl+ym+zyn＝

xzl+yzm+zn＝第20页，课件共41页，创作于2023年2月例1-2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为

，试写出边界条件。解：在x=0上，l=

1，m=0，

(

x

)x=0

(

1)

+(

yx)x=0

0=

y(

xy)x=0

(

1)

+(

y)x=0

0=0(

x)x=0=

y(

xy)x=0

在斜边上l=cos

，m=

sin

x

cos

yx

sin

=0

xycos

y

sin

=0第21页，课件共41页，创作于2023年2月应力分量的坐标变换

exeyezl1m1n1l2m2n2l3m3n3

面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 Tx＝

xl1+yxm1+zxn1

Ty＝xyl1+ym1+zyn1

Tz＝xzl1+yzm1+zn1

新旧坐标的夹角第22页，课件共41页，创作于2023年2月

＝Txl1+Tym1+Tzn1＝(l1

m1

n1)[

][

]T第23页，课件共41页，创作于2023年2月[

]＝＝[

][

][

]T第24页，课件共41页，创作于2023年2月主应力在主平面上

T(n)＝

n

或

Tx＝

lTy＝

mTz＝

n

(

x

)l+

yxm+

zxn＝0

xyl+(

y

)m+

zyn＝0

xzl+

yzm+(

z

)n＝0 l2+m2+n2=1非零解条件第25页，课件共41页，创作于2023年2月特征方程

3

I1

2+I2

I3=0不变量I1=

x+

y+

z=

kk

I2=

x

y+

x

z+

y

z

(

)=

(

ij

ij)

主应力性质（1）主平面相互垂直（2）极值性第26页，课件共41页，创作于2023年2月最大剪应力在法线为n的斜截面上，应力矢量为

T(

n)＝T(e1)l+T(e2)m+T(e3)n＝l

1e1+m

2e2+n

3e3

第27页，课件共41页，创作于2023年2月斜截面上的正应力

n=T(

n)

n=l2

1+m2

2+n2

3

应力矢量的模为

=(l

1)2+(m

2)2+(n

3)2

斜截面上的剪应力是

=(l

1)2+(m

2)2+(n

3)2－(l2

1+m2

2+n2

3)2

＝l2m2(

1－

2)2+m2n2(

2－

3)2+n2l2(

3－

1)2

当斜截面方向l、m、n变化时，剪应力

n随之变化。求上式的极值可得最大剪应力第28页，课件共41页，创作于2023年2月约束条件

l2+m2+n2=1条件极值无条件极值

F=

(l2+m2+n2

1)

为引进拉格朗日乘子

第29页，课件共41页，创作于2023年2月lmn

n0000

10000

2

0000

3

000第30页，课件共41页，创作于2023年2月最大剪应力规定

1

2

3

所在平面与

2平行而与

1和

3的角度分别为450

第31页，课件共41页，创作于2023年2月Mohr应力图每个截面上有正应力和剪应力，建立平面坐标系—截面上的应力对应坐标系的一个点截面上的正应力和剪应力＝(l

1)2+(m

2)2+(n

3)2截面上的正应力

n=T(

n)

n=l2

1+m2

2+n2

3l2+m2+n2=1 以上三个式子联立求解第32页，课件共41页，创作于2023年2月

第33页，课件共41页，创作于2023年2月第34页，课件共41页，创作于2023年2月应力张量分解静水压力状态偏应力状态定义平均应力

0=(

x

+

y+

z)

第35页，课件共41页，创作于2023年2月两种应力状态用张量表示

ij=sij+

0

ij

其中ij是Kronecker符号，定义为

ij=1，当i＝j

ij=0，当i≠j，第36页，课件共41页，创作于2023年2月关于静水压力状态任意一个面都是主平面主应力值均相等在应力圆上是一个点