内蒙古自治区赤峰市喀旗惠民中学2022年高二数学文期末试卷含解析

内蒙古自治区赤峰市喀旗惠民中学2022年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.下列命题中的假命题是（）A．?x∈R，lgx＞0 B．?x∈R，sinx=1 C．?x∈R，x2＞0 D．?x∈R，2x＞0参考答案：C【考点】特称命题；2H：全称命题．【分析】根据对数函数，正弦函数及指数函数的性质，分别判断，A，B，D为真命题，由当x=0时，x2=0，故C为假命题．【解答】解：对于A：当x＞1时，lgx＞0，故?x∈R，lgx＞0为真命题；对于B：当x=2kπ+，k∈Z时，sinx=1，则?x∈R，sinx=1，为真命题；对于C：当x=0时，x2=0，故?x∈R，x2＞0，为假命题，对于D，由指数函数的性质可知：?x∈R，2x＞0，故为真命题，故选：C．【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正弦函数的性质，属容易题．3.已知等比数列满足则

（

）A、64

B、81

C、128

D、243参考答案：A4.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C5.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点E为CD的中点，F为线段CE（端点除外）上一动点.现将沿AF折起，使得平面ABD⊥平面ABC.设直线FD与平面ABCF所成角为，则的最大值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A在矩形中，过点作的垂线交于点，交于点。设，。由，得,即有，由，得。在翻折后的几何体中，,平面。从而平面平面，又平面平面，则平面。连接,则是直线与平面所成角，即。而，，则。由于，则当时，取到最大值，其最大值为。故选A。

6.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．7.满足等式1m1(8)=121(n)(n的正整数对(m,n)有(

)

A、1对

B、2对

C、3对

D、3对以上参考答案：B8.命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是(

)A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．9.点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是(

)

参考答案：B略10.经过原点且与抛物线只有一个公共点的直线有多少条？

(

)A.

0

B.

1

C.

2

D.

3参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为、，点在椭圆上，且的面积为6，则椭圆C的方程为______________.参考答案：略12.若曲线在点处的切线方程是，则a=

,

b=

；参考答案：a=1,b=1略13.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，有如下四个结论：①AC⊥BD；

②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°角；

④AB与CD所成角为60°其中正确的结论是．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．【解答】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．∴BD⊥AC，故①正确．设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．∴AC=a．∴△ACD为等边三角形，故②正确．∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则A（0，0，a），B（0，﹣a，0），D（0，a，0），C（a，0，0）．=（0，﹣a，﹣a），=（a，﹣a，0）．cos＜＞=，∴＜＞=60°，故④正确．故答案为：①②④．14.已知，则f(x)的解析式为__________．参考答案：(或，)【分析】利用换元法求函数的解析式即可.【详解】设，所以所以故答案为：(或，)【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，若存在实数，使得函数,在处取得最小值，则实数的最大值为 .参考答案：16.在平面直角坐标系中，已知顶点A(-3,0)和C(3,0)顶点在椭圆上，则.参考答案：17.经过两点A(,1)，B()的椭圆的标准方程为____________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题12分）已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；ks5u（2）若直线是曲线的切线，求实数的值；（3）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）参考答案：解：（1），在区间上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是，单调递增区间是（2）设切点坐标为，则

解得.

（3），则，解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为.当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.

当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为，时，最大值为.综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.19.已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）已知e为自然对数的底数，存在x∈[，e]，使得f（x）=1成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（2）得到a=+，设g（x）=+，x∈[，e]，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）问题转化为a（x﹣）﹣2lnx≥0，令h（x）=a（x﹣）﹣2lnx，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x﹣lnx，则f'（x）=1﹣=，令f'（x）=0，则x=1．

…当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，…所以当x=1时，f（x）取到最小值，最小值为1．

…（2）因为f（x）=1，所以ax﹣lnx=1，即a=+，…设g（x）=+，x∈[，e]，则g'（x）=，令g'（x）=0，得x=1．当＜x＜1时，g'（x）＞0，所以g（x）在（，1）上单调递增；当1＜x＜e时，g'（x）＜0，所以g（x）在（1，e）上单调递减；

…因为g（1）=1，g（）=0，g（e）=，所以函数g（x）的值域是[0，1]，所以a的取值范围是[0，1]．

…（3）对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，则ax﹣lnx≥+lnx，即a（x﹣）﹣2lnx≥0．令h（x）=a（x﹣）﹣2lnx，则h'（x）=a（1+）﹣=，①当a≥1时，ax2﹣2x+a=a（x﹣）2+≥0，所以h'（x）≥0，因此h（x）在[1，+∞）上单调递增，所以x∈[1，+∞）时，恒有h（x）≥h（1）=0成立，所以a≥1满足条件．

…②当0＜a＜1时，有＞1，若x∈[1，]，则ax2﹣2x+a＜0，此时h'（x）=＜0，所以h（x）在[1，]上单调递减，所以h（）＜h（1）=0，即存在x=＞1，使得h（x）＜0，所以0＜a＜1不满足条件．…③当a≤0时，因为x≥1，所以h'（x）＜0，所以h（x）在[1，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，所以a≤0不满足条件．综上，a的取值范围为[1，+∞）．…20.已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可．（2）由y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可得f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．对a分类讨论即可得出．解答： 解：（1）=．∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即，解得a=0．又当a=0时，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2为f（x）的极值点成立．（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，∴f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．①当a=0时，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为．∵a＞0，，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．∵a＞0，∴．综上所述，a的取值范围为．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为，证明：y12+y22为定值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率为e==，a=2c，2ab=4，由a2=b2+c2，解得：a=2，b=，即可求得椭圆C的方程；（2）直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，x1=x2，y1=﹣y2，由三角形面积公式即可求得|x1|和|y1|的值，可知y12+y22均为定值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理求得x1+x2和x1?x2的关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求得△OPQ的面积，求得a和k的关系式，即可证明x12+x22=4，利用y1=kx1+b，y2=kx2+b，即可求得y12+y22为定值；【解答】解：（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，离心率为e==，a=2c，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4，即2ab=4，由a2=b2+c2，解得：a=2，b=，∴椭圆的标准方程为：；（2）证明：当直线l⊥x轴时，，△OPQ的面积S=?丨x1丨?丨2y1丨=，解得：丨x1丨=，丨y1丨=，故y12+y22=3当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，m≠0，，整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0，△=（8kb）2﹣4（3+4k2）?（4b2﹣12）=48（3+4k2﹣b2）＞0，即3+4k2＞b2，由韦达定理可知x1+x2=﹣，x1?x2=，∴丨PQ丨=?=4??，点O到直线l的距离为d=，则△OPQ的面积S=?d?丨PQ丨=??4??=2?，即2?=，整理得：3+4k2=b2，